常微分习题解答

常微分方程习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版)高等教育出版社习题1.21 求下列可分离变量微分方程的通解：(1) 解：积分，得 即 (2) 解： 为特解，当时，积分，得，即(3) 解： 变形得 积分，得(4) 解：变形得，为特解，当时，.积分，得,即2求下列方程满足给定初值条件的解：(1) 解： 为特解，当时，积分，得 将代入，得 ，即为所求的解。(2) 解： 为特解，当时，积分，得 将代入，得 ，即为所求的解。 (3) 解： 为特解，当时，积分，得 将代入，得 ，即和均为所求的解。(4) 解： 为特解，当时，积分，得 将代入，得 ，即为所求的解。4求解方程 解：为特解，当时， 积分，得 6求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x轴可围成一个等腰三角形(以x轴为底)，且通过点(1,2).解：设所求曲线为 对其上任一点的切线方程：于x轴上的截距为由题意建立方程：即 求得方程的通解为再由得c = ln2 , 得所求曲线为为7人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比（1） 如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？（2） 如果在3小时时的细菌数为得个，在5小时时的细菌数为得个，那么在开始时有多少个细菌？解：设t时刻的细菌数为q (t) , 由题意建立微分方程求解方程得 再设t = 0时，细菌数为,求得方程的解为（1） 由 即 得 （2）由条件 比较两式得， 再由 得习题1.31 解下列方程：(2) 解：方程改写为 令 ，有 整理为 积分，得 即代回变量，得通解也是方程的解(4) 解：方程改写为 令 ，有 即积分，得 代回变量，得通解(5) 解：方程改写为 令 ，有 当时 积分，得 代回变量，得通解(6) 解：方程改写为 令 ，有 分离变量 积分，得 代回变量，得通解也是方程的解2 解下列方程：(1) 解：方程改写为 令，解得 作变换 有 再令 上方程可化为整理为 积分，得 代回变量，得通解也是方程的解(2) 解：方程改写为 令 ，有 分离变量 积分，得 代回变量，得通解(4) 解：令 则原方程变为 再令 ，则方程化为 分离变量 积分，得 代回变量，得通解3 解方程 解：方程改写为 即 令 则 再令 解得作变换 ，则方程化为 再作变换 ，则方程化为 积分，得 代回原变量，得原方程的通解为习题1.41 解下列方程. (1) 解：原方程对应的齐次方程的通解为.由常数变易法得原方程的一个特解为.则原方程的通解为$y=Ce-x2+2$. (2) 解： 原方程对应的齐次方程的通解为.由常数变易法得原方程的一个特解为.则原方程的通解为. (3) 解： 原方程对应的齐次方程的通解为.由常数变易法得原方程的一个特解为.则原方程的通解为, 或者.2 求曲线,使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.解：设所求曲线为,则它在曲线上任一点的斜率.过点的方程为.依题意得, 即.它对应的齐次方程的通解为.它的一个特解为.因此,所求曲线为.3 解下列伯努利方程(2)解：原方程可化为.令$z=y-3$, 则有.它对应的齐次线性方程为. 当时,有,得; 当时,有,得.令为方程的一个解, 则有.两边积分得,带回得原方程的通解为,即.(4) 解：方程两边同乘以得.令,则. 于是.该方程对应的齐次方程的通解为.由常数变易法得一个特解为.则它的通解为.于是原方程的通解为.另外，也是原方程的解.6. 设在上连续可微, 且 , 证明 .证明：设 ,则, , 对充分大的, 当时, 有. 故由的任意性有 . 习题1.51 (1) 解：因为,所以方程是全微分方程. 于是方程的通解为. (2)解：,所以方程是全微分方程. 于是方程的通解为.2. 求下列方程的积分因子和积分. (1)解：由于,所以方程不是全微分方程. 而只与有关,故可得积分因子为. 以积分因子乘以原方程两端,得全微分方程：.则原方程的的通解为.(2) 解：由于, , 所以方程不是全微分方程. 而只与有关,故可得积分因子为.