2016年上半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题(高级中学)

2 0 1 6年上半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题(高级中学) ( 满分: 1 0 0分 考试时间:1 2 0分钟) 题号一二三四五六总分统分人签字 得分 得分评卷人 一、 单项选择题( 本大题共8小题, 每小题5分, 共4 0分。在每小题给出 的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 请用2 B铅笔把答题卡上对应题 目的答案字母按要求涂黑。错选、 多选或未选均无分。 ) 1.极限l i m n( 1+ 1 1+n 2) n 2的值是( ) 。 A. eB. 1C. 1 e D. 0 2.下列级数中, 不收敛 的是( ) 。 A. n=1 (-1) n n B. n=1 1 n 2 C. n=1 1 n D. n=1 1 n! 3.方程x 2- y 2+ z 2=-1所确定的二次曲面是( ) 。 A.椭球面B.旋转双曲面 C.旋转抛物面D.圆柱面 4.若函数f(x) 在0,1 上黎曼可积, 则f(x) 在0,1 上( ) 。 A.连续B.单调C.可导D.有界 5.矩阵 1 2 2 2 1 2 2 2 1 的特牲值的个数为( ) 。 A. 0B. 1C. 2D. 3 6.二次型x 2-3 x y+y 2 是( ) 。 A.正定的B.负定的C.不定的D.以上都不是 7. 普通高中数学课程标准( 实验) 的课程目标提出培养数学基本能力, 对于用几何方法证 明“ 地线与平面平行的性质定理” 的学习有助于培养的数学基本能力有( ) 。 A.推理论证、 运算求解、 数据处理B.空间想象、 推理论证、 抽象概括 1 C.推理论证、 数据处理、 空间想象D.数据处理、 空间想象、 抽象概括 8.创新意识的培养是现代数学教育的基本任务, 应体现在数学教与学的过程之中, 下面的 表述中不适合在教学中培养学生创新意识的是( ) 。 A.发现和提出问题B.寻求解决问题的不同策略 C.规范数学书写D.探索结论的新应用 得分评卷人 二、 简答题( 本大题共5小题, 每小题7分, 共3 5分。 ) 9.设质点在平面上的运动轨迹为 x=t- s i nt, y=2- c o st, t0, 求质点在时刻t=1的速度的大小。 1 0.设球面方程(x-1) 2+( y-1) 2+( z-1) 2=1 6 9。求它在点( 4,5,1 3) 处的切平面方程。 1 1.在体育活动中, 甲乙两人掷一枚六面分别标有1,2,3,4,5,6的质地均匀的骰子。如果 结果为奇数, 则甲跑一圈: 若结果为1或2, 则乙跑一圈, 请回答甲跑一圈和乙跑一圈这两个事 件是否独立, 并说明理由。 2 1 2. 普通高中数学课程标准( 实验) 描述“ 知识与技能” 领域目标的行为动词有“ 了解” “ 理 解” “ 掌握” “ 运用” , 请以“ 等差数列” 概念为例, 说明“ 理解” 的基本含义。 1 3.以“ 余弦定理” 教学为例, 简述数学定理数学的主要环节。 得分评卷人 三、 解答题( 本大题1小题,1 0分。 ) 1 4.设A= 1 1 0 1 2 1 3 4 1 , 求子空间A(R 3) =A a|a R 3 的一组正交基。 3 得分评卷人 四、 论述题( 本大题1小题,1 5分。 ) 1 5.“ 严谨性与量力性相结合” 是数学教学的基本原则。(l) 简述“ 严谨性与量力性相结合” 教学原则的内涵( 3分) ; (2) 实数指数幂在数学上如何引入的? (6分) (3) 在高中“ 实数指数幂” 概念韵教学中, 如何体现“ 严谨性与量力性相结合” 的教学原则。( 6分) 得分评卷人 五、 案例分析题( 本大题1小题,2 0分。 ) 阅读案例, 并回答问题。 1 6.案例: 在等差数列的习题课教学中, 教师布置了这样一个问题: 等差数列前1 0项和为1 0 0, 前1 0 0 项和为1 0, 求前1 1 0项的和。 两位学生的解法如下: 学生甲: 设等差数例的首项为a 1, 公差为d, 则 S1 0=1 0a1+1 09 2 d=1 0 0, S1 0 0=1 0 0a1+1 0 09 9 2 d=1 0。 解得a 1= 1 0 9 9 1 0 0, d=-1 1 5 0 。所以S1 1 0=1 1 0a1+1 1 01 0 9 2 d=-1 1 0。 学生乙: 设等差数列 an 前n项和为Sn=A n 2+B n, 由已知得 1 0 0A+1 0B=1 0 0, 1 0 0 0 0A+1 0 0B=1 0。 解得A=-1 1 1 0 0 , B=1 1 1 1 0。所以, S1 0=1 1 0 2 -1 1 1 0 0 +1 1 01 1 1 1 0=-1 1 0 针对上述解法, 一些学生提出了自己的想法。 学生丙: 怎么刚好有S1 0 0+S1 0=-S1 1 0呢? 这是一种巧合吗? 上述所得到的结论中是否隐 含着一般性的规律呢? 老师: 同学丙所说的规律是否就是: 4 一般地, 在等差数列 an 中, 若存在正整数p,q且pq, 使得SP=q,SQ=p, 则Sp+Sq=- Sp+q。