金融中的数学方法第四章

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.1? ? ? ? ?(?)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4.1?1/2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1/2? ? ? ? ?4.2?30%? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?30%? ? ? ? ? ?4.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 187 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?J. Bernoulli (16541705) ?1713? ?(Ars Conjectandi)? ? ? ? ? ? ?T. Bayes (17021761)? ?Bayes? ? ?L. J. Savage (19171971)? ? ? ? ?Bayes? ? ? ?(? ? ? ? ? ?)? ? ? ? ? ?Bayes? ? ?Bayes? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1933?A. N. Kolmogorov (1903 1987)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Kolmogorov? ? ? ? ? ? Kolmogorov? ?,?F,? (?) P.?(,F,P),? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?S? ? = 1,2,.,S.? ? ? ? ? ? 188 ?(?)? ? ? ? ?. ?F? ? ? ? ? ? ?A F? A? ? ?A? ? ? ? ? ? ? ?A,B F, AB? AB? ? A,? B,? A B? ?A ? ?B? ?AB? AB? ? ?A?B?A?A? A? ? ?A? ? ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ?F? (?)? ? ? ? ? ? A,B F, = A B, A B, A F. ? ?F?Boole? ? ? ?F?Boole? G. Boole (18161864)?1?Boole?1849? ? ? ? ? ? ? ? ?A,B? ? ?1,?0. Boole?0?1? ?(?)? ?(?)? ?(?)? ? ?(? ?)? ?+? ?(?)? ? ? (?)? ? 0 0 = 0,0 1 = 0,1 0 = 0,1 1 = 1. 0 + 0 = 0,0 + 1 = 1,1 + 0 = 1,1 + 1 = 1. 1 = 0, 0 = 1. ?Boole? ? ?Boole? ?Boole? ? ?+?, ?.? 0 + 0 = 0, 0 0 = 0,? / A, / B, = / A B; / A B. 1? (E. L. Voynich, 18641960),? ? ? 189 ?0 + 1 = 1, 0 1 = 0,? / A, B, = A B; / A B. ? ?Boole? ? ? ? ? ?Boole? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?G? ? ? ?f:G G G,?f(a,b) = a b G,? i) (?)(a b) c = a (b c). ii)?G?e,?a G,?e a = a. iii)?a G,?b G,?ba = e;?b = a1,?a? ? ?R? ?0?R? ?0? ?1.? ?N? ?0?n? ?n,?1? ?1/n.?G ? iv) (?)a b = b b. ?G? ?n? ? GL(n,R),? ?n? ? ? ? ?R? ? ? ? ?a,b R,?a+b R;? ? ?a,b R,?a b;? ? ? i) R? ? ii) (?)(a b) c = a (b c). iii) (?)a (b + c) = a b + a c; (b + c) a = b a + c a. 190 ?Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q,?R,?C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n?Mn(R)? ? ? ? ? ? Boole? ? ?(?)? ?F? ? ? ? ? ?A,B F, A4B = (A B) (A B), ?A?B?B?A? ? ? ? ?A B.? ?Boole? ?F? ?A,B F,?A4B F.? ? A B = A B F,?A0= (A B)?B0= (A B)?F? ? ? ? ? ? ? ? F? ? F?(?1)? ? ?Boole? ?Boole? a + a = 0,a a = a, ?A F,? A4A = ,A A = A. ? ?(Stone?)? ? ?Boole? ? ? ? ? ? ? ?Boole? ? ? ? 191 ? ? Boole ?Boole ? ? a? A? A? A a + bA4B? A ? A ? ? B ? B ? ? a bA B? A ? B? A ? B ? ? 0? ? ? e? ? (a + b) + (a b)A B? A ? A ? ? B ? B ? e + aA = A? A ? A ? a + (a b)A B? A ? A ? ? B ? B ? b + (b a) = 0B A? B ? B ? ? A ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ?F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A = ?,B = ?,C = ?. ?C B A.? ? ? ? ? ? ? ? ? A = ?,B = ?,C = ?. 192 ?C B A.? ? ? ? ? ? ? ?(? ? ? ? ?)