高等数学下期末试题七套(附答案)

高等数学（下）试卷一 一、一、 填空题填空题（每空 3 分，共 15 分） （1）函数 11 z xyxy =+ + 的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x = ，则 z x = （3）交换积分次序， 2 22 0 ( , ) y y dyf x y dx （4）已知L是连接(0,1) ,(1,0)两点的直线段，则 () L xy ds+= （5）已知微分方程 230yyy+= ，则其通解为 二、选择题二、选择题（每空 3 分，共 15 分） （1）设直线L为 3210 21030 xyz xyz + = += ，平面为4 220 xyz+= ，则（） A. L平行于 B. L在上 C. L垂直于 D. L与斜交 （2）设是由方程 222 2xyzxyz+= 确定，则在点 (1,0, 1) 处的dz= （） A.dx dy+ B. 2dxdy+ C. 22dxdy+ D. 2dxdy （3）已知是由曲面 222 425()zxy=+ 及平面 5z= 所围成的闭区域，将 22 ()xydv + 在柱面坐标系下化成三次积分为（） A. 225 3 000 dr drdz B. 245 3 000 dr drdz C. 225 3 5 00 2r dr drdz D. 225 2 000 dr drdz （4）已知幂级数，则其收敛半径（） A. 2 B.1C. 1 2 D. 2 （5）微分方程 3232 x yyyxe+= 的特解 y的形式为y= （） A.B. () x axb xe+ C. () x axbce+ D.( ) x axbcxe+ 三、计算题三、计算题（每题 8 分，共 48 分） 1、 求过直线 1 L : 123 101 xyz = 且平行于直线 2 L ： 21 211 xyz+ = 的平面方程 2、 已知 22 (,)zf xyx y= ，求 z x ， z y 3、 设 22 ( , )4Dx y xy=+ ，利用极坐标求 2 D x dxdy 得分 阅卷人 4、 求函数 22 ( , )(2 ) x f x yexyy=+ 的极值 5、计算曲线积分 2 (23sin )() y L xyx dxxedy+ ， 其中L为摆线 sin 1 cos xtt yt = = 从点 (0,0)O 到 ( ,2)A 的一段弧 6、求微分方程 x xyyxe + = 满足 1 1 x y = = 的特解 四.解答题解答题（共 22 分） 1、利用高斯公式计算 2 2xzdydzyzdzdxz dxdy + ，其中由圆锥面 22 zxy=+ 与上 半球面 22 2zxy= 所围成的立体表面的外侧 (10 ) 2、 （1）判别级数 1 1 1 ( 1) 3 n n n n = 的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛； （ 6 ） （2）在 ( 1,1)x 求幂级数 1 n n nx = 的和函数（ 6 ） 高等数学（下）试卷二 一填空题一填空题（每空 3 分，共 15 分） （1）函数 2 22 4 ln(1) xy z xy = 的定义域为； （2）已知函数 xy ze= ，则在(2,1)处的全微分dz=； （3）交换积分次序， ln 10 ( , ) ex dxf x y dy ； （ 4 ） 已 知 L 是 抛 物 线 2 yx= 上 点 (0,0)O 与 点 (1,1)B 之 间 的 一 段 弧 ， 则 L yds= ； （5）已知微分方程 20yyy+= ，则其通解为. 二选择题二选择题（每空 3 分，共 15 分） （1） 设直线L为 30 0 xyz xyz += = ， 平面为 10 xyz+ = ， 则L与的夹角为 （） ； A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 （2）设 ( , )zf x y= 是由方程 33 3zxyza= 确定，则 z x = （） ； A. 2 yz xyz B. 2 yz zxy C. 2 xz xyz D. 2 xy zxy （3）微分方程 2 56 x yyyxe+= 的特解 y的形式为y= （） ； A. 2 () x