金融中的数学方法第二章

? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.1? ? ? ? ? ?Rn? ? ?2.1 R= a = (a1,a2,.,an,.)|ai R, i = 1,2,.,n,.; ai?. ?2.2 R= a = (a1,a2,.,an,.)|ai R, i = 1,2,.,n,.; ai?. ?Rn? ? ? ? ? ? ? ? ?R ? ?R? ?R?R? ? ?R?R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19?20? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 74 ?(? ? ?)? ? ? ? ? ? ? ? ?(? ? ? ? ? ? ?)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1904?E. F. F. Zermelo (18711954)? ? ? ?(?)? ? ?(?)? ? ? ?(? ?)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ?Zermelo ? ? ? ? ? ? ? ? 1935? ?M. A. Zorn? ?Zorn? ? ?Zorn? ? ?Zorn?Zermelo? ? ? ? ? ? ? ? Zorn?F? ?S1,S2,.,Sn, . F,?S1 S2 Sn ,? S nSn F.? ?M F,?S F,?M S, M 6= S. ?Zorn ? ?Zorn? ? ? ? ? ? ?Zorn 1? ? ? 1924?Banach-Tarski? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Banach-Tarski? ? ? ? ? ? ? ? 75 ? ?Zorn? ?X? ? ?B X? ?X? ?B?X? ?X = L(B),?X? ?B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1,?0? ? ?R? ?R? ?0? ?(?)? ?R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Hamel?G. K. W. Hamel (18771954) ? ?Hamel?1905?Hamel? ?Hamel? ?Zorn ?Hamel? ? ?Hamel? ? ?1984?A. R. Blass?Hamel?(?Zorn?) ? ?2.1?Hamel? ?X?F? ? ?F? ?F?B.?B?Hamel ? ? ? ?u X,?u?B? ? ?u B? ?B? ?2 ? ?B1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?F? ?B1 X? ? ? ? ? ? ?2.1?Zorn?(? ?Zorn?)? ?Zorn? ? ?(?)?Hamel? ? ?Hamel? ? ?R ?Hamel? ?Hamel? ? ? 76 ?2.1? ? ? ? ?1 (?1.2?)?X?Hamel?B.? ?X?B? ?2 (?1.3?)?X?X1? ? ?X?X2,?X = X1 X2.?X?u ?u = u1+ u2,?u1 X1, u2 X2. ?3 (?1.8?)?X,Y?X1 X? X?A1:X1 Y?X1?Y? ?A1? X?A:X Y ,?u1 X1,?Au1= A1u1. ?Hamel? ? ? ? ? ?1.4,? ?1.7? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1.7 ?f?X? ? ?f(u) = 0?u X?X?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(? ? ?(functional)? ?(function) ? ? ? ?)? ?Hamel? ? ? ?Hamel? ? ? ?R ?R,? ?R?Hamel? ? ? ?R? ? ? ? ?R? ?R? ?R.? ? ?2.2?X?X0?X00?X0? ? ?X?X?X00? ? ?X?X00?X? ? ? ?B X?X?Hamel? ?I? 77 B = eiiI.?e0iiI? e0i(ej) = 1,i = j, 0,i 6= j. ?e0i?X0? ?X0? ?X0?Hamel?eiiJ, J I? ? X00? ?X00?e0i, i J,? ? ?X?e0i, i I? ? ? ?X00? ?X? ?X00?2 ? ? ? ? ? ?X? ? ? ? ?X?X0? ?X? ?