? ?Boole? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Boole? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-? ? ? ()A1,A2,.,An,. F, = n=1 An F. ? ? ? ? ?-? ? ? ()A1,A2,.,An,. F, = n=1 An F. ? ?Boole?F? ? ?-? (0)A1,A2,.,An,. F, = n=1 An F. ?Bayes? ?-? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Kolmogolov? ?-? Boole? ?Boole?F?-? ?-? ? ?-? ? ?F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Boole? ? ? ?-? ?-? ?-?F? ? ?F?-? ? 193 i) F. ii) A F, = A F. iii) A1,A2,.,An,. F, = n=1 An F. ?F?Boole? ?Kolmogorov?P? ?P:F 0,1: i) (?) P() = 1. ii) (?) A F, = P(A) 0,1. iii) (?) A1,A2,.,An,. F, Ai Aj= = P n=1 An ! = X n=1 P(An). ? ? ? ? ? ? ? ? ?0,1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?F?Booles? ? ? iii) (?) A1,A2,.,An F, Ai Aj= = P n i=1 Ai ! = n X i=1 P(Ai). ?Kolmogorov? ? ? ? ? ?0,1?0,? ? ? ? ? ? ?Riemann? ? ? ?Lebesgue? H. Lebesgue (18751941)? ?1901? ?Lebesgue? ? Kolmogorov?Lebesgue? ? 194 ? ? ? ?Lebesgue? ? ? ? Lebesgue? ?R. F?R? (,x (x R)?-?B,? ? ? ? ?F? ?Borel?2?Lebesgue?(a,b) ?b a?Borel? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Borel?Lebesgue? ?Lebesgue? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?-?F?(? ?)? ?(,F,P)? ? ?-?F,? ? ? ?Kolmogorov? ? ?(,F,P)? ? ? ?-? ? ?F?P:F 0,1? ? ?(? ?)?R (?)?Rn(? ?)? ?(? ?)? ? ? ? ? ? ?(,F)? ?F? ? ?(,F)? ? ? ? ? ?A,B F? ?A B? ?B ?A? ? ?(,F)? ? ?P? ? ? ? ?F? ? ?P? 2E. Borel (18751956) ? ?Lebesgue? ? ?von Neumann?(19211927)? ? ? ? 3? ? ? ?Lebesgue? 195 ? ? ?,? ?: R,?x R, ?x= |() 6 x F,? ? 6 x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 x?P( 6 x)? ?F(x) = P( 6 x)? ? ? ?E? ?Var? E = Z ()dP() = Z xdF(x), Var = Z () E)2dP() = Z (x E)2dF(x). ?1,2?Cov1,2? Cov1,2 = Z (1() E1)(2() E2)dP(). ?1,2? ? F1,2(x,y) = P(16 x,26 y), ? Cov1,2 = Z R2 (x E1)(y E2)dF1,2(x,y). ? ?(,F)? ? ?(,F)?(R,B)? ? ? ? ? ?(B?)? ?(F?)? ? ? ? ? ?(,F)? ?P?(R,B)? ?n? ?(,F)?(Rn,Bn)? ?(Bn ?Rn?Borel?)? ? ?n? ? ? ? ? ?(,F)?P?(Rn,Bn) ? ? ? ? ?(,F,P)?L0(,F,P).? ?Banach?Lp(,F,P), 1 6 p 6 ,?p? ? ? Lp(,F,P) = L0(,F,P)|E|p j k 0,?m n?j k? 3.?m n = j k,?m n?j k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?F:T R,? ? ?t T,? 7 F(,t),?(? ?(,F)?)? ? ,?t? 204 t 7 F(,t).?T? ?T = 1,2,.,N,? ?F? ?t? ? ? ?T? ?R?a,b.? ? ? ?T?Rn? ? ? ? ? ? ?n? ?(n,Fn,Pn)? ?n ? ? ?Kolmogorov 1933 ? ? ? ? ? ? ? ?Kolmogorov? ? ? ?n? (n,Fn,Pn)? ?(N,FN,PN) = (,F,P) (N n)? ?Rn?RN ? ?n?N= ? ? n= ( a1,., an) n, ? N n = = (a1,a2,.,an,an+1,.,aN) N|ai= ai, i = 1,2,.,n., N? N n? n = n? ?n? ?N? ?Fn? ?n? ?Fn? ?N? ?Fn?N?Boole? ?(? ?-?)? ?FN?N? ?Boole? ?Fn?FN?Boole? ? ?nn=0,1,2,.,N.? ? ?N= .?Boole? F0= , F1 F2 Fn FN= F. ?n?(,F)? ? ?(,Fn)? ?x R, |n() 6 x Fn.?0= 0? |0() 6 x?x R? ? ?. 1= 1?(? = 1? ?)?1?1. |1() 6 x ?x R? ?1? ? ? ?Boole?Fn,? ? = N?t = 0,1,2,.,N,? ? 