axb e+ B. 2 () x axb xe+ C. 2 () x axbce+ D. 2 () x axbcxe+ （4）已知是由球面 2222 xyza+= 所围成的闭区域,将 dv 在球面坐标系下化成 三次积分为（） ； A 2 2 2 000 sin a ddr dr B. 2 2 000 a ddrdr C. 2 000 a ddrdr D. 2 2 000 sin a ddr dr （5）已知幂级数 1 21 2 n n n n x = ，则其收敛半径（）. A. 2 B.1C. 1 2 D. 2 三计算题三计算题（每题 8 分，共 48 分） 5、 求过 (0,2,4)A 且与两平面 1: 21xz+= 和 2: 32yz= 平行的直线方程 . 6、 已知 (sincos ,) x y zfxy e + = ，求 z x ， z y . 7、 设 22 ( , )1,0Dx y xyyx=+ ，利用极坐标计算 arctan D y dxdy x . 8、 求函数 22 ( , )56106f x yxyxy=+ 的极值. 9、 利用格林公式计算 (sin2 )(cos2) xx L eyy dxeydy+ ，其中 L为沿上半圆周 222 (),0 xayay+= 、从 (2 ,0)Aa 到 (0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 3 2 (1) 1 y yx x =+ + 的通解. 四解答题解答题（共 22 分） 1、 （1） （ 6 ）判别级数 1 1 ( 1)2 sin 3 nn n n = 的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收 敛； （2） （ 4 ）在区间( 1,1) 内求幂级数 1 n n x n = 的和函数 . 2 、 (12 ) 利 用 高 斯 公 式 计 算 2xdydzydzdxzdxdy + ， 为 抛 物 面 22 zxy=+(01)z 的下侧 高等数学（下）模拟试卷三 一一 填空题填空题（每空 3 分，共 15 分） 1、 函数 arcsin(3)yx= 的定义域为. 得分 阅卷人 得分 2、 2 2 (2) lim 332 n n nn + + =. 3、已知 2 ln(1)yx=+ ，在 1x= 处的微分dy = . 4、定积分 1 20062 1( sin)xxx dx += . 5、求由方程 57 230yyxx+= 所确定的隐函数的导数 dy dx = . 二选择题二选择题（每空 3 分，共 15 分） 1、 2x= 是函数 2 2 1 32 x y xx = + 的间断点 （A）可去（B）跳跃 （C）无穷（D）振荡 2、积分 1 20 1 x dx x =. (A)(B) (C) 0(D) 1 3、函数 1 x yex=+ 在( , 0 内的单调性是。 （A）单调增加；（B）单调减少； （C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。 4、 1sin x tdt 的一阶导数为. （A）sinx（B） sinx （C）cosx（D） cosx 5、向量 1,1, ak= r 与 2,2,1b= r 相互垂直则k=. （A）3（B）-1（C）4（D）2 三计算题（3 小题，每题 6 分，共 18 分） 1、求极限 1 23 lim() 21 x x x x + + 2、求极限 3 0 sin lim x xx x 3、已知 lncos x ye= ，求 dy dx 四计算题（4 小题，每题 6 分，共 24 分） 1、已知 2 2 1 t x yt = = ，求 2 2 d y dx 2、计算积分 2 cosxxdx 3、计算积分 1 0 arctanxdx 4、计算积分 2 2 0 2x dx 五觧答题（3 小题，共 28 分） 1、 (8 ) 求函数 42 341yxx=+ 的凹凸区间及拐点。 2、 (8 ) 设 1 1 0 1 ( ) 1 0 1 x x x f x x e + + = =. 3、已知 sin(21)yx=+ ，在 0.5x= 处的微分dy = . 4、定积分 1 2 1 sin 1 x dx x + =. 5、函数 43 341yxx=+ 的凸区间是. 