梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图

5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力 Q 和弯矩 M 可以表示为坐标的函数，即 它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。 与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标 轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。 例 5-1 简支梁 AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。 图 5-10 解： (1) 计算支反力 以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即 (1) 方向如图。(2) 建立剪力、弯矩方程 以梁左端 A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。设截面上的剪力 Q () 、弯矩 M () 皆为正，如图 5-10b 所示。由平衡方程 将 (1) 式代入上面两式，解得（ 2 ） （ 3 ） (2) 、 (3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。 (3) 绘制剪力图、弯矩图 由式 (2) 可知，剪力图为一直线。只需算出任意两个截面的剪力值，如 A 、 B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图 5 - 10c 所示。 由式 (3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。例如计算下列五个截面的弯矩值：当时 , M =0 ；当时，；当 时，。由此作出的弯矩图，如图 5-10d 所示。 由剪力图和弯矩图可知，在靠近 A 、 B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为 在梁的中央截面上，剪力 Q 0 ，弯矩为最大，其值为 例 5-2 简支梁 AB 承受集中力偶 M0作用，如图 5 - 11a 所示。试作梁的剪力图、弯矩图。 图 5-11 解： (1) 计算支反力 由平衡方程分别算得支反力为 反力 RA的方向如图， RB为负值，表示其方向与图 5 - 11a 中假设的方向相反。两个支反力形成的力偶矩刚好与集中力偶 M0平衡。 (2) 建立剪力、弯矩方程 由于梁上作用有集中力偶，剪力、弯矩方程同样应分段列出。利用截面法分别在 AC 与 CB 段内截取截面，根据截面左侧 ( 或右侧 ) 梁段上的外力，列出剪力方程和弯矩方程为AC 段 (1) (2) CB 段 (3) (4) (3 )绘制剪力、弯矩图由(1) 、(3)两式可知，两段梁上的剪力相等，因此,AB 梁的剪力图为一条平行于 x 轴的直线 ( 图 5-11b) 。由 (2) 、(4)两式可知，左右两段梁上的弯矩图各为一条斜直线，如图 5 - 11c 所示。由图可见，对于 ab 的情况，绝对值最大的弯矩发生在集中力偶作用处的右侧截面上，其值为 而且，在集中力偶作用处，弯矩图有突变，其突变量等于集中力偶矩的数值。 例 5-3 简支梁 AB 承受集中力 P 作用，如图 5 - 12a 所示。试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。 图 5-12 解： (1) 计算支反力 以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。由平衡方程 求得 方向如图 5 - 12a 所示。 (2 ) 建立剪力、弯矩方程 由于梁在 C 截面上作用集中力 P ，在建立剪力方程和弯矩方程时，必须分为 AC 、 CB 两段来考虑。 在 AC 段内，距 A 点 x 处取一横截面，其左侧梁段上向上的支反力只 R A 引起正值剪力和正值弯矩，则 AC 段上的剪力方程和弯矩方程分别为 (1) (2) 在 CB 段内，距 A 端 x 处取一横截面，其左侧梁段上除 R A 之外，还有向下的集中力 P 。 P 将引起负值剪力和负值弯矩，因此，任一截面上的剪力方程和弯矩方程分别为 (3) (4) 实际上，在列出 CB 段的内力方程时，选用右侧梁段更为简便。 (3) 绘制剪力、弯矩图 由 (1) 、 (3) 两式可知， AC 、 CB 两段上剪力分别为常数，故剪力图为两条平行于 x 轴的直线，如图 5-12b 所示，由 (2) 、 (4) 两式可知，弯矩方程均为线性函数，故弯矩图为两条斜直线，如图 5 - 12c 所示。由内力图可知，当 a b 的情况下，绝对值最大的剪力在 CB 段上，其值为。最大弯矩在集中力作用点处，其值为。在诙截面处，剪力图上有突变，其突变量等于集中力的数值。5.4.2 刚架的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 在工程中，常常遇到几根杆件组成的框架结构。例如，图 5-13 所示的钻床机架由 AB 、 BC 两根直杆刚性连接而成。在结点 B 处，两杆的截面不能发生相对转动。或者说，在结点处两杆间的夹角保持不变，这样的结点称为刚结点，具有刚结点的框架称为刚架。 如果刚架的支座反力和内力均能由静力平衡条件确定，这样的刚架称为静定刚架。直杆内力图的绘制方法，基本上适用于刚架。图 5-13 例 5-4 平面刚架 ABC ，承受图 5 - 14a 所示载荷作用，已知，试作刚架的弯矩图。 图 5-14解： (1) 计算支反力 利用刚架的平衡条件确定支座反力。设固定铰 A 的反力 XA,YA，可动铰 C 的反力为YA，则 (2) 建立弯矩方程并作弯矩图 在 BC 杆上，以 C 为原点，取坐标 x 1 。由于集中力 P 的作用， BC 杆上的弯矩方程应