(*) 请同学们进行验证。 问题: ( 1) 请分析学生甲和学生乙解法各自的特点, 并解释学生乙设Sn=A n 2+ B n的理由。(1 2分) ( 2) 请验证(*) 中结论是否成立。(8分) 得分评卷人 六、 教学设计题( 本大题1小题,3 0分) 。 1 7. 普通高中数学课程标准( 实验) 关于“ 古典概型” 的教学要求是: “ 古典概型的教学应让 学生通过实例理解古典概型的特征: 实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性, 让 学生初步学会把一些实际问题化为古典概型, 教学中不要把重点放在 如何计算 上” 。 请完成下列任务: ( 1) 结合上述教学要求, 请设计高中“ 古典概型” 起始课的教学目标; (6分) ( 2) 请设计两个符合古典概型的正例, 以及两个不符合古典概型的反例, 以便理解古典概型 的特征; ( 1 2分) ( 3) 抛掷一枚质地均匀的骰子( 六个面分别有1、2、3、4、5、6个点) , 请用两种不同解法求出 现偶数点的概率, 并说明采用两种解法对帮助学生理解古典概型的作用。( 1 2分) 5 2 0 1 5年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题(高级中学) ( 满分: 1 0 0分 考试时间:1 2 0分钟) 题号一二三四五六总分统分人签字 得分 得分评卷人 一、 单项选择题( 本大题共8小题, 每题5分, 共4 0分) 在每小题给出的 四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 请用2 B铅笔把答题卡上对应题目 的答案字母按要求涂黑。错选、 多选或未选均无分。 ) 1.若多项式f(x)=x 4+ x 3-3 x 2-4 x-1和g(x)=x 3+ x 2- x-1, 则.f(x) 和g(x) 的公 因式为( ) 。 A.x+ lB.x+3C.x-1D.x-2 2.已知变换矩阵A= 1 0 0 0 2 0 0 0 03 , 则A将空间曲面(x-1) 2+( y-2) 2+( z-1) 2=1变 成( ) 。 A.球面B.椭球面C.抛物面D.双曲面 3.为研究7至1 0岁少年儿童的身高情况, 甲、 乙两名研究人员分别随机抽取了某城市的 1 0 0名和1 0 0 0名两组调查样本, 若甲、 乙抽取的两组样本平均身高分别记为、 ( 单位: c m) , 则 、 的大小关系为( ) 。 A.B. C.=D.不能确定 4.已知数列an 与数列bn ,n=1,2,3, 则下列结论不正确的是( ) 。 A.若对任意的正整数n, 有anbn,l i m n an=a,l i m n bn=b, 且b0, 则a0 B.若l i m n an=a,l i m n bn=b, 且a0, 则a0 6 5.下列关系式不正确的是( ) 。 A.(a+c) b=ba+bcB.(a+c)b=ba+bc C.(ab) 2+( ab) 2= a 2 b 2 D.(ab)c=(ac)b-(bc)a 6.函数 n=1 3 n nx n 级数的收敛区间为( ) 。 A.(-3,3)B.(-1 3, 1 3 C.-1 3, 1 3) D.-3,3 7. 2 0世纪初对国际数学教育产生重要影响的是( ) 。 A.贝利一克莱茵运动B.大众教学 C.新数学运动D. P I S A项目 8. 普通高中数学课程标准( 实验) 提出了五种基本能力, 其中不包括( ) 。 A.抽象概括B.推理论证 C.观察操作D.数据处理 得分评卷人 二、 简答题( 本大题共5小题, 每题7分, 共3 5分) 9.一条光线斜射在一水平放置的平面镜上, 人射角为(0 2) , 请建立空间直角坐标 系, 并求出反射光线的方程。若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周, 求所得的旋转曲面的 方程。 1 0.求证: 非齐次线性方程组 a1x+by+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2 a3x+b3y+c3z=d3 有唯一解当且仅当向量v 1= a1 a2 a3 , v2= b1 b2 b3 , v3= c1 c2 c3 线性无关。 7 1 1.某飞行表演大队由甲、 乙两队组成。甲队中恰好有喷红色与绿色喷雾的飞机各3架。 乙队中仅有3架喷红色烟雾的飞机。在一次飞行表演中, 需要从甲队中任意选出3架飞机与乙 队飞机混合编队进行表演, 并任意确定一架飞机作为领飞飞机, 求领飞飞机是喷绿色烟雾的 概率。 1 2.阐述确定数学课程内容的依据1 3.举例说明向量内容的学习对高中生理解数学运算的 作用。 得分评卷人 三、 解答题( 本大题1小题,1 0分) 1 4.叙述并证明拉格朗日微分中值定理, 并简述拉格朗日微分中值定理与中学数学内容的 联系。 8 得分评卷人 四、 论述题( 本大题1小题,1 5分) 1 5.叙述“ 严谨性与量力性相结合” 数学教学原则的内涵, 并以“是无理数” 的教学过程为例 说明在教学中如何体现该教学原则。 