二选择题二选择题（每空 3 分，共 15 分） 1、 1x= 是函数 2 1 1 x y x = 的间断点 （A）可去（B）跳跃 （C）无穷（D）振荡 2、若 0 () 0,(0)0,(0)1, lim x f ax aff x = = = (A)1(B)a (C)-1(D) a 3、在0, 2 内函数 sinyxx= 是。 （A）单调增加；（B）单调减少； （C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。 4、已知向量 4,3, 4a= r 与向量 2, 2,1b= r 则a b r r 为. （A）6（B）-6 （C）1（D）-3 5、已知函数 ( )f x 可导，且 0 ()f x 为极值， ( )f x ye= ，则 0 x x dy dx = = . （A） 0 ()f x e （B） 0 ()fx （C）0（D） 0 ()f x 三计算题（3 小题，每题 6 分，共 18 分） 1、求极限 1 0 lim(1-) k x x kx + 2、求极限 1 2 cos 2 0 sin lim sin x x t dt xx 3、已知 1 lnsin x ye= ，求 dy dx 四 计算题（每题 6 分，共 24 分） 1、设 10 y exy = 所确定的隐函数 ( )yf x= 的导数 0 x dy dx = 。 2、计算积分 arcsinxdx 3、计算积分 35 0 sinsinxxdx 4、计算积分 3 220 ,0 3 a x dx a ax 五觧答题（3 小题，共 28 分） 1、 (8 ) 已知 2 2 2 3 1 3 1 at x t at y t = + = + ，求在 2t= 处的切线方程和法线方程。 2、 (8 ) 求证当 0ab 时， 1lnln1ab aabb 2、 22 y xy + 3、 4 1 0 2 ( , ) x x dxf x y dy 4、 2 5、 3 12 xx yC eC e=+ 二、选择题二、选择题： （每空 3 分，共 15 分）1.C2.D3.C4A5.D 三、计算题三、计算题（每题 8 分，共 48 分） 1、解： 12 (1,2,3)1,0, 12,1,1Ass = 2 12 1013 211 ijk nssijk =+ 6 平面方程为 320 xyz+= 8 2、解： 令 22 uxyvx y= 2 2 12 2 zzuzv fyfxy xuxvx =+=+ 6 2 12 2 zzuzv fxyfx yuyvy =+=+ 8 3、解： :0202Dr ， 3 22 23223 00 coscos DD x dxdyrdrddr dr = 4= 8 4解： 22 2 ( , )(2241)0 ( , )(22)0 x x x y fx yexyy fx yey =+= =+= 得驻点 1 ( ,1) 2 4 2222 ( , )(4484),( , )(44),( , )2 xxx xxxyyy Afx yexyyBfx yeyCfx ye=+=+= 6 22 20,40AeACBe=Q 极小值为 11 ( ,1) 22 fe= 8 5解： 2 23sin , y PxyxQxe=+= ，有 2, PQ x yx = 曲线积分与路径无关 2 积分路线选择： 1: 0,Lyx= 从0 ， 2: ,Lxy= 从0 2 4 12 2 (23sin )() y LLL xyx dxxedyPdxQdyPdxQdy+=+ 2 222 00 3sin()27 y xdxedye =+=+ 8 6解： 11 , xx yyePQe xx + = 2 通解为 11 ( )( ) ( ) dxdx P x dxP x dx x xx yeQ x edxCee edxC =+=+ 4 11 (1) xx exdxCxeC xx =+=+ 6 代入 1 1 x y = = ，得 1C= ，特解为 1 (1)1 x yxe x =+ 8 四、解答题解答题 1、解： 2 2(22 )xzdydzyzdzdxz dxdyzzz dvzdv +=+= 4 3 cossinrdrd d = 6 方法一：原式 22 3 4 000 cossin 2 ddr dr = 10 方法二：原式 2 2121 2 000 2(1) 2 r r drdrzdzrrdr = 10 2、解： （1）令 1 1 ( 1) 3 n n n n u = 1 1 1 1 1 31 limlim1 333 n n nn nn n n unn un + = + = 收敛， 4 1 1 1 ( 1) 3 n n n n = 绝对收敛。 