欧几里得空间习题.ppt

欧几里得空间,1.设,在,为,1)证明：在这个定义之下,2),的度量矩阵；,3)具体写出这个空间中的柯西布涅科夫斯基不等式.,中定义内积,成一欧氏空间；,阶正定矩阵，而,是一个,解：1),由于,时，,故,成一欧氏空间.,当且仅当,是正定矩阵，所以,2)设所求度量矩阵为,从而,则,3),故柯西布涅科夫斯基不等式为,2.设,1）如果,2）如果,那么,使对任一,有,那么,使,是欧式空间的一组基，证明：,证：1）,知,故,由,的线性组合，即,可表示为,是,的一组基，所以,2)由题设，特别对基,即,由1）知,即,有,3.设,其中,求,解：首先不难证明,将它们正交化得,是线性无关，,的一组标准正交基.,的一组标准正交基，,是5维欧氏空间,单位化得,则,的一组标准正交基.,就是,4.在,解：取,将它们正交化得,出发作正交化）.,标准正交基（由基,的一组,求,中内积定义为,单位化得,则,为一组标准正交基.,5.设,1）证明：,2）证明：,证：,1）由于,从而,是,的一个子空间.,故,有,对任意,非空，,所以,的维数等于,是,的一个子空间；,是,中一固定向量.,维欧氏空间，,是,2）由于,这时，因为,所以,对任意,由,的一组正交基,将它扩充为,是线性无关的，,有,其维数为,的一组基，,是,从而,线性表出，,可由,即,得,6.设,证明：当且仅当,维欧氏空间,时，,线性无关.,的一组向量，而,是,证：设,从而,线性无关.,即,时，该方程组只有零解，,又当且仅当,的解，,是,取内积得,两边与,7.证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为1或-1.,证：设,也是上三角矩阵，,从而,则,是正交矩阵，且,于是,得,此即,或,又由,为对角阵，,故,8.,1）设是一个阶实矩阵，且,证明：可以分解成，其中是正交矩阵，是一上三角矩阵,且并证明这个分解是唯一的.,2）设是一个阶正定矩阵，证明:存在一上三角矩阵，使得,证：1)设,个列向量为,，它的,利用施密特正交化过程，可得正交基,的一组基.,线性无关，从而是,所以,，由于,其中,其中,代入各等式左边，移向整理得,再将,令,因为,是标准正交基，所以,是正交阵，且,即,为列向量构成矩阵,维列向量，以,，则,是上三角阵，且主对角线,上的元素,为,即,若还有,于是,因为,从而,即,的主对角线元素为正，故,而,是主对角线上元素为1或-1的对角阵,由7题知,是上三角阵,也是正交阵,另一方面,也是正交阵,从而,为正交阵,所以,的另一种分解，则,是,使,2)因为,故,由1）知,使,正定，所以存在可逆矩阵,9.证明：正交矩阵的实特征值为1.,证：设,利用,故有,所以,由于,得,再右乘,有,取共轭转置得,的实特征值，,即,为正交矩阵，,为,10.证明：奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个特征值.,证：设旋转所对应的正交矩阵为,由于,故,的一个特征值.,即1为,于是,为奇数，且,那么,11.证明：第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值.,证：设,所以,即-1是,的一个特征值.,由于,是第二类正交变换对应的矩阵，则,12.设,证：先证,因为,那么它一定是线性的，因而它是正交变换.,内积不变，即对于,保持,的一个变换，证明:如果,是欧氏空间,所以,再证,所以,故,是正交变换.,由于,即,13.设,证明:对任一,证：因为存在正交矩阵,则,令,使,有,的特征多项式的根，且,是,是一实二次型，,又有,而,故,14.设,证明:存在一,证：由于,所以存在正交矩阵,仍为对