工程力学习题答案第十三章王永跃

第十三章151.62.0单位：MPa习题131图1.25(a)(b)习 题 解 答131 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。试求：（l）平行于木纹方向的切应力；（2）垂直于木纹方向的正应力。解： 由图a可知（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力（2）垂直于木纹方向的正应力由图b可知（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力（2）垂直于木纹方向的正应力132 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力解：（a）已知 则由公式可直接得到该斜截面上的应力习题132图(c)(b)10203067.53010(a)204560201015605030(d)（b）已知 则：（c）已知 习题133图1020(a)1545(b)604020则：133 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa），试用图解法（应力圆）计算图中指定截面的正应力与切应力。134 已知应力状态如习题132图所示（应力单位为MPa），计算图示应力状态中的主应力及方位。解：（a）已知 则由公式可直接得到该单元体的主应力maxmin=x+y2x-y22+x2)=30+10230-1022+(-20)2=42.36-2.36MPa主应力为：1=42.36MPa, 2=0, 3=-2.36MPa tan20=-2xx-y=-2(-20)30-10=220=63.44-116.56 0=31.72-58.28因为xy，主应力1对应的方位角为1=31.72。(a)202040习题135图204040302020(b)(c)135 试确定图示应力状态中的主应力及方位、最大切应力（按三向应力状态考虑）。图中应力的单位为MPa。解：（a）已知 则由公式可直接得到该单元体的主应力maxmin=x+y2x-y22+x2)=40+20240-2022+(20)2=52.367.64MPa主应力为：1=52.36MPa, 2=7.64MPa, 3=0 tan20=-2xx-y=-2(20)40-20=-220=-63.44116.56 0=-31.7258.28因为xy，主应力1对应的方位角为1=-31.72。（b）已知 则由公式可直接得到该单元体的主应力maxmin=x+y2x-y22+x2)=40-20240+2022+(-40)2=60-40MPa主应力为：1=60MPa, 2=0, 3=-40MPa tan20=-2xx-y=-2(-40)40+20=4320=53.13-126.87 0=26.56-63.44因为xy，主应力1对应的方位角为1=26.56。（c）已知 则由公式可直接得到该单元体的主应力maxmin=x+y2x-y22+x2)=-20+302-20-3022+(20)2=37.016-27.016MPa主应力为：1=37.016MPa, 2=0, 3=27.016MPa tan20=-2xx-y=-2(20)-20-30=4520=38.66-141.34 0=19.33-70.67因为xy，主应力1对应的方位角为1=-70.67。(a)习题136图(b)(c)00136已知应力状态如图所示（应力单位为MPa），试画三向应力圆，求最大切应力。解：图a为单向应力状态，图b为纯剪切应力状态，图c为平面应力状态，其应力圆如图。最大切应力分别为：2，12图a图b图cO121O31O习题137图40(a)50607020(b)图a70601501图b40O20-40137已知应力状态如图所示，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力（应力单位为MPa）。解：图a 为三向主应力状态，1=60MPa, 2=50MPa, 3=-70MPa ，max=56MPa，应力圆如图（a）。图b一方向为主应力，另两方向为纯剪切应力状态，则根据公式可直接得出另两主应力。于是有1=40MPa, 2=20MPa, 3=-40MPa，max=40MPa其应力圆如图（b）。40习题138图2mA16080BCFA138图示悬臂梁，承受荷载F = 10KN作用，试求固定端截面上A、B、C三点最大切应力值及作用面的方位。解：固定端截面的弯矩M=Fl=102=20kNM,剪力F=10kN。Iz=bh312=80160310-1212=2.73110-5m4截面a点的应力：=MyIZ=201038010-32.73110-5=5.859107Pa=58.59MPa,=0,其应力状态为单向应力状态，即1=58.59MPa, 2= 3=0，max=12=29.29MPa, 最大切应力作用面的方位为=-4。截面b点的应力：=MyIZ=201034010-32.73110-5=2.929107Pa,=FsSzbIz=1010340806010-90.082.73110-5.=8.788105Pa,其应力状态为平面应力状态，即maxmin=222+2)=29.29229.2922+(0.8788)2=43.96-14.62MPa主应力：1=43.96MPa, 2=0， 3=-14.62MPa，max=1-32=29.29MPa。求最大切应力作用面的方位先求主应力的方位，即 tan20=-2=-20.878829.29=-0.06，20=-3.43176.57，0=-1.7288.281=-1.72， =1+45=43.28截面c点的应力：=0,=3Fs2A=31010328016010-6=1.172106Pa=1.162MPa,其应力状态为纯剪切应力状态，则1=, 2=0， 3=1.172MPa，max=, 最大切应力作用面的方位为=0。习题139图30AFF139 空心圆杆受力如图所示。