得分评卷人 五、 案例分析题( 本大题1小题,2 0分) 阅读案例, 并回答问题。 1 6.案例: 在“ 三角函数求值” 的教学中, 教师给出了如下的问题。 已知、 为锐角, s i n=2 5 5 , s i n(+)=3 5, 求c o s 的值。 教师发现两位学生板演, 他( 他) 们的板演过程如下: 生1: 因为s i n=2 5 5 , 是锐角, 所以c o s= 5 5 , 又因为s i n( +)=3 5, 00,2阶顺序主子式为|A|= 1 - 3 2 - 3 2 1 =- 5 4 , 故选C。 7. B【 解析】 “ 直线与平面平行的性质定理” 的学习过程中对数据处理的能力提升没有很明显的作用, 因此 选择B。 8. C【 解析】 创新意识是现代数学教育的基本任务, 应体现在数学与学的过程之中。学生自己发现和提出问 题是创新的基础; 独立思考、 学会思考是创新的核心; 归纳概括得到猜想和规律, 并加以验证, 是创新的重要方法。 11 二、 简答题 9.【 参考答案】 因为 x=t-s i nt, y=1-c o s t, 所以 x t=1-c o s t, y t=s i n t, 速度 大小v=(1-c o st) 2+s i n2 t, 所以t=1时 速 度大 小v1= ( 1-c o s 1) 2+s i n2= 2-2 c o s 1。 1 0.【 参考答案】 因为球面方程为( x-1) 2+( y-1) 2+( z-1) 2=1 6 9, 故可设F( x,y,z)=(x-1) 2+( y-1) 2+( z-1) 2= 1 6 9, 有Fx(x,y,z)=2(x-1) ,Fy(x,y,z)=2(y-1) ,Fz(x,y,z)=2(z-1) , 所以Fx(4,5,1 3)=2(4-1)=6, Fy(4,5,1 3)=2(5-1)=8,Fz(4,5,1 3)=2(1 3-1)=2 4, 所以在点(4,5,1 3) 处,n=(6,8,2 4) 是法线的一个 方向向量。由此可得球面在点( 4,5,1 3) 处的切平面方程为6(x-4)+8(y-5)+2 4(z-1 3)=0, 化简得:3(x- 4)+4(y-5)+1 2(z-1 3)=0。 1 1.【 参考答案】 令甲跑一圈为事件A, 乙跑一圈为事件B, 因为P(A)=3 6= 1 2 , P(B)= 2 6= 1 3 , 而事件A,B同时发生只 有一种情况, 即出现点数为1的情况,P(A B)= 1 6 , 所以P(A B)=P(A)P(B) , 所以事件A和事件B 为独立 事件。 1 2.【 参考答案】 行为动词中的“ 理解” 就是把握内在逻辑关系, 对知识作出解释、 扩展、 提供证据、 判断等。以“ 等差数列的 概念” 为例, 教学目标中理解等差数列的概念; 探索并掌握等差数列的通项公式; 能在具体的问题情境中, 发现 数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题; 体会等差数列与一次函数的关系。这些都属于“ 理解” 的目 标层次。学生在学习过程中, 能够把握等差数列的概念, 通过内在逻辑联系以此为前提进行推导, 探索并总结 等差数列的通项公式, 同时能够对日常所见的等差数列问题作出解释、 解决相应的问题, 并能够拓展到等差数 列与一次函数之间的关系。 1 3.【 参考答案】 教学过程: ( 1) 创设情境, 提出问题 问题: 以千岛湖求两岛间的距离引入, 已知两岛间的距离及夹角如何求另两岛间的距离。 老师活动: 以上问题能否用正弦定理来解决, 请同学们深度一下, 如果解决不了, 思考它是已知三角形两边 及夹角, 求第三边的问题。能否也象 正弦定理那样, 寻找它们之间的某种定量关系? ( 2) 求异探新, 证明定理 问题1: 这是一个已知三角形两边a和b及两边的夹角C, 求出第三边c的问题。我们知道已知三角形两 边分别为a和b, 这两边的夹角为C, 角C满足什么条件时较易求出第三边c? ( 由勾股定理导入) 问题2: 自学提纲 学生活动: 小组合作探究, 完成填空。 老师引导: 要证c 2=a2+ b 2, 即证A B=( ) 2+( ) 2 证明过程: 又因为A B = ( 向量的什么法则) 21 所以A B 2=( A C +C B)2=A C2+2 +C B2 =A C 2+2 | A C |+|C B | c o s +C B 2 =a 2- + b 2 所以c 2+a2+ b 2- , 当C=9 0 时, 上式变为 。 类似地可以证明b 2= , a 2= 。 老师活动: 引导学生从特殊入手, 用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题, 从而寻找出 这些量之间存在的某种定量关系。得出结论, 上式就是余弦定理。师生强调: 得出了余弦定理, 还应引导学生 联想、 类比、 转化, 思考是否还有其他方法证明余弦定理。 问题3: 让学生观察以下各式的结构有什么特征? 能用语言描述吗? a 2= b 2+ c 2-2 b cc o sA b 2=a2+ c 2-2 a cc o sB c 2= b 2+a2-2 b ac o sC 师生共同总结: 余弦定理的内容是三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍。 ( 3) 巩固新知, 运用练习 询问学生这节课的收获, 能否学以致用。请小组继续自学教材上的两个例题。比一比, 赛一赛。看哪一个 小组先发现这两个生活实际问题的解决能否用今天学的余弦定理? 如何解决? ( 4) 运用定理, 解决问题 让学生观察余弦定理及推论的构成形式, 思考用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。 定理学习的一般环节: ( 1) 了解定理的内容, 能够解决什么问题( 创设情境, 提出问题中体现) ; (2) 理解定理的含义 , 认识定理的 条件和结论, 如在公式推导过程中对条件引起注意, 通过对结论从结构, 功能, 性质, 使用步骤等角度分析以加 深印象和理解( 求异探新,证明定理中体现) ; ( 3) 定理的证明或推导过程; 学生与老师一起研究证明方法, 如不 需证明, 学生根据老师提供的材料体会定理规定的合理性( 求异探新, 证明定理中体现) ; ( 4) 熟悉定理的使用。 循序渐进地定理的应用, 将定理纳入到已有的知识体生系中去( 巩固新知, 运用练习中体现) ; ( 5) 引申和拓展定 理的运用( 运用定理, 解决问题中体现) 。 三、 解答题 1 4.【 参考答案】 取R 3 上一组基: e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1) A e1=(1,1,3)=1, A e2=(1,2,4)=2, A e3=(0,1,1)=3, 则A(R 3) =A a|aR 3 =1,2,3 ( 1,2,3)= 1 1 0 1 2 1 3 4 1 初等变换 1 1 0 0 1 1 0 0 0 所以r( 1,2,3)=2, 又因为 1,2线性无关, 所以A(R 3) =(1,2) 将 1,3进行S m i t c h正交化可得1=1=(1,1,3), 2=2- ( 2,1) ( 1,1) 1=- 4 1 1, 7 1 1, - 1 1 1 ()。 所以子空间A(R 3) =A a|aR 3 的一组正交基是 1=(1,1,3),2=- 4 1 1, 7 1 2, - 1 1 1 ()。 四、 论述题 1 5.【 参考答案】 ( 1) 数学的严谨性, 是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性, 即逻辑的严格性和结论的确定性。量力 31 性是指学生的可接受性。这一原则, 说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关 系。理论知识的严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平, 随着学生知识结构的不断完善, 心理发 展水平的提高.逐渐增强理论的严谨程度; 反过来, 又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。 显然, 这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是, 在学习过程中, 学生的心理 发展是逐步形成的, 不同的年龄阶段, 其感知、 记忆、 想象、 思维、 能力等心理因素都有不同的发展水平。这种心 理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度, 而应该在不同的教学阶段, 依 据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨性要求。即数学教学的严谨性是相对的。 ( 2) 对于实数指数幂在教学上, 首先可以从初中学习的整数指数幂的概念和运算性质出发, 比如回顾平方 根和立方根的基础上, 类比出正数的n次方根的定义, 从而把指数推广到分数指数, 进而推广到有理数指数, 再 推广到实数指数, 并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。 ( 3) 在高中“ 实数指数幂” 的概念教学中, 对严谨性要求, 设法安排学生逐步适应的过程与机会, 逐步提高其 严谨程度, 做到立论有据。比如学生初学分数指数幂很不适应, 教师可以引导学生研究已学过整数指数幂的概 念属性, 理解分数指数幂的概念, 进而学习指数幂的性质, 并学习分数指数幂和根式之间的互化, 渗透“ 转化” 的 数学思想, 最后达到知识点之间的密切联系, 达到概念的产生有根有据。 五、 案例分析题 1 6.【 参考答案】 ( 1) 学生甲的解法是先根据已知条件求出等差数列的首项a1和公差d, 然后根据等差数列的前n项和公式 求出前1 1 0项的和; 学生乙的 解法是根据数列与函数的关系求解, 因为等差数列的前n项和公式为Sn=n a1+ n(n-1) 2 d=d 2n 2+ a1-d 2 ()n, 可以把前n项和Sn 看成n的二次函数, 令Sn=A n 2+B n的形式。 ( 2) (*) 中结论是成立的。 