2.1数列的概念和表示法

,国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求.,新课导入,你认为国王能满足他的要求吗？,4，,5，,6，,7，,8，,9，,10,从下往上钢管的数目有什么规律？钢管的总数是多少？如果增加钢管的层数，有没有更快捷的方法求出总数？,1-,2-,3-,4-,5-,6-,7-,想一想,在本章我们将学习数列的知识，学完后解决这类问题那是小菜一碟,在自然界和日常生活中，我们经常遇到按照一定次序排成的一列数。各个数间有什么内在规律？这些规律在实际生活中有哪些应用？本章就来讨论这些问题。,数列,数列是初等数学和高等数学的一个衔接点历来是高考考察的重点，突出考察考生的思维能力、逻辑推理能力及解决问题的能力.有关数列的试题经常在数列知识、函数知识和不等式等知识网络的交汇点命题。学习中应注意应用“联系”的思想、从特殊到一般的思想方法，也要掌握常用方法,考点分析及学法指导,2.1数列的概念与表示方法,实例1：下图中的三角形点阵分别代表哪些数？,实例2：下图中的正方形点阵分别代表哪些数？,实例3：观察下列的“符号数”。-1,1，-1,1，-1,1.,请观察:,(2)4,5,6,7,8,9,.,(4)0,10,20,30,1000,(6)-1,1,-1,1,-1,(5).,(7)66,56,34,21,11,(3)15,5,16,16,28,32,又像这些例子中，都是按一定顺序排列的一列数,1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项，2.数列的表示：数列的第一个数（第1项）用a1表示，第二个数用a2表示，第n个数用an表示，因此数列可表示为：a1,a2,a3,an,.简记作an。,用an表示的数列与集合a1,a2,a3,an,有什么区别？,1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。,2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定的顺序排列。,注意:,an与an是两个不同的概念。,练习,1.下列实例是否构成数列？,、我们班全体同学的身高？,、我们班全体同学的姓名按学号的次序排成一列？,、我们班全体同学的出生年份按学号的次序排成的一列数？,2.给出下列四个命题，其中正确的序号是：,、数列1,2,3,5与数列5,3,2,1是相同的数列。,、数列1,3,5,7,9，可简记为2n-1.,、数列0,2,4,6,8，可简记为2n.,、数列,1.根据数列项数的多少进行分类：,有穷数列：项数有限的数列。如：1,2,3,4,5,6.,数列分类,无穷数列：项数无限的数列。如：1,2,3,4,5,6，,n,2.根据数列相邻两项的大小进行分类：,递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。,递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。,常数数列：各项相等的数列。,摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。,练习,下述的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？,全体自然数构成数列.,0,1,2,3,4，,无穷多个5构成数列.,5,5,5,5,5，,20072012年我校招收的高一学生人数构成数列.,980,1100,1176,1460,1620,1710,目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成的数列.（单位：元）,100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01,(-1)n构成数列.,-1,1,-1,1,-1,1,数列：4,5,6,7,8,9,10中的项与它的序号是怎样的对应关系？这一对应关系可否用一个式子来表示？,序号n:1234567,项an:45678910,这个数列的项与序号的对应关系可用式子：an=n+3来表示,通项公式定义,如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。,数列可以看成以正整数集为定义域的函数，当自变量从小到大取值时对应的一列函数值。,数列的通项公式反映了一个数列的项an与项数n的函数关系，它具有双重身份：既表示数列的第n项，又是这个数列中所有各项的一般表达式。,注意,并不是所有的数列都有通项公式,如,函数y=7x+9与y=3x，当x依次取1,2,3，时，其函数值构成的数列各有什么特点？写出它们的通项公式，并且分析相邻两项之间的数量关系？,练习,1、已知an满足an=3(3+4n)，写出它的前5项。,2、已知an满足a1=1,an=an-12-1(n1),写出它的前5项。,3、写出上述三角形数列与正方形数列的通项公式。,4、写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。,(2)2、0、2、0,注意：,凡是数列中出现有+，-相间的项，在通项中一定有,an=,1,0,1,0,变式:,根据数列的前若干项写出的通项公式的形式唯一吗？,不唯一,例：,观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：,（1）（）,（2）1，2，4，8，（），32,分析,(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改成以12为分母的分数.,（2）一看都是2的倍数，则要分析是2的几次幂.,练习,例:,(1)3，8，15，24，6，66，666，6666，,写出下面数列的通项公式，是它们的前四项分别是下列各数：,方法一：(1)注意观察各项与对应序号的关系，可以发现：3=13，8=24，15=35，24=46所以,方法二：本小题也可以与数列4，9，16，25，(n+1)2比较，得出：,(1)3，8，15，24，,分析,变式：,(2)将题设数列与数列,相比较，可得,分析：,总结评述,已知一个数列的前几项，写出这个数列的一个通项公式时，将这个数列向我们熟悉的数列划归，是一种重要的思路.,变式：,常见数列的通项公式：,（1）-1，1，-1，1，-1，1，an=(-1)n（2）1，2，3，4，5，an=n（3)2，4，6，8，10，an=2n（4）1，3，5，7，9，an=2n-1（5）1，4，9，16，25，an=n2(6)9，99，999，9999，an=10n-1,1,3,9,27,即后一项将前一项一分为三,1,3,9,27,递推公式,向上面那样，如果已知数列an的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.,递推公式也是给出数列的一种方法.它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可,如：a1=1,an=2an-1+1(n1)a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n2),（2004上海）根据下列五个图形及相应的点的个数的变化规律，试猜想第n个图形中有_个点。,思考题：,练习,1、已知数列an的首项a1=1，且满足，则此数列的第3项是多少？,3、已知数列an的通项公式,4、已知数列an满足，求通项公式an?,5、已知数列an满足，则an=？,2、设数列满足，写出这个数列的前5项。,6、已知数列an中，a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n2),写出这个数列的前5项；利用上面的数列an，通过公式构造一个新数bn试写出bn的