因式分解的常用方法(方法最全最详细)

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式转化为几个代数表达式的乘积，主要包括公共因子法、公式法、交叉乘法、分组分解法、代换法等。因子分解的一般步骤是：(1)通常采用一个“建议”、两个“公开”、三个“要点”和四个“修改”的步骤。也就是说，首先，看看是否有任何共同的因素需要提及，其次，看看乘法公式是否可以直接使用。如果前两个步骤都不能实现，可以使用分组分解方法。分组的目的是在分组后使公共因子公式可用，或者使用公式方法继续分解。(2)如果以上方法都不起作用，可以尝试使用公式法、代换法、待定系数法、试除法、项目删除(加法)等方法。注意：分解一个多项式应该被分解，直到它不能被再次分解。I .共同因素法：ma mb mc=m(a b c)第二，使用公式法。在代数表达式的乘法和除法中，我们已经学习了几个乘法公式。现在我们反过来使用它们，这是因式分解中常用的公式，例如：(1)(a b)(a-b)=a2-B2-a2-B2=(a b)(a-b)；(2)(ab)2=a22ab B2-a22ab B2=(ab)2；(3)(a b)(a2-ab B2)=a3 B3-a3 B3=(a b)(a2-ab B2)；(4)(a-b)(a2 ab B2)=a3-B3-a3-B3=(a-b)(a2 ab B2)。添加了以下两个常用公式：(5)a2 B2 C2 2ab 2bc 2ca=(a b c)2；(6)a3 B3 C3-3bc=(a b c)(a2 B2 C2-a b-BC-ca)；例如，已知有三个面，的形状是()A.直角三角形b等腰三角形c等边三角形d等腰直角三角形解决方案：三、分组分解法。(一)分组后可以直接提到共同因素示例1，因式分解：分析：从“整体”的角度来看，这个多项式的项既没有共同的因子可提，也没有公式分解，但是从“局部”的角度来看，这个多项式的前两项包含A，后两项包含B，所以可以认为是把前两项分成一组，然后把后两项分成一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解决方案：原始公式=每组之间也有一个共同的因素！=示例2，因式分解：解决方案1:第一个和第二个术语是一个组；解决方案2:第一项和第四项在一个组中；第三和第四项在一组中。第二项和第三项在一组中。解决方案：原始公式=原始公式=练习：分解因子1，2，(2)公式分组后可以直接应用示例3，因式分解：分析：如果第一项和第三项被分成一组，第二项和第四项被分成一组，虽然可以提及共同因素，但它们在被提及后可以继续分解，所以只能被分成其他组。解决方案：原始公式=示例4，因式分解：解决方案：原始公式=练习：分解因素3，4，综合练习：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11)(12)四.交叉乘法。(a)二次系数为1的二次三项式等式直接用于分解。特征：(1)二次系数为1；(2)常数项是两个数的乘积；(3)主项系数是常数项的两个因子之和。思考：交叉乘法的基本规则是什么？例如，如果0 5是已知的并且是整数，则可以使用交叉乘法因子分解公式来找到合格的。分析：任何二次三次方程ax2 bx c可以乘以一个十进制数都需要0，并且是一个完整的平方数。所以这是一个完美的平方数，示例5，因式分解：分析：把6分成两个数，然后把它们相乘，这两个数的和应该等于5。因为6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，所以只有23分解是合适的，即2 3=5。1 2解决方案：=1 3=12 13=5用这种方法分解的关键是把常数项分解成两个因子的乘积，两个因子的代数和应该等于主项的系数。示例6，因式分解：解决方案：原始公式=1 -1=1 -6(-1) (-6)=-7练习5，保理(1) (2) (3)练习6，保理(1) (2) (3)(2)二次系数不为1的二次三项式条件：(1)(2)(3)分解结果：=例7，因式分解：分析：1 -23 -5(-6) (-5)=-11解决方案：=练习7，保理：(1) (2)(3) (4)(3)二次系数为1的齐次多项式示例8，因式分解：分析：将其视为常数，将原始多项式视为二次三项式，并使用交叉乘法对其进行分解。1 8b1 -16b8b (-16b)=-8b解决方案：=练习8，保理(1)(2)(3)(4)二次系数不为1的齐次多项式实施例9、10，1 -2y视为整体1 -12 -3y 1 -2(-3y) (-4y)=-7y (-1) (-2)=-3解决方案：原始公式=解决方案：原始公式=练习9，保理：(1) (2)综合练习10，(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)(8)(9)(10)思考：分解因素：V.替代方法。(1)单项形式示例1因子分解x6 14x3 y 49y2。