由等差数列的前n项和公式可得: Sp=a1p+p( p-1) 2 d=q Sq=a1q+q ( q-1) 2 d=p Sp+q=a1(p+q)+( p+q) (p+q-1) 2 d 由于pq, 联立可解得:d=-2 ( p+q) p q 则Sp+S q+Sp+q=a1(p+q)+( p 2+a2-p- q) 2 d+a1(p+q)+( p 2+ q 2+2 p q-p-q) 2 d 代入得:Sp+S q+Sp+q=p+q+p+q+d 22 p q=2(p+q)+ d p q 代入可得:Sp+S q+Sp+q=0 故(*) 中结论是成立的。 六、 教学设计题 1 7.【 参考答案】 ( 1) 结合上述数学要求, 将“ 古典概型” 起始课的教学目标设计如下: 知识与技能: 学生能依据古典概型的特征判断古典概型, 能够利用概率公式求解一些简单的古典概型的 概率。 过程与方法: 通过从实际问题中抽象出数学模型的过程, 提升从具体到抽象、 从特殊到一般的分析问题的 能力。 情感态度与价值观: 在体会概率意义、 数学严密性的同时, 通过合作学习交流, 感受与他人合作的重要性以 及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。 ( 2) 符合古典概型的两个正例为:有红心1,2,3和黑桃4,5共5张扑克牌, 将其牌点向下置于桌上, 现从 中任意抽取一张;掷两枚硬币, 可能出现的结果。 不符合古典概型的两个反例为:射击运动员向一靶心进行射击, 这一试验的结果只有有限个, 命中1 0 41 环, 命中9环命中1环和命中0环( 即不命中) ;向一个圆面内随机地投一个点, 如果该点落在圆面内任 意一点都是等可能的。 解析: 古典概型概念: ( 1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2) 每个基本事件出现的可能性相 等。只有同时具有这两个特点的概率模型, 称为古典概率概型, 简称古典概型。举例子时针对古典概型中的两 种特性举出即可。 正例中:是古典概型是因为试验的所有可能结果是5个, 从中任意抽取一张每个结果出现的可能性相 等;是古典概型是因为试验的所有可能结果是3个, 结果的可能性相等。 反例中:中不是古典概型是因为试验的所有可能结果虽然是有限个, 而命中1 0环、 命中9环命中5 环和不中环的出现不是等可能的, 即不满足古典概型的第二个条件;中不是古典概型是因为试验结果是无限 个的, 不是有限个。 ( 3) 设抛掷一枚质地均匀的骰子, 出现偶数点为事件A。 古典概型的计算公式为P(A)=A 包含的基本事件个数 基本事件总数 第一种解法: 基本事件为出现点数1、2、3、4、5、6, 而A包含的基本事件为出现点数2、4、6。P(A)=1 6 + 1 6+ 1 6= 1 2 。 第二种解法: 对于投掷骰子实验, 出现奇数点与偶数点的概率相等, 即P( 奇数点)=P( 偶数点) 。 由概率的加法公式, 得P( 奇数点)+P( 偶数点)=P( 必然事件)=1,P(A)=1 2 。 采用两种解法对帮助学生理解古典概型的作用在于, 既能帮助学生理解古典概型的特点: 试验中每个基本 事件出现的可能性相等。还能激发学生采用不同方法探究知识, 求解答案。两答案的相互对比, 也能起到检验 的效果。 2 0 1 5年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题( 高级中学) 一、 单项选择题 1. A【 解析】 求多项式的公因式一般用辗转相除法。这里用赋值法, 分别令x0=-1,-3,1,2, 代入, 同时 得到f(x0)=0, g(x0)-0, 即知x+1为二者公因式。 2. B【 解析】 设曲面经矩阵A变化后为故其方程为 1 0 0 0 2 0 0 0 3 x y z = x 2y 3z = x y z , 则 x=x , y= 1 2 y , z= 1 3z , 故其方 程为( x-1) 2(1 2y-2 ) 2+(1 3z-1 ) 2=1, 选B。 3. D【 解析】 样本是受审查客体的反映形象或其自身的一部分, 按一定方式从总体中抽取的若干个体, 用于 提供总体的信息及由此对总体作统计推断。样本的平均值称样本均值, 在数理统计中, 常常用样本均值来估计 总体均值。样本越大从总体中提取的信息就越多, 对总体的代表性就越好。这里取的两组数据都是随机的, 因 此均值不一定相等。 4. B【 解析】 取an=1 n , bn=1-1 n , l i m n an=0,l i m n bn=1,0b1=0,a2=b2= 1 2 , 因此B的的结 论不正确。 5. B【 解析】 由向量积的性质可得, (a+b)b=ab+cb, 故选B。 6. C【 解析】 由已知得级数的收敛半径为r=l i m n 3 n n 3 n+1 n+1 = 1 3 , 又当x=1 3 时级数 n=1发散, 当x=- 1 3 时级数 51 l i m n( -1) n1 n 收敛, 故选C。 7. A【 解析】 第一次数学课程改革发生在2 0世纪初, 史称“ 克莱因-贝利运动” 。