高中物理竞赛辅导__几何光学

几 几 何 何 光 光 学 学 1.1 1.1 几何光学基础 几何光学基础 1、光的直线传播：1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。 2、光的独立传播：2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。 3、光的反射定律：3、光的反射定律： 反射光线在入射光线和法线所决定平面内； 反射光线和入射光线分居法线两侧； 反射角等于入射角。 4、光的折射定律：4、光的折射定律： 折射光线在入射光线和法线所决定平面内； 折射光线和入射光线分居法线两侧； 入射角 1 i 与折射角 2 i 满足 2 2 1 1 sin sin i n i n = ； 当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临 界角 C 时，将发生全面反射现象（折射率为 1 n 的光密介质 对折射率为 2 n 的光疏介质的临界角 1 2 sin n n C = ）。 1.2 光的反射 1.2.1、组合平面镜成像： 1.2.1、组合平面镜成像： 1.1.组合平面镜组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学系 统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面 镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。先看 一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于 O点） 镜间放一点光源 S（图 1-2-1），S 发出的光线经过两个平 面镜反射后形成了 1 S 、 2 S 、 3 S 三个虚像。用几何的方法 不难证明：这三个虚像都位于以 O 为圆心、OS为半径的圆 上，而且 S 和 1 S 、S 和 2 S 、 1 S 和 3 S 、 2 S 和 3 S 之间都以 平面镜（或它们的延长线）保持着 对称关系对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的 情况中复像的个数和位置。 两面平面镜 AO 和 BO成 60角放置（图 1-2-2），用上述规律，很容易确定像的位置： 以 O 为圆心、OS 为半径作圆；过S 做 AO和 BO 的垂线与圆交于 1 S 和 2 S ；过 1 S 和 2 S 作 BO 和 AO 的垂线与圆交于 3 S 和 4 S ；过 3 S 和 4 S 作 AO 和 BO 的垂线与圆交于 5 S ， 5 1 S S 便是 S A B S S1 S2 S3 O 图 121 S S1 S2 S3 S4 S5 O 图 122 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 在两平面镜中的 5 个像。 双镜面反射双镜面反射。如图 1-2-3，两镜面间夹角 a =15,OA=10cm，A 点发出的垂直于 2 L 的光线射 向 1 L 后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出， 则从 A 点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？ 如图 1-2-4 所示，光线经 1 L 第一次反射的反射线为 BC， 根据平面反射的对称性, BC C B = ，且 a C BO = 。上述 D C B A , , , 均在同一直线上，因此光线在 1 L 、 2 L 之间的反 复反射就跟光线沿 C AB 直线传播等效。设 N 是光线第 n 次反射的入射点，且该次反射线不 再射到另一个镜面上，则 n 值应满足的关系是 na 90 a n ) 1 ( + ， 6 90 0 = a n 。取 n=5， 0 75 = OA N ，总路程 cm OAtg N A 3 . 37 5 = = 。 2、全反射2、全反射 全反射光从密度媒质 1 射向光疏媒质 2， 当入射角大于 临界角 21 1 sin n a = 时，光线发生全反射。 全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组 成部分光导纤维， 就是利用光的全反射现象。 图 1-2-5 是光导纤维的示意图。AB 为其端面，纤维内芯材料的折射 率 3 . 1 1 = n ，外层材料的折射率 2 . 1 2 = n ，试问入射角在 什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？ 图 1-2-5 中的 r 表示光第一次折射的折射角，表示 光第二次的入射角，只要大于临界角，光在内外两种材 料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传 播。 21 1 sin n = 0 1 1 2 1 4 . 67 3 . 1 2 . 1 sin sin = = = n n o o o r 6 . 22 4 . 67 90 2 = = = 1 / 3 . 1 sin / sin = r i 只要 o i i 30 , 50 . 0 sin 时，或 2 2 0 sin B A A n n a n 时，由 O 发出的光束中，只有 C a a 的光线才满足 C i i 的条件下，才能射向端面，此时出射端面处 的最大值为 C c i a a = = 0 max 90 若 c a a 0 ，即 2 2 0 sin B A A n n a n 的条件，因 而都能射向端面，此时出射端面处的最大值为 0 max a a = 端面处入射角最大时，折射角也达最大值，设为 max ，由式可知 max max sin sin a n n A F = 由、式可得，当 C a a 0 时， F A B i o i 图 1-2-20 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 max 0 sin sin a n n A F = 由至式可得，当 C a a 0 时， max 2 2 max sin sin cos B A C A F n n i n n = = max 的数值可由图 1-2-21 上的几何关系求得 为 2 1 2 2 1 2 1 2 max ) ( 2 / ) ( 2 sin h h d d d d + = 于是 F n 的表达式应为 ( ) C A F d d h h d d n n + = 0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ) ( / ) ( 2 sin （11） ( ) C B A F d d h h d d n n n + = 0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 ) ( ) ( 2 （12） （2）可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得 1 h 、 2 h 、 1 d 、 2 d ，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于 1，故有 当 C 0 时， 2 / ) ( ) ( 2 / ) ( sin 1 1 2 2 1 2 2 1 2 0 d d h h d d n A + = （13） 当 C 0 时 2 / ) ( ) ( 2 / ) ( 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 d d h h d d n n B A + = （14） 将（11）（12）两式分别与（13）（14）相除，均得 1 d 2 d 1 h 2 h D A B F D 0 O 1 O 2 O max O max O 图 1-2-21 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ) ( 2 / ) ( ) ( 2 h h d d h h d d d d d d n F + + = （15） 此结果适用于 0 为任何值的情况。 1.3 光的折射 1.3.1、多层介质折射1.3.1、多层介质折射 如图：多层介质折射率分别为 L 3 2 1 , , n n n 则由折射定律得： k k i n i n i n sin sin sin 2 2 1 1 = = = L 1.3.2、平面折射的视深1.3.2、平面折射的视深 在水中深度为 h 处有一发光点Q，作 OQ 垂直于水面，求射出 水面折射线的延长线与 OQ 交点 Q 的深度 h 与入射角i 的关系。 设水相对于空气的折射率为 3 4 = n ，由折射定律得 i i n = sin sin 令 OM=x，则 i tg d tgi d x = = 于是 i n i n d i tg tgi d d cos ) sin ( 1 2 = = 上式表明， 由 Q 发出的不同光线， 折射后的延长线不再 交于同一点，但对于那些接近法线方向的光线， 0 = i ，则 0 sin 2 = i ， 1 cos = i 于是 n d d = 这时 d 与入射角 i 无关，即折射线的延长线近似地交于同一点 Q ，其深度是原光点深度 1 i 2 i 3 i 1 n 2 n 3 n R n 图 131 d d Q Q O x M i 图 132 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 的 4 3 1 = n 。 如图 1-3-3 所示，MN 反射率较 低的一个表面，PQ 是背面镀层反射 率很高的另一个表面，通常照镜子 靠镀银层反射成像，在一定条件下 能够看到四个反射像，其中一个亮 度很底。若人离镜距离 l ，玻璃折射 率 n，玻璃厚度d，求两个像间的距 离。 图中 S 为物点， S 是经 MN 反 射的像，若 3 2 1 , , S S S 依次表示 MN 面折射， PQ 面反射和 MN 面再折射成 像，由视深公式得 S nO S O 1 1 1 = ， d S O S O S O + = = 1 1 1 2 2 2 ， 3 1 2 1 S O n S O = ， n d n d nl d n S O O O S O 2 1 2 2 2 1 3 1 + = + + = + = 故两像间距离为 n d S O S O 2 1 3 1 = 。 1.3.3、棱镜的折射与色散1.3.3、棱镜的折射与色散 入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线 与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图 1-3-4 的 几何关系知 ) ( ) ( 2 1 2 1 i i i i + = + = 1 1 i i 其中 2 1 sin sin i n i = 1 2 sin sin i n i = 当 1 i ，很小时， 1 2 2 1 , i i n ni i = 即 =（n-1） 厚度不计顶角很小的三棱镜称之为光楔， 对近轴光 线而言，与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏 折同样的角度， 所以作光楔折射成像光路图时可画成一 使光线产生偏折角的薄平板，图 1-3-5。设物点S 离光楔 L 则像点 S 在 S 的正上方。 l l 1) (n h = = h=l=（n-1）l。 当棱镜中折射光线相对于顶角对称成等腰三角形时， i i = 1 ， 2 2 i i = 。 A B C E F i1 i2 i2 i1 D G 折射率 图 134 h L S S 图 135 S2 S3 S 1 O2 O1 S S1 Q N P M 图 133 2 sin sin sin 1 1 n i i = = 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 = ) 2 sin arcsin( 2 n 或者 这为棱镜的最小偏向角，此式可用来测棱镜的折 射率。 由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏 折角不同，所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。虹和霓是太 阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光在水滴上 经两次折射和一次反射如图 1-3-6。形成内紫外红的虹；阳光经 小滴两次折射和两次反射如图 1-3-7，形成内红外紫的霓。由于 霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。 