(?)? ? ? ? ? ? ? ? ?X?f X0?X? ? ?f?X? ? f(u) = hf,ui, ?h,i?X?X0? ? ?X X0? ? ? ? ? ? ?X?X0? ?X? ?X?X0? ? ? ? ? ? ? ? ?X R? ?X? ? ? ? ?R? ? ? ? ? ? ? ? ? ?R?(? ?)? ?X R?X0R,?X R? ?(f,) X0 R,?(u,) X R, ? h(f,),(u,)i = hf,ui + . ? ? ? ?2.3? ? ? ? ? 78 ?L0(,F,P),?(,F,P)? ? ? ? ? F?-? ? ? ?F? ?P?F? ? ? ? ? = R?Rn, F?Borel?(?-?)? P? ? ? ?L0(,F,P).? ? ? ?L0(,F,P)? ?L1(,F,P)?L2(,F,P) ? ?Lp(,F,P)?p (p ?)? ?L(,F,P) ? ? ? ?(?)? ?Banach?(? 2.3?)? ? ?(?)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L1(,F,P)?(?)?L(,F,P); L2(,F,P)? ? ?Lp(,F,P)?Lq(,F,P)?q? 1/p + 1/q = 1.?L(,F,P)? ?L1(,F,P) ? ?L (,F,P)2. ?2.4?2.3? ?R? l1= ( (a1,a2,.,an,.) R fl fl fl fl X i=1 |ai| . ) ; l2= ( (a1,a2,.,an,.) R fl fl fl fl X i=1 |ai|2 . ) ; lp= ( (a1,a2,.,an,.) R fl fl fl fl X i=1 |ai|p . ) ; l= (a1,a2,.,an,.) R fl fl fl fl sup i |ai| 0, a= (a1,a2,.,am,0,0,.)?R+?R.? 85 ?a,a) R+, a,a) R.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(?) ? ? ? ?K X?a K?(?)? ?a?K? ? h X, 0,a h,a + h K. K?(?)?Ki,?K?(?)? ?K X? ?b X (?K?)?(?)?K? ? ?u K,?u,b) K. K?(?)?Kc, ?K?(?)? ?KcKi?K?(? ?)? ?2.6?R+?R? (?)? ?(?)? ? ? ? ? ?2.2?X?K?Ki6= , u0 Ki.?Ki?Kc? ? Kc= b X |u0,b) K. Ki= bKc,b6=u0 u0,b). ?(?)? ? ? ? ? ? ? ? 1.?Ki? ?a1,a2 Ki.? ? 0,1, a = (1 )a1+ a2 Ki.? ? ?h X, ?1,2 0,?a11h,a1+1h,a22h,a+2h K,? ? 0,? a h, a+ h K.? = (1)1+2. ?2.3? 2.?Kc? ?b1,b2 Kc.? ? 0,1,b = (1)b1+b2 Kc.? ?u1,u2 K,? u1,b1),u2,b2) K,? u,? u,b) K.? ? u = (1 )u1+ u2.? ?b1,b2,u1,u2? ? b? u? ? ? 86 bb bb bb bb bb bb b r a1 1h bb bb bb bb b r a2 2h bb bb bb bb bb b r a h bb bb bb bb bb bb br a1+ 1h r a2+ 2h r a + h a1 r a r a2r K a = (1 )a1+ a2 Ki, = (1 )1+ 2. ?2.3? ? ?Ai,Ac? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ?2.3?K?X?K?(?)?Ki6= , 0 6 K.?0?K? ?f X0,? u K,hf,ui 0. ?0?Ki? ? u Ki,hf,ui 0. ?F?K?0? ? ?F? ?Zorn? ?K?0? ?C. C?0? ? ?u C, ? 0,?u C (?F?K? ?0? ?Zorn?)? ?C?K,? Ki6= ,?Ci6= ,?C?(?)? ?C? ?X = C D,?D = (C)0. ? ?h / C (C),?h?C? 0?C.?C? ?M = Cc Dc(C?D? 87 ?)? ?C?D?X,?Cc= X Di, Dc= X Ci, ? M = (X Di) (X Ci) = X (Ci Di). ?Ci6= ,?M 6= X.?M? ? u,v M,?uv M.?uv?Ci Di? ? ?2.2,?u,v Ci Di.? ? ?M? ?0 M,?M?X? ? ?p Ci,?p (Ci) = Di.?M? ? ?p(p)?M?X?P.? ?X = M P.?C?p? ?D?p? ?M? ?X? ?p?p?M? ?X? p?M? ? ?2.1?