高等数学同济第七版上册课后习题答案

习题 1-1 1.求下列函数的自然定义域： 2 (1)32; 1 (3)1; (5)sin; (7)arcsin(3); (9)ln(1); yx yx x yx yx yx 2 2 1 1 (2); 1 1 (4); 4 (6)tan(1); 1 (8)3arctan; (10). x e y x y x yx yx x ye 解： 2 (1)320 3 xx ，即定义域为 2 , 3 2 (2)101,xx 查看全部文档，请关注微信公众号：高校课后习题 即定义域为(, 1)( 1,1)(1,) (3)0 x 且 2 100 xx且1x 即定义域为1,00,1 2 (4)402xx即定义域为( 2,2) (5)0,x 即定义域为0, (6)1(), 2 xkkZ 即定义域为 1 ()1, 2 x xRxkkZ 且 (7)3124,xx 即定义域为2,4 (8)30 x且0 x ，即定义域为(,0)0,3 (9)101xx 即定义域为( 1,) (10)0,x 即定义域为(,0)(0,) 2.下列各题中，函数( )f x和( )g x是否相同？为什么？ 2 2 433 3 22 (1) ( )lg, ( )2lg (2) ( ), ( ) (3) ( )(), ( )1 (4) ( )1, ( )sectan f xxg xx f xx g xx f xxxg xx x f xg xxx 解： （1）不同，因为定义域不同 （2）不同，因为对应法则不同， 2 ,0 ( ) ,0 x x g xx x x （3）相同，因为定义域，对应法则均相同 （4）不同，因为定义域不同 3.设 sin, 3 ( ) 0, 3 xx x x 求(), (), (), ( 2), 644 并指出函数( )yx的图形 解： 12 ()sin, ()sin, 662442 2 ()sin(), ( 2)0, 442 ( )yx的图形如图1 1所示 4.试证下列函数在指定区间内的单调性： (1); 1 (2)ln ,(0,) x y x yxx 证明： 1 (1)( )1,(,1) 11 x yf x xx 设 12 1xx，因为 21 21 12 ()( )0 (1)(1) xx f xf x xx 所以 21 ()(),f xf x即( )f x在(,1)内单调增加 (2)( )ln ,(0,)yf xxx 设 12 0 xx，因为 2 2121 1 ()( )ln0 x f xf xxx x 所以 21 ()()f xf x即( )f x在(0,)内单调增加 5.设( )f x为定义在(, )l l内的奇函数，若( )f x在(0, ) l内单调增 加，证明( )f x在(,0)l内也单调增加 证明： 设 12 0lxx ，则 21 0 xxl 由( )f x是奇函数，得 2121 ()()()()f xf xf xfx 因为( )f x在(0, ) l内单调增加，所以 12 ()()0fxfx 即( )f x在(,0)l内也单调增加 6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(, )l l上的。证明： （1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数 （2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶 函数与奇函数的乘积是奇函数 证明： (1)设 12 ( ),( )f xfx均为偶数，则 1122 ()( ),()( )fxf xfxfx 令 12 ( )( )( )F xf xfx 于是 1212 ()()()( )( )( )Fxfxfxf xfxF x 故( )F x为偶函数 设 12 ( ),( )g x gx均为奇函数， 则 1122 ()( ),()( )gxg x gxgx 令 12 ( )( )( )G xg xgx 于是 1212 ()()()( )( )( )Gxgxgxg xgxG x 故( )G x为奇函数 (2)设 12 ( ),( )f xfx均为偶数， 则 1122 ()( ),()( )fxf xfxfx 令 12 ( )( )( )F xf xfx 于是 1212 ()()()( )( )( )Fxfxfxf x fxF x 故( )F x为偶函数 设 12 ( ),( )g x gx均为奇函数，则 1122 ()( ),()( )gxg x gxgx 令 12 ( )( )( )G xg xgx 于是 121212 ()()()( )( )() ()( )Gxgxgxg xgxg x g xG x 故( )G x为偶函数 设( )f x为偶函数，( )g x为奇函数， 则()( ), ()( )fxf x gxg x 令( )( )( )H xf xg x 于是 ()()() ( )( )( )( )( ) Hxfxgx f xg xf xg xH x 故( )H x为奇函数 7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇 函数？ 22 2 2 (1)(1); 1 (3); 1 (5)sincos1; yxx x y x yxx 23 (2)3; (4)(1)(1); (6) 2 xx yxx yx xx aa y 解： （1）因为 2222 ()()1 ()(1)( )fxxxxxf x 所以( )f x为偶函数 （2）因为 2323 ()3()()3fxxxxx ()( ),fxf x且()( )fxf x 所以( )f x既非偶函数又非奇函数 （3）因为 22 22 1()1 ()( ) 1()1 xx fxf x xx 所以( )f x为偶函数 （4）因为()(1)(1)( )fxx xxf x 所以( )f x奇函数 （5）因为()sin()cos()1sincos1,fxxxxx ()( )fxf x且()( )fxf x 所以( )f x既非偶函数又非奇函数 （6） 因为()( ) 2 xx aa fxf x 所以( )f x为偶函数 8.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期 2 (1)cos(2); (3)1sin; (5)sin yx yx yx (2)cos4 ; (4)cos ; yx yxx 解： （1）是周期函数，周期2l （2）是周期函数，周期 2 l （3）是周期函数，周期2l （4）不是周期函数 （5）是周期函数，周期l 9.