1.3.4、费马原理1.3.4、费马原理 费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程 总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质 中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。 费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从 费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。例如光的 直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。 如果反射面是一个旋转椭球面， 而点光源置于其一个焦点上， 所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一 个焦点，便是光程恒定的一个例子。此外，透镜对光线的折 射作用，也是很典型的。 一平凸透镜的折射率为 n， 放置在空气中， 透镜面孔的半 径为 R。在透镜外主光轴上取一点 F ， f F O = （图 1-3-8） 。当 平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于 F 点。试问： （1） 透镜凸面应取什么形状？（2）透镜顶点 A 与点O 相距多少？（3） 对透镜的孔径 R 有何限制？ 解:解: 根据费马原理， 以平行光入射并会聚于 F 的所有光线应 有相等的光程，即最边缘的光线 F B 与任一条光线 F NM 的光程 应相等。由此可以确定凸面的方程。其余问题亦可迎刃而解。 （1） 取 xy o 坐标系如图， 由光线 F B 和 F NM 的等光程性， 得 2 2 2 2 ) ( R f y x f nx + = + + 整理后，得到任一点M（x，y）的坐标 x，y 应满足的方程为 x y B A M （x， y） n R f F 图 138 阳光 红 紫 图 136 图 137 紫 红 阳光 2 sin 2 sin n = + 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 1 ) ( 1 ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + n R f f n y n f R f n x n 令 1 2 2 2 0 + = n f R f n x ， 1 2 2 2 + = n R f f n a ，则上式成为 2 2 2 0 2 ) )( 1 ( a y x x n = 这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。 （2）透镜顶点 A 的位置 应满足 2 2 0 2 ) )( 1 ( a x x n A = 或者 1 1 2 2 2 + = = n f R f n a x x O A 可见，对于一定的 n和 f ， A x 由 R 决定。 （3）因点 F 在透镜外，即 f x A ，这是对 R 的限制条件，有 f n f R f + 1 2 2 即要求 f n R 1 2 讨论讨论 在极限情形，即 f n R 1 2 时，有如下结果： f n f f n f x A = + = 1 ) 1 ( 2 2 2 即点 A 与点 F 重合。又因 f n f f n x O = = 1 2 2 a=0 故透镜凸面的双曲线方程变为 0 ) )( 1 ( 2 2 2 = y f x n 即 ) ( 1 2 f x n y = 双曲线退化成过点 F 的两条直线， 即这时透镜 的凸面变成以 F 为顶点的圆锥面，如图 1-3-9 所 示。考虑任意一条入射光线 MN，由折射定律有 t n sin sin = ，由几何关系 2 2 1 cos sin R f + = = x y R f A M N n t F 图 139 M O N R 45 图 1-3-10 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 故 1 sin 2 2 = + = R f f n t ， 2 = t 即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点 F ，此时的角就是全反射的临界角。 例 例 1、1、半径为R 的半圆柱形玻璃砖，横截面如图 1-3-10 所示。O为圆心。已知玻璃的折射 率为 2 。 当光由玻璃射向空气时， 发生全反射的临界角为 45， 一束与 MN 平面成 45 0 的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻 璃折射后，有部分光能从 MN 平面上射出。求能从 MN平面射出的 光束的宽度为多少？ 分析分析: 如图 1-3-11 所示。 进入玻璃中的光线垂直半球面， 沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在O 点发生全 反射， 光线左侧的光线经球面折射后， 射在MN 上的入射角都大 于临界角，在 MN 上发生全反射，不能从 MN 射出，光线右侧一 直到与球面正好相切的光线范围上的光线经光球面折射后，在 MN 面上的入射角均小于临界角，都能从 MN面上射出，它们在 MN 上的出射宽度即是所要求的。 解:解: 图 1-3-11 中，BO为沿半径方向入射的光线，在 O 点正好发生全反射，入射光线 在 C 点与球面相切，此时入射角 o 90 = i ，折射角为 r，则有 r n i sin sin = 2 2 sin sin = = n i r 即 o 45 = r 这表示在 C点折射的光线将垂直 MN 射出，与 MN 相交于 E 点。 MN 面上 OE 即是出射光的宽度。 R r R OE 2 2 sin = = 讨论讨论 如果平行光束是以 45角从空气射到半圆柱的平面表面 上，如图 1-3-12 所示，此时从半圆柱面上出射的光束范围是多大？ 参见图 1-3-13 所示，由折身定律 r sin 2 45 sin = o ，得 2 1 sin = r ， o 30 = r ，即所有折射光线与垂直线的夹角均为 30。