(? ?p?X?Hamel?)? ?M? ? ? u M, hf,ui = 0,hf,vi = 1, ?M? ?C? D? ?0?Ci(?Ki)?2 ?A,B?X?A B?(?)? (A B)i6= , A B = .?A?B? ?f X0, ? u A, v B,hf,ui hf,vi. ?Ai6= ,?Ai?B? ? u Ai, v B,hf,ui hf,vi. ? ?AB = ?0 / K = (A B).?Ai6= ,?Ki= (A B)i6= . ? ?2.4?K?X?K?(?)?Ki6= , 0 / Kc.?0?K? ?f X0,? inf uKhf,ui 0. 88 ?u0 Ki.?0?u0,?0 / Kc, 0,u0? ?v0 (0,u0),?0,v0) X Kc, v0,u0 Kc.? v0/ Ki.? ?v0?Ki? ?f X0, u Ki,hf,ui hf,v0i. ? inf uKhf,ui hf,v0i. ? ?v0 (0,u0),?v0= u0, (0,1).? hf,u0i = 1 hf,v0i infuKhf,ui hf,v0i. ?hf,v0i 0.?2 ? ? ? ?X? ? ?Ki6= ? ? ? ? ?(?)? ? ? ?Kn? ? ? ?0? ? ? ?0? ?0? ? ?n? ?Kn?n + 1? ? ?a1,a2,.,an,an+1(? ? ? ? ? ?)? ?a1 an+1,a2 an+1,.,anan+1? ? ?1,2,.,n,n+1, 1+ 2+ + n+ n+1= 0,? 1a1+ 2a2+ + nan+ n+1an+1= 0, ? 1= 2= = n+1= 0. ?n + 1?n? ? ?1?2? ?3? ? ? ?n?n + 1?(?)? ? ? ?n? ? ? ? ? ? 89 2.2.1? ? ?(MS,K,X) ? ?1.11?(MS,K,X)? ? ?1,2,.,S 0, ? xk0= 1xk1+ 2xk2+ . + SxkS,k = 1,2,.,K. ?y = (y1,y2,.,yS) MS,?p:MS R ? p(y) = 1y1+ 2y2+ + SyS. ?(MS,K,X)? ? ? ?1.11? ? ? ?1.11?(MS,K,X)?S?MS, K? ?X?x0= (x10,x20,.,xK)T?K? ? ? = (1,2,.,K)T K,? V0() = x0T 6 0,V1() = X 0,(V0(),V1() 6= 0, ? 1x10 2x20 KxK00 1x11+ 2x21+ + KxK10 1x12+ 2x22+ + KxK20 1x1S+ 2x2S+ + KxKS0 ? ? ?1,2,.,S 0,? x0T= TX, = (1,2,.,S)T, ? xk0= 1xk1+ 2xk2+ . + SxkS,k = 1,2,.,K. 90 ?1.11,?Farkas?3? ?G. Farkas (18471930)?1881? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?H. Minkowski (18641909)? ?1.11? ? ? ? ? ? ?RS+1? ? ? ? ? ?. ?RS+1?L?M? L = y RS+1 fl fl fl fl y = ? x0T X , K. ? , M = z RS+1 fl fl fl fl z = (z0,z1,.,zS)T 0, z 6= 0. ? , L? K? ?(? ?S?)?M?RS+1?0.? ? ? ? ? ? ?2.2 (? ? ?)? ? = (0,1,.,S)T RS+1 ? y L, z M,Tz Ty; ?L?RS+1? ? ? ? ? ? ? y L,Ty = 0, ? K,T ? x0T X = T ? x0T X = 0, 3? D. Duffi e, 2001, Dynamic Asset Pricing Theory, 3nd ed, (Princeton University Press, Princeton, N.J.)? ?Stiemke? ?Farkas? ? ?(?)? ? i 0? ?Farkas? 91 ? K,(0 x0+ 1x1+ + SxS)T = 0, ? xs= (x1s,x2s,.,xKs)T,s = 0,1,2,.,S. ?0 x0+ 1x1+ + SxS?0. L bb bb bb bb bb bb bb bb bb bb r 0 r r - 6 M K ?2.4?Farkas? ?0,1,2,.,S 0,?s= s/0,? x0= 1x1+ + SxS, ? ? ?s 0,? ? ? ? S = K = 1.?L?0?M? ? ? ?L?M?L? ? ?0 x10+ 1x11= 0,? ?