已知F=20kN，D=120mm，d = 80mm，在圆轴表面A点处测得与轴线成30方向的线应变30= 1.022105，弹性模量E=210GPa, 试求泊松比。解：1、A点对应的横截面上只有正应力，即A0=FNA=201034(1202-802)10-6=3.185106Pa=3.185MPa2、取A点的单元体3、由斜截面应力计算公式有30=cos2=3.18534=2.389MPa120=cos2=3.1850.52=0.79625MPa3、根据广义胡克定律有30=1E30-v-60则 v=30-E30120=2.389106-2101091.02210-50.796106=0.360xzy13习题1310图1310 在其本身平面内承受荷载的铝平扳，巳知在板平面内的主应变为1 = 3.510-4，3 = -5.410-4 其方向如图1310 所示。铝的E70 GPa，0.33，试求应力分量x、y及x。解：由题意可知该应力状态为平面应力状态，根据广义胡克定律有1=1E1-v3 3=1E(3-v1)代入3.510-470109=1-0.333-5.410-470109=3-0.331得1=13.5106Pa=13.5MPa, 3=-33.35106Pa=-33.35MPa利用斜截面应力公式1=x+y2+x-y2cos120-xsin120tan120=-2xx-y及x+y=1+3 得x=-21.7MPa, y=1.7MPa, x=-20.3MPa1311 已知各向同性材料的一主应力单元体的1 = 30MPa，2 = 15MPa，3 =-5MPa，材料的弹性模量E = 200GPa，泊松比。试求该点得主应变。解：直接应用广义胡克定律即可求出。1312 图示矩形板，承受正应力x与y作用，试求板厚的改变量与板件的体积改变V。已知板件厚度=10mm，宽度b = 800mm，高度h = 600mm，正应力x = 80MPa，y = -40MPa，材料为铝，弹性模量E70GPa，泊松比 0.33。习题1312图hbxy解：由广义胡克定律即可求出则 体应变板件的体积改变量习题1313图20cm20.001cmF1313 如图所示，边长为20cm均质材料的立方体，放入刚性凹座内。顶部受轴向力F = 400kN作用。已知材料的E = 2.6104MPa， = 0.18。试求下列两种情况下立方体中产生的应力。（1）凹座的宽度正好是20cm；（2）凹座的宽度均为20.001cm。解：（1）根据题意立方体两水平方向的变形为零，即为变形条件，由广义胡克定律得上式解出 。式中 。代入数据，得（2）根据题意立方体两水平方向的变形为0.001cm，应变，由广义胡克定律得式中 。上式解出 。习题1314图A45Me代入数据，得1314 已知如图所示受力圆轴的直径d=20mm，若测得圆轴表面A点处与轴线45方向的线应变45= 5.2010-4，材料的弹性模量E = 200GPa，泊松比 = 0.3。试求外力偶矩Me。解：A点应力状态为纯剪切状态，故45方向为主应力方向，且有。由得。对于扭转是A点的切应力，则1315 一直径为25mm的实心钢球承受静水压力，压强为14MPa。设钢球的E=210GPa，=0.3。试问其体积减少多少？解：根据题意有体应变体积改变量1316 试对图示三个单元体写出第一、二、三、四强度理论的相当应力值，设 =0.3。习题1316图30(a)3020102010(b)1520(c)解：(a) 由题图可知则(b)已知则（c）由题图可知则 则由公式可直接得到该单元体的主应力1317 有一铸铁制成的零件。已知危险点处的应力状态如图所示。设材料的许用拉应力t=30MPa，许用压应力c=90MPa，泊松比 =0.25。试用第一和第二强度理论校核其强度。B习题1317图550kN1m8m200A840240B10z习题1318图40kN/m 1m550kN单位：MPa70503040（a）（b）1318 一工字钢制成的简支梁，受力如图a所示。其截面尺寸见图b。材料的=170MPa，=100MPa，试校核梁内的最大正应力和最大切应力，并按第四强度理论校核危险截面上A点的强度。解：（1）横截面的几何性质（2）作简支梁的剪力图和弯矩图。（3）梁内跨中截面上下边缘有最大正应力为（4）梁内支座处截面的中性轴上有最大切应力为（5）梁内集中力作用处左侧截面上的剪力和弯矩为该截面上A点的应力为A点的主应力为由第四强度理论因此，梁是安全的。1319 图所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变t = 35010-6， 。若已知容器平均直径D500 mm，壁厚d10 mm，容器材料的E210 GPa，0.25。试：（1）导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；（2）计算容器所受的内压力。答 案131 = -1.773 MPa， = .1 MP132 （a） = 40.3 MPa， = 14 MPa。 （b） = -38.2 MPa， = 0。 （c） = 0.49 MPa， = -20.5 MPa。 （d） = 35.8 MPa， = -8.66 MPa。133 （a） = 10 MPa， = 15 MPa。 （b） = 47.3 MPa， = -7.3 MPa。135 (a）1= 52.4 MPa，2= 7.64 MPa，3= 0，1 =-31.8 （b）1= 11.23 MPa，2= 0，3=-71.2 MPa，1 =52.2 （c）1= 37 MPa，2= 0，3=-27 MPa 0，1 =70.5137 (a）1= 60 MPa，2= 50 MPa，3= -70MPa，max =65MPa （b）1= 40 MPa，2= 20 MPa，3=-40 MPa，max =40MPa138 Amax =10MPa， =45139 = 0.31310 x-228MPa y-0177MPa x166MPa1311 1 = 1.37510-4，2 = 4.37510-5，=0.3。3 = -8.12510-5。1312 =-0.00126mm，V