考虑在E 点发 生折射的折射光线 EA，如果此光线刚好在 A 点发生全反射，则有 o 90 sin sin = EAO n ，而 2 = n ，即有 o 45 = EAO ，因 EA 与 OB平行，所以 o 45 = = AOB EAO ，所以 o o o o 75 60 45 180 = = ，即射向 A 点左边 MA 区域的折射光（ o 45 ）则由小于临界角而能射出，随着角的增大，当 o 45 = FCO 时，将在C 点再一 次达到临界角而发生全反射， 此时 o 15 = FOC 故知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制 M O N R 45 A B C E i r 1 3 2 图 1-3-11 45 M N O 图 1-3-12 M N O A B C E F i r r i 图 1-3-13 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 在 AC 区域上，对应的角度为 o o 165 75 。 点评点评 正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个 重要方向，要予以足够重视。 例 例 2、2、给定一厚度为 d 的平行平板，其折射率按下式变化 r x n x n = 1 ) ( 0 一束光在O点由空气垂直入射平板， 并在A点以角出射 （图1-3-14） 。 求 A 点的折射率 nA，并确定 A 点的位置及平板厚度。 （设 o 30 , 13 , 2 . 1 0 = = = cm r n ） 。 解:解: 首先考虑光的路线 （图 1-3-15） 。 对于经过一系列不同折射率的 平行平板的透射光，可以应用斯涅耳定律 1 2 2 1 sin sin n n = ， L 2 3 3 2 sin sin n n = 更简单的形式是 L = = = 3 3 2 2 1 1 sin sin sin n n n 这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里，折射率只 沿 x 轴变化，即 常数 = x x n sin 在本题中，垂直光束从折射率为 n0 的点入射，即 o 90 , 0 = = x x n n 为常数，于是在平板内任一点有 0 sin n n x x = x n 与 x 的关系已知，因此沿平板中的光束为 r x r r x n n x x = = = 1 sin 0 图（1-3-16）表明光束的路径是一个半径为 XC=r 的圆，从而有 x XC x OC sin = 现在我们已知道光的路径，就有可能找到问题的解答。按折射定律，当光在 A 点射出时， 有 A A A n cos sin ) 90 sin( sin = = o 因为 0 sin n n B A = ，故有 A A n n 0 sin = A O K r d 图 1-3-14 1 n 2 n 3 n 4 n 1 2 3 图 1-3-15 C O x x 2 图 1-3-16 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 2 0 1 cos = A A n n 于是 2 0 ) 1 ( sin A A n n n = 因此 2 2 0 sin + = n n A 在本题情形 3 . 1 = A n 根据 13 1 2 . 1 3 . 1 x n A = = 得出 A 点的x 坐标为x=1cm。 光线的轨迹方程为 2 2 2 ) 1 ( r x y = + + 代入 x=1cm，得到平板厚度为 y=d=5cm 例 例 3、3、图 1-3-17 表示一个盛有折射率为 n 的液体的槽，槽的中部扣着一个对称屋脊形的 薄壁透明罩 A，D，B，顶角为 2 ，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底 AB的中点处有 一个亮点 C。请求出：位于液面上方图标平面内的眼睛从侧面观 察可看到亮点的条件。 解:解: 本题可用图示平面内的光线进行分析，并只讨论从右 侧观察的情形。如图 1-3-18 所示，由亮点发出的任一光线 CP 将 经过两次折射而从液面射出。由折射定律，按图上标记的各相关 角度有 sin sin n = （1） sin 1 sin n = （2） 其中 2 / ) ( 2 / + （3） 如果液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。全反射临界角 。应满足条件 n c / 1 sin = 可见光线 CP经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为 ，则任何光线都不能射出液面。反之，只要 c m ，这部分光 线就能射出液面，从液面上方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要求的条件。 自 C 点发出的值最大的光线是极靠近CD 的光线，它被 DB 面折射后进入液体，由（6） 式可知与之相应的 m ； = 2 / 1 sin cos cos cos sin 2 2 = n n m 能观察到亮点的条件为 1 sin m n 即 1 sin cos cos cos 2 2 n 上式可写成 sin cos 1 cos cos 2 2 + n 取平方 ) cos 1 ( cos sin cos 2 1 ) cos ( cos 2 2 2 2 2 + + n 化简后得 sin cos 2 sin cos sin cos 2 1 ) cos ( 2 2 2 2 + + = + ， 所以 1 / 1 2 n n 。 同理，对蓝光有 1 / 1 2 n n 。现在我们就能画出光线穿过组合棱镜的路径了 （图 1-3-20） 。 3、对波长为 0 的光，组合棱镜可看作顶角为 30、折射率为 n=1.5 的单一棱镜。 我们知道，最小偏向在对称折射时发生，即在图 1-3-21 中的角相等 时发生。 根据折射定律， 5 . 1 15 sin sin = 因而 0 5 22 = o 偏向角为 0 4 15 30 2 = = o o 4、利用图 1-3-22 中的数据，可以写出 0 红 蓝 图 1-3-20 15 15 b 图 1-3-21 A B C D 30 30 120 60 图 1-3-22 高中物理竞赛光学教程高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 1 sin 30 sin n = o ； 1 2 30 sin ) 60 sin( n n = o o 消去后得 1 3 2 2 2 2 1 + + = n n n 经变换后得 0