到两个定点距离积为定值的轨迹 卡西尼卵形线的几何画板作法 常州

到两个定点的距离之积为一定的轨迹-卡西尼卵形线几何画板的做法常州市第二中学季传军1 .提出问题一次圆锥曲线高三复习课，总结了与两点距离有关的点轨迹问题从可动点到两点的距离和值，即轨迹为椭圆从动点到两个定点的距离差的绝对值一定，即轨迹为双曲线从移动点到两点的距离商一定，即轨迹为圆。教室里很快就提出了到两个定点的距离之积为一定点的轨迹是什么。 上课前我从来没有想过这个问题，而且高中复习时间很紧迫，所以我欺骗他们说“这个问题在初中阶段不要求”，上课后两个学生追我，问这个轨迹到底是什么。 这样我只能“勉强”地研究。2 .问题学习研究过程我先在网上查资料，知道两点的距离积到一定点的轨迹是卡西尼卵形线，图像分为几类图形。 其中一个特殊情况(图3 )是伯努利双绳线(微分几何学的重要研究图形)，教学生如何同样带来许多“为什么”，如何动态直观地让学生看到这些图形？ 我想到了一个几何画板。(1) (2) (3) (4)问题：从可动点到两点的距离积是一定的，即试图研究点的轨迹。绘图思路：首先创建可变线段，控制两焦点的距离(如图所示，拖动变化的距离，以下相同)用于控制可变线段的值作为可变线段用，将中心作为半径设为圆，将中心作为半径设为圆，设为圆，将圆的交点设为p，则可以明确选择点，创建轨迹曲线。通过这样拖动点，可直观地看到点在轨迹曲线上移动。 此外，拖动可以看到曲线的形状发生变化如果做成以上这样的动态图形的话，应该可以向学生说明，但是上面的图中还留有“为什么”。 上图右图的圆没有远离的交点，实际上两圆是“虚交”(可以简单理解为两圆方程式的联立方程式的解是虚数)，但是学生不能想象，应该进一步考虑。上述绘图过程没有坐标系就完成了，即绘图过程没有考虑卡西尼卵形线的代数形式，直观上该问题涉及到许多长度问题，应该能够在极坐标上形成动态图形，圆锥曲线与在极坐标上形成统一方程式相同：这样的调和很美，如下所示首先，以某直线为x轴，以某垂线为轴创建直角坐标系，然后以坐标原点为极轴，以x轴正半轴为极轴创建极坐标系卡西尼卵形线的直角坐标方程此等式的对应曲线不能直接在几何画板中创建，而是转换为极坐标等式(在几何画板中，只能直接创建等式的形状或曲线)即，即极坐标方程是在极坐标系中，不能直接创建相应的曲线(在极坐标系中，几何画板只能创建类似或的曲线)。 研究方程式可以表示：，如果有限制：这样可以创建相应的曲线作为可变线段，通过点控制值作为可变线段，通过点控制值建立与方程对应的曲线，如上图所示。问题仍然存在，有限，因此在直角坐标上只能产生第一象限的曲线。 考虑到方程式变换方程式不变、变换方程式不变的特征，曲线对于x轴对称和y轴对称都是已知的，所以可以根据对称性制作第二、三、四象限的曲线通过改变值可以得到卡西尼卵形线的各种情况焦班尼卡西尼是一位不愿接受哥白尼理论的着名天文学家，发现土星卫星，反对开普勒定律，行星运行的轨道不是椭圆形的，从卵形线-曲线上的所有点到两个点(焦点)的距离之积为常数，命名为卡西尼卵形线。3 .若干反思几何艺术板作为多媒体教学辅助软件，不仅是课件制作工具，还是数学实验研究的平台(叶中豪语)，是教师和学生进行创新思维活动的平台，也是中学教师存在许多“板书迷”的原因，教学改革将进一步深化学生的自主学习意识逐渐强化，抱有强烈疑问精神的学生开始增多，一线教师在学生中发现越来越多的“为什么”，而且教师很难以简单的方式应对，这需要我们进一步的学习研究，不得不成长和进步。 希望通过自己的简单工作引起数学学习研究的兴趣，