(0,1)?0,1 0,? ?M? ? ? ? ?S = 2, K = 1,?L?0? ?M ? ?L?M? ?L? ?0 x10+ 1x11+ 3x12= 0,?3= 0 ? ? ? ? 92 ?M? ?M? ? K = ( z RS+1 fl fl fl fl z = (z0,z1,.,zS)T 0, S X s=0 zs= 1 ) , ?z 0? ? ?ArrowDebreu? ?1? ? ? ?0,1? ?)?K?L ? ? ? 2.3? ? ? y L, z K,Tz Ty. ?RS+1?K? ?i 0.? ?2.3?K L? ? ? ?KL = (KL)c,?0 / (KL)c.?KL = (KL)c ? ? ? ? ? ? ?K?K? ? ? ? ? ?2 ?(MS,K,X)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Black-Scholes-Merton? ? ? ?(? ?)? ? ? ?Farkas? ? ?Krein-Rutman? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 93 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P? ? u P,? 0,?u P.? ? ? ? ?X? ? ?X? ?P.? ? ?P P = 0.? ? ?Pc= P.? ? ?X?P? ? ? ?(X,P).? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x?y?(?x 6 y)?x?y ? ? ? 6? ? ?u,v X, u 6 v?v u P (? ? ? ?)? ? ?6? ?, u.?u 0, u 6 v; 2.?u 6 v, v 6 u,?u = v? 3.?u 6 v, v 6 w,?u 6 w. ? ? ?3? ? ? ?u,v P,?u + v P.? ? ? ?v u P ?wv P,?wu = (v u)+(wv) P.? ? ?M. G. Krein (19071989)?1963? ?Krein-Rutman? ?2.5?(X,P)?X1 X?X? ?f1?X1? ? ?u X1P (u X1,? u 0)?f1(u) 0.?0 (P X1)i,?X? ?f X0,? u X1, f(u) = f1(u),v P, f(v) 0. ? ? ?XR ? ?2.3.? 94 ? M = P 0 0,P 0 = u0= (u,) X R|u P, 0., L = (u,f1(u) X R; u X1. ?(P X1)i? ?(M L)i6= .? ?2.3 ? ?X R?G,? u0 L, v0 M,hG,v0i hG,u0i. w0 (M L)i,hG,w0i 0. ?L?X R? ? ? u0 L,hG,u0i = 0. ? ?X R?G = (g,), g X0, R,?u0= (u,) X R,? hG,(u,)i = g(u) + . ? (u,) L,g(u) + = 0. (v,) (M L)i,g(v) + 0. ?L? ? u X1,g(u) f1(u) = 0. ? ?(M L)i? R+? ? 0. ?0;?M? v (P X1)i,g(v) 0. ?0 (P X1)i,? ? ?f = g/ X0? ?2 Krein-Rutman?2.5? ? ?(?)? Krein-Rutman?2.5?2.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(?)? ?Pi? ?P? 95 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Krein-Rutman?2.5?1.11? ? ?1.11? ? ? ? ? ? ?1.11? ? ?(?Arrow-Debreu? ?)? ? ? ?1.11?i? ?i?Arrow- Debreu? ?i?Arrow-Debreu?i? ? ?1 = (1,1,.,1)T(? 1.1.1? ? ? ? ? ? ? ?)? ? p(1) = 1+ 2+ + S, ? (1+ 2+ + S)rf= 1, ?rf= 1/p(1) 0? ?pi= irf, i = 1,2,.,S.?pi ?i? ?1.11? ? p(y) = Ey rf , ?E?pi?i?(i = 1,2,.,S.)? ? Ey = p1y1+ p2y2+ + pSyS. ? ?(MS,K,X)?1.11? ? ?1.11”?(MS,K,X)?