205 ? ? ? ? ? ? ?2N ? ?Fn?n? ? N n ? ?Boole? ? ? ? ? ? ( N n)? ? ( n)? ? ?(? ?4.1)? ? ?t = N? ?( = N)? ? ? ?2N? ? ?t = n? ?( n)? ?( N n)? ? ? ? ?t = N? ? ?( n)? ?( N n) ?2Nn? ? ? ?( n) ? ?( N n)?Booles?Fn? ?Fn? ? ? ? ? ? ? ?Fn? ?( n)? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n? ? ? ? ?Boole?F = FN? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Boole? ?(? ?)?,? ? ?(?) Boole? f t = 0 B B B B B N 3 f t = 1 QQ Qs 3 f 1 QQ Qs * f t = 2 HH Hj * f HH Hj * f HH Hj * 2 f HH Hj ft = 3f f f f f f f f 3 * f t = N 1 HH Hj * f HH Hj * f HH Hj * f HH Hj f t = N f f f f f f f N1 N . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2N? . . . . . . . . . ?5.1? 206 ? ?nn=0,1,2,.,N.? ?Boole?Fnn=0,1,.,N.? ?n?Fn-? ? ? ? ?Boole? ?Boole? Fnn=0,1,.,N.,? = N?nn=0,1,2,.,N.? ?n = 0,1,.,N, n?Fn-? ?nn=0,1,2,.,N.? ?Boole?Fnn=0,1,.,N.? ?nn=0,1,2,.,N.? ?0? ?n = 1,2,.,N, n?Fn1-? ? ?nn=0,1,2,.,N.?Boole?Fnn=0,1,.,N.? ? ?Boole?Fn? ?,?P.? ?n = 0,1,.,N,?Fn FN= F,?Fn? ?(,F,P)? ? ? ? ? ? ?(?)? ? n= n1+n,?n?En = 0.? ? ?n? ?n1.? ? ? ? ?(,F,P)? ?B F?A F? ?P(B|A)? P(B|A)P(A) = P(A B). ? ?A?A?B ? ?A?B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A?P(A) 0? P(B|A) = P(A B) P(A) . ?A?0,?P(B|A) = 0.?P(B|A) = P(B), ?P(A B) = P(A)P(B);? ?A,B ? ? ? ? ? ?Bayes? P(A|B) = P(A)P(B|A) P(B) . ? ?A? ?A?P(A).? ? 207 ?B? ?A? ? ?P(A)? ?P(B|A)/P(B). ? ?Bayes? ? ? ? ?Bayes? ? ? ? ? ? ? ? ?(,F,P)? ? ? E = X ()P(). ?A F? E|A = X ()P(|A) = X A () P() P(A). ?A? ? ?F?Boole?Fn? ? ?Fn? ? ?(? ? ? ? ?)? ? ?(,F,P) = (N,FN,P)? ?Boole?Fn FN= F?E|Fn ? n Fn,E|Fn(n) = E|N n = X N n () P() P(N n) . ?Fn? ? ?n Fn ?Fn? ? ?n? ? ? ? F? ? ? ? ? n Fn? ? ?Fn? ?n? ?Fn-? ? ? ? ?Boole?(? ?-?)? ?Boole? ? ? ? ? ? ?Boole?(?-?)? ? n m,EE|Fn|Fm = E|Fm. ? ? 208 ? ? ?n? n1? ? ? ? En|n1 = En|Fn1 = n1,n = 1,2,.,N. ? ? ? (,F,P)?Fnn=0,1,2,.,N.?-? ? F0= , F1 F2 Fn FN= F. Mnn=0,1,2,.,N.?(,F,P)? ?n = 0,1,2,.,N, Mn?Fn-? ?Mn? EMn|Fn1 = Mn1,n = 1,2,.,N, ?Mn? ?1939?J. Ville? ? ? ?(martingale)? ? Martigaux?16? ?martingale? ? ? ? ? ?18? ? ? ?Ville?martingale? ? ? ? ? ? ? 4.3? 4.2.1? ? ? ? ?L. Bachelier (18701946) 1900? ? ? ? Bachelier?Brown? ? ? ?Bachelier? ? ? ? ? ?t = 0,1,2,.,n,.,? ?p0,p1,p2,.,pn,., ? p1= p0+ 1, p2= p1+ 2, ., pn= pn1+ n,., ?En = 0, n = 1,2,.? pn p0= 1+ + n,n = 1,2,. Bachelier?n? ? 0= 0, 1= 1, 2= 1+ 2,.,n= 1+ 2+ + n,. 209 ?n?(?)? ?n? ? ?Bernoulli? ? ? ?(?)? ? ? ?n? ? ? ? ? ? ? ? ?-?F1?-? ?().? ?1,2?2,? -?F2= (1,2).?N?1,2,.,N ?(,F,P),? = N, F = FN= (1,2,.,N).? ? Bachelier? ? ? ? ? ? ? ? ?Brown?Brown? ?R. Brown?17731858)?1827? ? ? ? ? ? ? ?Brown?A. Einstein (18801955)?1905? ? ? ?Bachelier? ? ? ?Brown?Bachelier,? ? ?Brown?Einstein? ?1970 ? ?P. A. Samuelson (1915)?1972? ? ? ?(? ?)?Bachelier?Einstein ? ? 4? Samuelson?Bachelier?1950? ? Bachelier? ?Brown? ? Bachelier? ?A. Cowles (18911984)? ?1933? ? ?