英国数学家贝利提出“ 数 学教育应该面向大众” “ 数学教育必须重视应用” 的改革指导思想; 德国数学家克莱因认为, 数学教育的意义、 内 容、 教材、 方法等, 必须紧跟时代步伐, 结合近代数学和教育学的新进展, 不断进行改革。 8. C【 解析】 普通高中数学课程标准( 实验) 提出了五项基本能力, 包括: 抽象概括、 推理论证、 数据处理、 空间想象、 计算能力。 二、 简答题 9.【 参考答案】 以此光线与平面的交点为原点, 镜面所在平面为x平面建立空间直角坐标系, 如下图: 则入射光线所在直线过原点且在y O z坐标面上, 所以入射光线的直线方程为z=yc o t( y0) 。 而反射光线与入射光线关于z轴对称, 所以反射光线的直线方程为z=-yc o t( y0) 。 而此时法线为z轴, 故将反射光线绕平面镜的法线旋转一周, 即是绕z轴旋转一周, 则得出旋转曲面的方 程是将反射光线的直线方程中的y改成 x 2+y2, 得到方程为Z= x 2+y2c o t 。 1 0.【 参考答案】 证明: 线性方程组 a1x+b1y+c1z=d1, a2x+b2y+c2z=d2, a3x+b3y+c3z=d3, 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵 的秩相等。 ( 1) 若向量v1= a1 a2 a3 , v2= b1 b2 b3 , v3= c1 c2 c3 线性无关时, 满足线性方程组 a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2 a3x+b3y+c3z=d3 的系数矩阵 的秩与增广矩阵的秩相等这一条件, 则方程组有解。现在证明唯一性: 假设方程组有两解, 即x1v 1+y1v2+z1v3 =d,x2v1+y2v2+z2v3=d, 两式作差得( x1-x2)v1+(y1-y2)v2+(z1-z2)v3=0, 因为v 1= a1 a2 a3 , v2= b1 b2 b3 , v3= c1 c2 c3 线性无关, 所以x1-x2=y1-y2=z1-z2=0, 所以方程组只有唯一解。 ( 2) 若线性方程组 a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2 a3x+b3y+c3z=d3 有唯一解( x,y,z) T, 假设v 1= a1 a2 a3 , v2= b1 b2 b3 , v3= c1 c2 c3 线性相关, 所以存在不全为0的实数使得x1v 1+y1v2+z1v3=0, 则(x+x 1,y+y1,z+z1) T 也是线性方程组 a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2 a3x+b3y+c3z=d3 的解, 与线性方程组有唯一解矛盾。 综上, 线性方程组 a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2 a3x+b3y+c3z=d3 有唯一解当且仅当向量v 1= a1 a2 a3 , v2= b1 b2 b3 , v3= c1 c2 c3 线性无关。 1 1.【 参考答案】 分两步进行计算, 先选出含有喷绿色烟雾的飞机的概率再选领飞的飞机是喷绿色烟雾的概 61 率, 最后乘起来即得。 第一步: 先选出甲中含喷绿色烟雾的飞机的概率。 若选出的有1架是喷绿色烟雾的飞机概率为C 1 3C 2 3 C 3 6 = 9 2 0 若选出的有2架是喷绿色烟雾的飞机概率为C 2 3C 1 3 C 3 6 = 9 2 0 若选出的有3架是喷绿色烟雾的飞机概率为C 3 3 C 3 6= 1 2 0 第二步: 6架中含有1架是喷绿色烟雾的飞机时, 所选到领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率为 1 6 6架中含有2架是喷绿色烟雾的飞机时, 所选到领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率为 1 3 6架中含有3架是喷绿色烟雾的飞机时, 所选到领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率为 1 2 所以, 最终所选的领队飞机是喷绿色烟雾的概率为9 2 0 1 6+ 9 2 0 1 3+ 1 2 0 1 2= 1 4 。 1 2.【 参考答案】 在普通高中课程标准中规定: 必修课程内容确定的原则是: 满足未来公民的基本数学需求, 为学生进一步的学习提供必要的数学准备。 选修课程内容确定的原则是: 满足学生的兴趣和对未来发展的需求, 为学生进一步学习、 获得较高数学素 养奠定基础。 在仔细研读课程标准以及普通高中教材结合自身的教学经验, 我认为确定教学内容应依据数学课程标准、 单元目标和具体数学知识点三者的结合。确定教学内容时, 特别要注意以下三点: 一是数学知识的主要特征。一个数学知识点内容是极为庞杂的, 我们应该选择该数学知识点最本质的东 西作为教学的重点。 二是学生的需要。确定知识点的教学内容也不是由教材一个要素决定的, 还涉及学生认知发展阶段性的 问题。