概率论与数理统计实验_传染病传播问题

传染病传播问题传染病是人类共同的敌人. 小到流感、病毒性肝炎，大到霍乱、天花、艾滋病、非典型性肺炎等，危害着人们的健康，扰乱了人们正常的工作和生活，同时也侵蚀着人类大量的财富. 因此建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，预报传染病高峰的到来，及时控制传染病的传播是非常重要的事情，一直是各国政府和科学家关注的课题. 以下探讨几类传染病数学模型，对传染病相关的问题做出相应的回答.注：（1）这里不从医学的角度分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种数学模型；（2）讨论问题的前提是假定在疾病的传播期内，所考察地区的总人数不变（总人数为N）.解：假设 (1) t时刻健康者和病人在总人数中所占的比例分别为 另外, ；(2) 每个病人每天有效接触的平均人数为常数. 称日接触率，即当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变成病人.根据假设，有故可得 （1）得到 (2) 这个模型可以用于传染病的前期（对于传染较快的病），早期预报传染病高峰的到来. 1）曲线表示传染病的传染曲线；曲线表示传染病的上升率与时间的关系，医学上称为传染病曲线. 图 25.1 图 25.22) 求的一阶导数：这里已经把=0.0012, =0.25代入到的表达式. 再输入 回到的表达式(2), 再求的二阶导数, 令，求出函数的极大值点, （3）再代入的表达式，得即已求出 时，达到最大值. 即传染病的上升率达到最大，这个时刻是.说明：病人在这个时刻增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门特别关注的时刻.3）从（3）式可知与成反比. 日接触率标志着该地区的卫生水平，越小，卫生水平越高. 而越小，越大，传染病爆发的时刻就会越迟. 所以改善保健设施，采取有效的隔离措施，降低日接触率，可以推迟传染病高峰的到来.4）由（2）式可知，当时，. 这就意味着所有的人都将被传染，处于生病状态. 这是不符合实际情况的. 事实上，传染病人经治疗后，或者痊愈，因而具有免疫力；或者死亡；所以最终病人的比例数应该趋于零，即当时，. 由此可见，需要重新修改模型假设，再建立数学模型.感染-治愈假设：(1) 与感染模型相同；(2) 与感染模型相同；(3) 病人可以治愈. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例，称为日治愈率. 病人治愈后仍可成为被感染的健康者，所以是这种传染病的平均传染期.由假设（3）可知 故可得 （4）变换得 （5）此方程为贝努利方程，i t- 得到 当 当时，上式不是方程的解，应从原方程出发求解. （6）可以利用分离变量法求解. it-即 为当时的解. 所以方程组的解为： （7）分析：定义： （8）从和的定义可知，是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.1）作出曲线图，分析病人数的变化规律.首先求出的极限，讨论极端情况. 因为 （9）这里有两条曲线, 都是的情形. 上面一条是=0.68, =0.25, =0.10时的图形; 下面一条是=0.0012, =0.25, =0.10时的图形. 从图25.3可见, 虽然不同, 但在t趋于无穷时有相同的极限. 图 25.3这是=0.68, =0.10, =0.10时的曲线.图25.42）接触数是一个阈值. 当时，病人比例越来越小，最终趋于零. 说明传染期内，每个病人有效接触的平均人数不超过一个人，最终导致使健康者变为病人的数量不超过病人数. 当时，病人比例的增减性取决于初始病人数的大小. 当时，.从上式分析可知越大，越大，即：病人比例随的增加而增加. 相反，增大治愈率，减少接触率，（即：降低的取值）其实际意义就是要提高医疗水平和保健水平，可以降低传染病的传播，避免传染病的爆发.3）特殊情况：当时，相当于的情况. 即：随着天数的无限增大，接触数无限增大，将导致所有的人都成为病人. 这也就是模型(一)的情况.感染-治愈-免疫考虑大多数传染病治愈后有很强的免疫力. 所以病愈的人既非健康者又非病人，被免疫的人数不再传染别人，别人也不会传染他们，他们已经退出传染系统. 另外死亡者也看作是退出传染系统.假设：（1）人群分为健康者、病人和移出者三类. 三类人在总人数N中占的比例分别记作，三者之间满足条件：；（2）病人的日接触率为，病人的日治愈率为，传染期接触数为.由假设（2）可知对移出者应有 ，记初始时刻的健康者和病人的比例分别是，移出者的初始值.则得到： （10）这是非齐次非线性的微分方程组，难以求出精确的解析解. 结果为 图25.5, 图25.6, 图25.7三个图形. 这是=0.25, =0.10, =0.0012时的i(t)t, s(t)t, r(t)t 曲线. 图25.5 图25.6 图25.7 图25.8图25.13在理论上可以根据方程组的特点，先确定与之间的关系，然后再利用的关系，确定. 将（10）式前两个方程左右两边分别相除得： （11）利用分离变量容易得到方程（11）的精确解 （12）分析：由（11）式可知，当时， .容易验证：当 时，；当时，.图形25.13中箭头表示随时间的增加和的变化趋势. 根据图形25.13分析可知，当时，. 由此可得到如下结论：(1) 无论初始条件如何，病人终将消失. 即：当时，.(2) 最终未被感染的健康者的比例是. 在（12）式中，令可得满足的方程： （13）故是方程（13）式在内的单根. (3) 若，则先增加. 当时，达到最大值为. 然后减少且趋于零. 则单调减少趋于. （4）若，则单调减少趋于零，则单调减少趋于. 结果：由上述分析可以得知：(1)如果仅当病人比例有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，这时是一个阈值. 当时，传染病就会蔓延，而当提高阈值（即：减少传染期内接触数），使，传染病就不会蔓延.(2) 是传染期内一个病人传染健康者的平均数，故称为交换数. 所以当时，即有时，必有. 说明：传染期内交换数不超过1人，病人比例不会增加，传染病不会蔓延.(3) 从表达式可知，日接触率越小，日治愈率越大，则接触数越小，此时有助于控制传染病的蔓延