以积分因子乘以原方程两端,得全微分方程：.则原方程的的通解为. (3)解：因为,所以方程不是全微分方程. 而只与有关,用积分因子乘以原方程两端，得全微分方程：.于是原方程的通解为 (4)解：由于,所以方程不是全微分方程. 而只与有关, 故积分因子为.用积分因子乘以原方程两端，得全微分方程：.于是原方程的通解为.习题1.61. 求解下列方程.(1)解：因为,所以或. 由得; 由得.因此原方程的通解为.(2) 解：令, 可得. 此式关于求导数整理得.于是.从而原方程的通解为.另外,也是原方程的解.(3) 解：首先, 是方程的解. 令, 则. 于是,从而.由此可得原方程的通解为即.（4）解：方程关于是齐次的,作代换可把方程降一阶，其中是的新的未知函数.故.把的表达式代入方程并消去,得,或，这是线性方程,它的左边可以写成,由此得，或，.原方程的通解是 或此外,方程还有解.习题2.11. 试绘出下列各方程的积分曲线图:(1) (为常数); (2) (3) ; (4) 图 (1)(5) 解：(1) 由于, 不依赖于和, 所以线素场的线素均平行, 其斜率为. 从而可以根据线素场线素的趋势, 大体描出积分曲线. 如图(1)所示.图 (2)(2) 由于, 不依赖于, 因而, 在直线 上线素场的线素都平行, 其斜率为右端函数 横坐标的平方. 于是, 横坐标的绝对值越大, 线素场的方向越陡. 从而, 可以根据线素场线素的趋势, 大体上描出积分曲线. 如图(2)所示.(3) 由于, 不依赖于, 因而在直线(为常数)上, 线素场的线素都平行, 斜率为纵坐标的绝对值, 故当时, 其积分曲线如图(3)所示; 当时, 其积分曲线如图(6)所示; 当时, 其积分曲线如图(7)所示.图 (7)图(6)图 (8)2. 试画出方程在平面上的积分曲线的大致图像.解：这个方程是不可积的, 但易于画出它的线素场. 在同一以原点为对称中心的双曲线上, 线素场的线素都平行. 其斜率等于双曲线实半轴长的平方. 于是, 实半轴越长, 线素场的方向越陡. 从而,根据线素场线素的趋势, 大体上可以描出积分曲线. 如图(8)所示.3. 试用欧拉折线法,取步长,求初值问题的解在时的近似值.解 令 ,.则 习题2.21. 试判断方程在区域(1)(2) 上是否满足定理的条件?解：(1) 不满足. 因为在区域上,右端函数当时不连续.(2) 满足. 因为在区域上,右端函数连续且有界.2. 判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且唯一?(1) ; (2) ;(3) ; (4) .解：(1) 因为及在整个平面上连续, 所以在整个平面上满足存在唯一性定理条件. 进而在平面上保证初值解存在且唯一.(2) 因为及在整个平面上连续, 所以在整个平面上满足存在唯一性定理条件. 进而在平面上保证初值解存在且唯一.(3) 因为方程右端函数在除去轴外的整个平面上连续且, 所以在除去轴外的整个平面上初值解存在且唯一.(4) 因为方程右端函数= 在整个平面上连续, 而 在除去轴外的整个平面上连续, 所以在除去轴外的整个平面上初值解存在且唯一.3. 讨论方程 在怎么样的区域中满足定理的条件. 并求通过的一切解.解：右端函数对的偏导数, 显然它在任何一个不包含轴上的点的有界闭区域中是有界的, 因此在这种区域中解是存在唯一的. 即, 只有通过 上的点可能出现多个解的情况(方程右端的连续性保证在任何有界区域中,解是存在的). 原方程分离变量得上式两端取积分得其中 此外有特解. 因此过点有无穷多个解(如图(9)所示) .,图(9) 4. 试用逐次逼近法求方程满足初值条件 的近似解:解： 5. 试用逐次逼近法求方程满足初值条件 的近似解:解：6. 试证明定理中的次近似解与精确解有如下的误差估计式:证：由 及迭代列,得设则由归纳法可知,对任意次近似解, 估计式 成立.7. 利用上面的估计式, 估计: (1) 4题中的三次近似 在和时的误差; (2) 5题中的二次近似在时的误差.解：(1) 显然初值问题, 在区域 上存在唯一解, 由解的存在唯一性定理知,解的定义区间为其中, . 这里 从而,即得解的定义区间为.则由误差估计公式其中是李普希兹常数. 因为 可取 当时, 有.当时, 有.(2) 显然初值问题, 在区域 上存在唯一解, 由解的存在唯一性