6 （2）令 1 1 11 ( )( ) nn nn s xnxxnxxs x = = 2 1 11 2 00 11 1 ( )( )() 11(1) xx nn nn xx s x dxnxdxxs x xxx = = 5 2 ( )( 1,1) (1) x s xx x = 6 高等数学（下）模拟试卷二参考答案 一、填空题一、填空题： （每空 3 分，共 15 分） 1、 222 ( , )|4 ,01x yyxxyQ 极小值为 (3,1)8f= 8 5解： sin2 ,cos2 xx PeyyQey= ， 有 cos2,cos , xx PQ eyey yx = 2 取 (2 ,0),:0,AaOAyx= 从0 2a 4 LOA PdxQdyPdxQdy+ 2 ()2 DD QP dxdydxdya xy = 6 原式 2 a OA PdxQdy+ 22 0aa= 8 6解： 3 2 1 ,(1) 1 PQx x = =+ + 2 通解为 113 ( )( ) 112 ( ) (1) dxdx P x dxP x dx xx yeQ x edxCexedxC + =+=+ 4 13 22 2 (1) (1)(1) (1) 3 xxdxCxxC=+=+ 8 四、解答题解答题 1、解： （1）令 1 ( 1)2 sin 3 nn n n u = 1 1 1 2sin 2 3 limlim1 3 2 sin 3 n n n nn n n n u u + + + = nn ), 2 , 1(LL=n 4 LLL 故原级数收敛 6 LLL (2) 此级数为正项级数 1 LLL 因 1 3 1 3 3 ) 1( lim 2 1 2 = + + n n n n n 4 LLL 故原级数收敛 6 LLL 五、解：1、由 033),( 2 =xyxfx ， 03),(=yyxfy 得驻点 )3 , 1(),3 , 1 ( 2 LLL 在 )3 , 1 ( 处 1)3 , 1 (, 0)3 , 1 (, 6)3 , 1 (= yyxyxx fCfBfA 因 , 0 2 nn)3 , 2(LL=n 4 LLL 故原级数收敛 5 LLL (2) 此级数为正项级数 1 LLL 因 1 3 4 3 sin4 3 sin4 lim 1 1 = + + n n n n n 4 LLL 故原级数发散 5 LLL 五、解：1、由 066),(=+=xyxfx ， 04),( 2 =yyyxfy 得驻点 )4 , 1(),0 , 1( 3 LLL 在 )0 , 1( 处 4)0 , 1(, 0)0 , 1(, 6)0 , 1(= yyxyxx fCfBfA 因 0, 0 2 ABAC ，所以有极小值 2)0 , 1(=f 5 LLL 在 )4 , 1( 处 4)4 , 1(, 0)4 , 1(, 6)4 , 1(= yyxyxx fCfBfA 因 , 0 2 BAC ，所以在此处无极值 7 LLL 2、通解 1 dxdx x ye edxc e =+ 3 LLL () x xc e=+ 5 LLL 0 1, x yc = = 特解为 (1) x yxe=+ 7 LLL 3、) 1 对应的齐次方程的特征方程为 065 2 =+rr ,有两不相等的实根 3, 2 21 =rr 所以对应的齐次方程的通解为 xx ececy 3 2 2 1 += （ 21,c c 为常数） 3 LLL )2 设其特解 x ebaxxy)()( * += 将其代入原方程得 15 2321, 24 axabxab+=+= 故特解 * 15 ( )() 24 x yxxe=+ 6 LLL )3 原方程的通解为 xx ececy 3 2 2 1 += 15 () 24 x xe+ 7 LLL 高等数学（下）模拟试卷七参考答案 一填空题一填空题： （每空（每空 3 3 分，共分，共 2424 分）分） 1. 22 ( , )|025x yxy+ L LLL LLLL 解：分 分 所以此级数