因此也不可能是教材有什么我们就教什么、 学什么, 我们只能选择教材内容与学生认知发展相一致的内 容作为教学内容。 三是编者的意图。编者的意图主要是通过例题以及课后的练习题来体现的。数学例题以及课后练习题的 重要性在数学课程中要远远高于其他学科, 因为数学例题以及练习题是数学课程内容建设一个不可或缺的组 成部分。在其他课程中, 练习题最多只是课程内容的重现, 有的只属于教学领域, 作为一种教学手段, 对课程本 身并没有很大影响。但数学课不是这样, 数学课“ 教什么” 在相当程度上是由练习题或明或暗指示给教师的。 1 3.【 参考答案】 平面向量是高中数学引人的一个新概念。利用平面向量的定义、 定理、 性质及有关公式, 可 以简化解题过程, 便于学生的理解和掌握。 向量运算可以提高学生针对数学运算的理解层次, 学生从最初接触运算都是数与数之间的运算, 而加人向 量运算之后, 向量运算涉及的数学元素更高, 比如说实数、 字母、 甚至向量, 甚至还可以把几何图形加人运算当 中, 这本身是对数学层次更大的一个提高。而且向量运算对数学的思想也体现得比较多, 比如在解析几何当 中, 或者是在平面几何当中, 向量应用确实很方便, 一个运算既有代数意义又有几何意义, 但是到了立体几何 时, 我觉得向量运算仅仅就变成算术了, 算术对立体几何本意是没有一点想象的, 就是它到底让学生重点掌握 什么, 掌握运算还是掌握思维和想象。 一、 向量在代数中的应用。根据复数的几何意义, 在复平面上可以用向量来表示复数。这样复数的加减 法, 就可以看成是向量的加减, 复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到, 学了向量, 复数事实上已没有 太多的实质性内容。因而选学内容也就不难理解了。另外向量所建立的数形对应也可用来证明代数中的一些 恒等式、 不等式问题, 只要建立一定的数学模型, 可以较灵活地给出证题方法。 二、 向量在三角中的应用。当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时, 表示三角函数就是平面向 量。利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式。由于用向量解决问题时常常是从三角形人手的, 这使它在 71 三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用, 一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理的证明: 只要 在根据向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论, 它比用综合法提供的 证明要简便得多。 三、 向量在平面解析几何中的应用。由于向量作为一种有向线段, 本身就是有向直线上的一段, 且向量的 坐标可以用起点、 终点的坐标来表示, 使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的联 系。平面直角坐标系内两点间的距离公式, 也就是平面内相应的向量的长度公式; 分一条线段成定比的分点坐 标, 可根据相应的两个向量的坐标直接求得; 用直线的方向向量( a,b) 表示直线方向比直线的斜率更具有一般 性, 且斜率实际是方向向量在a=0时的特殊情形。另外向量的平移也可用来化简二次曲线, 即通过移动图形 的变换来达到化简二次曲线的目的, 实际上与解析几何中移轴变换达到同样的效果。 四、 向量在几何中的应用。在解决几何中的有关度量、 角度、 平行、 垂直等问题时用向量解决也很方便。特 别是平面向量可以推广到空间用来解决立体几何问题。例如在空间直线和平面这部分内容中, 解决平行、 相 交、 包含以及计算夹角、 距离等问题用传统的方法往往较为繁琐, 但只要引人向量, 利用向量的线性运算及向量 的数量积和向量积以后, 一切都归结为数字式符号运算。这些运算都有法则可循, 比传统的方法要容易得多。 总之, 平面向量已经渗透到中学数学的许多方面, 向量法代替传统教学方法已成为现代数学发展的必然趋 势。向量法是一种值得学生花费时间、 精力去掌握的一种新方法, 学好向量知识有助于理解和掌握与之有关联 的学科。 因此在中学数学教学中加强向量这一章的教学, 可以更好地为学习其他知识做必要的准备。但传统教学 思想对向量抵触较大, 许多教师认为向量法削弱了学生的空间想象能力, 且学生初学向量时接受较为困难, 这 就要求我们不断探索, 找出最佳的教和学的方法, 发挥向量的作用, 使向量真正地成为现代数学的基础。 三、 解答题 1 4.【 参考答案】 如果函数f(x) 满足: ( 1) 在闭区间a,b 上连续; ( 2) 在开区间(a,b) 内可导; 则存在(a,b) , 使 f ( )=f ( b)-f(a) b-a 证明: 已知f(x) 在闭区间a,b 上连续, 在开区间(a,b) 内可导, 构造辅助函数g( f)=f(x)-f(a)-f( b)-f(a) b-a ( x-a) 验证可得g(a)=g(b)=0 又因为函数g(x) 在闭区间a,b 上连续, 在开区间(a,b) 内可导, 且 g ( x)= f ( x)-f( b)-f(a) b-a 根据罗尔定理可知在( a,b) 内至少有一点使得 g ( )=0 即 f ( )-f ( b)-f(a) b-a =0 由此可得f( b)-f(a) b-a = f ( ) 定理证毕。 拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础, 是应用数学研究函数在区间上整体形态的有力 工具。拉格朗日中值定理在中学数学中应用非常广泛, 如利用导数来研究函数的某些性质、 证明不等式和方程 根的存在性、 描绘函数的图象、 解决极值、 最值等等。 四、 论述题 1 5.【 参考答案】 (1) 数学的严谨性, 是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性, 即逻辑的严格性和结论的 确定性。量力性是指学生的可接受性。 这一原则, 说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的严谨 程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平, 随着学生知识结构的不断完善, 心理发展水平的提高, 逐渐 增强理论的严谨程度; 反过来, 又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。 81 显然, 这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是, 在学习过程中, 学生的心理 发展是逐步形成的, 不同的年龄阶段, 其感知、 记忆、 想象、 思维、 能力等心理因素都有不同的发展水平。这种心 理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度, 而应该在不同的教学阶段, 依 据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨性要求, 即数学教学的严谨性是相对的。 ( 2) 在证明“2是无理数” 的教学过程, 对严谨性要求, 应设法安排使学生逐步适应的过程与机会, 逐步提高 其严谨程度, 要求做到推理有据, 证明要步步有根据、 处处有逻辑。在推理有据的同时并不排斥直观和猜想, 强 调思维的严谨性, 允许猜想, 辩证地处理好推理的依据和猜想的关系。 由于学生对无理数不熟悉, 在实际教学过程中我们采用反证法, 先假设是有理数。教学中可以由教师给出 证明步骤, 让学生只填每一步的理由, 鼓励学生发扬“ 跳一跳够得到” 的精神, 逐步过渡到学生自己给出严格证 明, 最后要求达到立论有据, 论证简明。“ 因为如果x是有理数, 那么x可以写成最简分数p q ( p、q是整数,p与 q互质) 的形式, 于是2= 2 2=p 2 q 2即p 2=2 q 2, 由于2 q 2是偶数, 所以p也是偶数。不妨设p=2 a, 可得4a 2=2 q 2, 即q 2=2 a 2, 而2 a 2是偶数, 所以q应是偶数, 这样p, q都是偶数了, 它们的公约数是2, 与p,q互质矛盾。可见, 2不是有理数, 而是无理数。 在教学过程中, 不能消极适应学生, 降低理论要求, 必须在符合内容科学性的前提下, 结合学生实际组织 教学。 五、 案例分析题 1 6.【 参考答案】 ( 1) 学生一的解题思路从开始看是比较清晰的, 利用两次s i n 2 +c o s 2 =1, 后又结合分类讨论利用两角差 的余弦公式求出c o s 的值, 但是分类讨论后忘记验证两种情况是否都成立, 原因是对公式c o s 2 - ()=s i n , c o s 2 + ()=-s i n 认识不清, 掌握不全面。应该验证得出结果为: 若c o s =2 5 5 , 则c o s =s i n=s i n 2 - (), 所以+= 2 , 与已知矛盾, 所以c o s =2 5 2 5 。 所以会与老师期望得到的结果不同。 学生二利用两角和正弦公式, 后化为解一元二次方程得出两个结果, 后也是没有验证结果的正确性。和学 生一犯了一样的错误。整体来说学生对三角函数公式掌握的比较牢固, 运用的也比较熟练, 只是在熟练的基础 之上还不能更好地内化数学思想, 即验证结果的成立与分类讨论的应用。 ( 2) 首先请全班同学同桌两人为一组讨论板演同学的答案是否正确, 若对, 说出解题思路以及解题亮点, 若 不对应该如何纠正。时间为两分钟, 在此期间教师到学生中间巡场, 走进学生, 找到学生的疑惑点。然后教师 请学生代表来分析此题, 并说出正确结果。因为学生对此知识点掌握相对薄弱, 我会在此处着重强调在得到答 案之后验证的重要性, 让学生从题自中总结所学到的方法。 六、 教学设计题 1 7.【 参考答案】 ( 1) 我更赞同第二种方案, 理由如下: 本节课定位为“ 基本不等式” 的起始课, 它是在学生已经系统地学习了不等式关系和不等式性质, 掌握了 不等式性质的基础上进行教学的。学生对于“ 基本不等式” 还处于初步感知阶段, 不能一步就理解如何实现基 本不等式在求解简单最大( 小) 值当中的应用一, 因此, 在“ 基本不等式” 的起始课当中,