分析：注意x6=(x3)2。如果单项式x3变为元，并且设定x3=m，则x6=m2，并且原始公式变形为m2 14m y 49y2=(m 7y)2=(x3 7y)2。(2)改变多项式示例2因式分解因子(x2 4x 6) (x2 6x 6) x2。分析：本主题前面的两个多项式有相同的部分。我们只能把相同的部分变成元素。假设x2 6=m，然后x2 4x 6=m 4x，x2 6x 6=m 6x。原始形式被转换成(m 4x)(m 6x)x2=m2 10mx 24x 2 x2=m2 10mx 25x 2=(m 5x)2=(x2 6 5x)2=(x 2)(x 3)2=(x 2) 2 (x 3)2。上述替换方法被称为“局部替换方法”，因为它只改变多项式的一部分。当然，我们也可以把前两个多项式中的任何一个变成整体替换法。例如，如果x2 4x 6=m，x2 6x 6=m 2x，则原始形式转换为m(m 2x)x2=m2 2mx x2=(m x)2=(x2 4x 6 x)2=(x2 5x 6)2=(x 2)(x 3)2=(x 2) 2 (x 3)2。此外，前两个多项式的平均值也可用于转换。这种转换方法被称为“平均替代法”，通过使用平方方差公式可以简化计算。对于这个例子，如果m=(x2 4x 6) (x2 6x 6)=x2 5x 6，x2 4x 6=m-x，x2 6x 6=m x，(m x)(m-x)x2=m2-x2 x2=m2=(x2 5x 6)2=(x2)(x 3)2=(x 2) 2 (x 3)2。例3因式分解公式(x-1)(x 2)(x-3)(x 4) 24。分析：这个问题的前沿是四个多项式的乘积，这四个多项式可以分成两组相乘，并转换成两个多项式的乘积。在任何情况下，最高的项是x2，常数项不相等，所以只有一个项可以尝试相同。因此，(x-1) (x 2) (x 3) (x 4)被分为(x-1)(x 2)(x-3)(x 4)=(x 2 x 2)(x 2 x 12)，从而被转化为例2来解决问题。我们使用“平均代换法”，设定m=(x2 x-2) (x2 x-12)=x2 x-7，然后x2 x-2=m 5，x2 x-2=m-5，原始形式修改如下(m 5)(m-5)24=m2-25 24=m2-1=(m 1)(m-1)=(x2 x-7 1)(x2 x-7-1)=(x2 x-6)(x2 x-8)=(x-2)(x-3)(x2 x-8)。(3)不断变化示例1因子分解x2(x 1)-20032004x。分析：如果这个问题按照总体思路解决，就很难工作。请注意2003和2004这两个数字之间的关系，并更改其中一个常量。例如，如果m=2003，那么2004=m 1。因此，原始形式被转化为x2(x1)-m(m1)x=xx(x1)-m(m1)=x(x2 x-m2-m)=x(x2-m2)(x-m)=x(x-m)(x-m)(x-m)=x(x-m)(x m 1)=x(x-2003)(x 2003 1)=x(x-2003)(x 2004)。例13，因式分解(1)(2)解决方法：(1)设置2005=，然后是原始公式=(2)当因式分解时，类型如的多项式可以乘以两组四因子。原始公式=设定，然后原始公式=练习13，保理(1)(2)(3)例14，因式分解(1)观察：这个多项式的特点是关断排列，每个项的个数依次减少一个，系数为“轴对称”。这种多项式属于“等距多项式”。方法：提取中间项的字母及其出现次数，计算保留系数，然后采用替代法。解决方案：原始公式=设定，然后原始公式=(2)解决方案：原始公式=设定，然后原始公式=练习14，(1)(2)六、增加项目、删除项目、分配方法。例15，因式分解(1)解决方案1项。向解决方案2中添加项目。原始=原始=(2)解决方案：原始公式=练习15，保理(1) (2)(3) (4)(5) (6)七、待定系数法。示例16，因式分解分析：原公式的前3项可以分成，那么原多项式必须分成解决方案：设置=比较左右两边相同项目的系数，我们就可以得到答案原始类型=例17，(1)当值为时，多项式可以分解因子并分解多项式。(2)如果有两个因子相加，则获得的值。(1)分析：前两项可以分解成，所以多项式分解的形式必须是解决方案：设置=然后=比较相应的系数，我们可以得到：解：或当时的，原始多项式可以分解；当时，原始形式=；当时，原始形式=(2)分析：这是一个三次公式，所以应该分成三次乘法，所以第三个因子必须是二项式。解决方案：设置=然后=你可以得到它。=21练习17，(1)保理(2)因子分解(3)已知它可以分解成两个主要因素的乘积，找到常数并分解这些因素。(4)为什么这个值可以分解成两个主要因素和多项式的乘积。第二部分：练习经典1:一、填空1.将一个多项式转换成几个代数表达式的形式称为因式分解多项式。2因子分解：m3-4m=。3.分解因子：X2-4Y2=_ _ _ _。4.分解系数：=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _