第41讲不等式的性质与基本不等式及应用.ppt

新课标高中一轮总复习,第六单元不等式及不等式选讲,知识体系,1.不等关系.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2.一元二次不等式.(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.,3.二元一次不等式组与简单线性规划问题.(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式：(a、b0).(1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.,5.理解绝对值的几何意义，并能用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)a+b|a|+|b|;(2)|a-b|a-c|+|c-b|.(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c.,6.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.(1)柯西不等式向量形式:|.(2)(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.(3+(通常称作三角不等式).7.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：.,8.会用向量递归方法讨论排序不等式.9.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.10.会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1+x)n1+nx(x-1,x0，n为大于1的正整数),了解当n为大于1的实数时，贝努利不等式也成立.11.会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.12.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.,第41讲,不等式的性质与基本不等式及应用,1.了解现实世界与日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.掌握并能运用不等式的性质，掌握比较两个实数大小的一般步骤.3.掌握基本不等式，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.,1.(2009湖南卷)若x0,则x+的最小值为.,2,2.设(0,),0,那么2-的取值范围是(),D,A.（0,）B.(-,)C.(0,)D.(-,),由题设得02,0,所以-0，所以-0,-0(其中a、b、c、d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是(),D,A.0B.1C.2D.3,由ab0,bc-ad0可得出-0,bc-ad0两边同除以ab,得-0.同样由-0,ab0,可得bc-ad0.bc-ad0bc-ad0-00,由,ab0.故选D.,4.设a,b是不相等的正数，则下列关系中，不恒成立的是（）,C,A.|a-b|a|+|b|B.a2+a+1aC.|a-b|+2D.-,C选项|a-b|+2，当a-b1，b1，若ax=by=3，a+b=2,则+的最大值为（）,C,A.2B.C.1D.,由ax+by=3，得x=loga3，y=logb3,+=log3(ab)log3()2=1，故选C.,1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系ab;ab,ab,bc;aba+cb+c,故a+bc(移项法则).推论:ab,cd(同向不等式相加).,a-b0,a-bc,ac-b,a+cb+d,(4)ab,c0;ab,cb0,cd0.推论:ab0.推论:ab0.3.基本不等式定理1:如果a、bR,那么a2+b2(当且仅当a=b时取“”号).说明：(1)指出定理适用范围：a、bR;(2)强调取“”号的条件a=b.,acbc,acbd,anbn,2ab,定理2:如果a,b是正数,那么(当且仅当a=b时取“”号).说明：(1)这个定理适用的范围：a,bR+;(2)我们称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.结论：若x,yR+,x+y=S,xy=P,则:如果P是值，那么当x=y时，S的值最;如果S是值,那么当x=y时,P的值最.求最值的必要条件：一正、二定、三相等.,定,小,定,大,题型一不等式性质的应用,例1,设f(x)=ax2+bx,且1f(-1)2，2f(1)4，求f(-2)的取值范围.,因为f(-1)=a-b,f(1)=a+b,而1a-b2,2a+b4.又a+b与a-b中的a,b不是独立的，而是相互制约的，因此，若将f(-2)用a-b与a+b表示，则问题得解.,(方法一)设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,m+n=4m=3m-n=2，n=1,所以f(-2)=3f(-1)+f(1).因为1f(-1)2,2f(1)，所以53f(-1)+f(1)0，故5f(-2)10.,于是,得,(方法二)a-b=f(-1)a=f(1)+f(-1)a+b=f(1),b=f(1)-f(-1),所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).以下同方法一.,由,得,严格依据不等式的基本性质和运算法则，是正确解答此类题目的保证，若先将参数a,b的范围求出，而后再求f(-2)的范围，这样操作是错误的，因为解题过程没有忠实题目所给条件，即变形不等价，由所求的参数a,b的范围并不能得到已知条件所给的f(-1)及f(1)的范围，这样，已经改变了题目的条件，当然，所求的结果就不是实际的结果.因此，在解题的过程中，务必尽可能保持变形的等价性，以免发生错误.,题型二利用作差法、作商法比较大小,例2,(1)设a0,b0且ab,试比较aabb与abba的大小.(2)已知函数f(x)=x2+ax+b，p+q=1,且p、q都是正数，试比较pf(x)+qf(y)与f(px+qy)的大小.,(1)根据同底数幂的运算法则，可考虑用比商法.=aa-bbb-a=()a-b.当ab0时，1,a-b0,则()a-b1,于是aabbabba；当ba0时，01,于是aabbabba.综上所述，对于不相等的正数a、b,都有aabbabba.,(2)作差pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy=pq(x-y)2=p(1-p)(x-y)2,所以，当x=y时，p(1-p)(x-y)2=0,得pf(x)+qf(y)=f(px+qy);当xy时，(x-y)20,所以pf(x)+qf(y)f(px+qy).综上所述，当x=y时，pf(x)+qf(y)=f(px+qy).当xy时，pf(x)+qf(y)f(px+qy).,比较大小，常用作差（商）比较法.,题型三利用基本不等式求最值,例3,设x0,y0，x2+=1，求x的最大值.,(方法一)因为x0，y0，x2+=1,所以x=.当且仅当x=,y=（即x2=）时,x取得最大值.,x=cosy=sin(0),则x=cos=.当2cos2=1+2sin2,即=时,x=,y=时，x取得最大值.,(方法二)令,已知x、yR+且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.,(方法一)由2x+8y-xy=0得y(x-8)=2x.又因为x0,y0,所以x-80,所以y=,所以x+y=x+=x+=x+2+=x-8+102+10=18,当x-8=,即x=12时，等号成立，故x+y的最小值是18.,(方法二)因为x,yR+,由2x+8y-xy=0得+=1.所以x+y=(x+y)(+)=10+10+2=18.由=及+=1可得x=12,y=6,故当x=12,y=6时，x+y的最小值为18.,1.结论中涉及x,y两个变量，而条件是关于x,y的一个等量关系式，通过挖掘条件可采用转化思想将“x+y”转化为一元函数的最值问题.2.“x+y”可视为“(x+y)1”,而+=1,因此，可采用整体思想将+=1整体代入求解.,在不等式的性质中，要特别注意下面三点：1.不等式的传递性：若ab,bc,则ac,这是放缩法的依据.在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明ac,选择中间量b,在证出ab,cb后，就误认为能得到ac.2.同向不等式可相加但不能相减,即由ab,cd,可以得出a+cb+d,但不能得出a-cb-d.,3.不等式两边同时乘以一个数或式时，只有保证该数或式为正，才能得到同向的不等式，若不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正.在基本不等式的应用中，要特别注意下面结论：若x,yR+,x+y=S,xy=P,则：(1)如果P是定值,那么当x=y时,S的值最小.,(2)如果S是定值，那么当x=y时，P的值最大.求最值的必要条件：一正、二定、三相等.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.(3)当使用均值定理,等号不能成立，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.,(2008广东卷)设a、bR,若a-|b|0,则下列不等式中正确的是（）,D,A.b-a0B.a3+b30C.a2-b20D.b+a0,(2009湖北卷)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其它三面围墙要新建.在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的