求下列函数的反函数 3 (1)1; (3)(0); (5)1ln(2); yx axb yadbc cxd yx 1 (2); 1 (4)2sin3 (); 66 2 (6) 21 x x x y x yxx y 解： （1）由 3 1yx解得 3 1xy，既反函数为 3 1yx （2）由 1 1 x y x 解得 1 1 y x y ，既反函数为 1 1 x y x （3）由 axb y cxd 解得 dyb x cya ，既反函数为 dxb y cxa （4）由2sin3 () 66 yxx 解得 1 arcsin 32 y x ， 既反函数为 1 arcsin 32 x y （5）由1ln(2)yx 解得log 1 y x y ， 既反函数为log 1 x y x （6）由 2 21 x x y 解得 2 log 1 y x y ， 既反函数为 2 log 1 x y x 10.设函数( )f x在数集X上有定义，试证：函数( )f x在X上有界 的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界 解： 设( )f x在X上有界，既存在0M ，使得 ( ),f xM xX 故( ),Mf xM xX 既( )f xX上有上界M，下界M 反之，设( )f x在X上有上界 1 K，下界 2 K，即 21 ( ),Kf xK xX 取 12 max,MKK，则有 ( ),f xM xX 即( )f x在X上有界 11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别 对应于给定自变量值 1 x和 2 x的函数值 2 12 12 2 12 2 12 2 12 (1),sin ,; 63 (2)sin ,2 ,; 84 (3),1,1,2; (4),0,1; (5),1,1 u x yu ux xx yu ux xx yu uxxx ye uxxx yu uexx 解： 2 2 12 12 2 12 12 222 12 13 (1)sin, 44 2 (2)sin2 ,1 2 (3)1,2,5 (4),1, (5), x x yx yy yx yy yxyy yeyye yeyeye 12.设的定义域0,1D ，求下列各函数的定义域： 2 (1) (); (3) ()(0); f x f xa a (2) (sin ) (4) ()()(0) fx f xaf xa a 解： 2 (1)011,1 (2)0sin12,(21), (3)01,1 xx xxnnnZ xaxaa 01 (4) 01 xa xa 当 1 0 2 a时，,1xaa； 当 1 2 a 时定义域为 13.设 1,1 ( )0,1, ( ) 1,1 x x f xxg xe x 求( )f g x和( )g f x，并作出这两个函数的图形 解： 1,0 ( )()0,0 1,0 x x f g xf ex x ( ) 1 ,1 ( )1,1 ,1 f x e x g f xex ex ( )f g x 与( )g f x的图形依次如图1 2，图1 3所示 14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40 （图 1-4）.当过水 断面ABCD的面积为定值 0 S时，求湿周()L LABBCCD 与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域 解： sin40 h ABCD 又 0 1 (2cot40) 2 Sh BCBCh 得 0 cot40 S BCh h 所以 0 2cos40 sin40 S Lh h 而0h 且 0 cot400 S h h ， 因此湿周函数的定义域为 0 (0,tan40 )S 15.设xOy平面上有正方形( , ) 01,01Dx yxy及直 线:(0)l xyt t若( )S t表示正方形D位于直线左下方部分的 面积，试求( )S t与t之间的函数关系 解： 当01t 时， 2 1 ( ) 2 S tt 当12t 时， 22 11 ( )1(2)21 22 S tttt 当2t 时，( )S t1 故 2 2 1 ,01 2 1 21,12 2 1,2 tt ttt t 16.求联系华氏温度（用F表示）和摄氏温度（用C表示）的转换公 式，并求 （1）90 F 的等价摄氏温度和5 C 的等价华氏温度； （2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一 样的？如果存在，那么该温度值是多少？ 解： 设,FmCb其中,m b均为常数 因为32F 相当于 0 ,212CF 相当于100C ， 所以 21232 32,1.8 100 bm 故1.832FC或 5 (32) 9 CF 5 (1)90 ,(32)32.2 9 5 ,1.8 ( 5)3223 FCF CF (2)设温度值t符合题意，则有 1.82,40ttt 即华氏40 恰好也是摄氏40 17.已知Rt ABC?中，直角边ACBC，的长度分别为20 15，动 点P从C出发，沿三角形边界按CBA方向移动；动点Q从 C出发，沿三角边界按CAB方向移动，移动到两动点相遇 时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍.设动点P移动 的距离为x，CPQ?的面积为y，试求y与x之间的函数关系. 解： 因为20,15,ACBC所以, 22 201525AB 由202 152025可知，点,P Q在斜边AB上相遇 令2152025xx得20 x ， 即当20 x 时， 点,P Q相遇， 因此所求函数的定义域为(0,20) （1）当010 x时，点P在CB上，点Q在CA上（图 1-5） 由,2CPx CQx，得 2 yx （2）当1015x时点P在CB上点Q在AB上（图 1-6） ,220CPx AQx 设点Q到BC的距离为h，则 452 , 202525 BQhx 得 4 (452 ) 5 hx，故 2 124 (452 )18 255 yxhxxxx （3）当1520 x时点,P Q都在AB上（图 1-7） 15,220,603BPxAQxPQx 设点C到AB的距离为 h ，则 15 20 12 25 h 得 1 1