概率论与数理统计习题及答案第二章.pdf

1 习题二习题二 1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只 球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律. 【解解】 3 5 3 5 2 4 3 5 3,4,5 1 (3)0.1 C 3 (4)0.3 C C (5)0.6 C X P X P X P X 故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样， 以 X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 , 1, 1, 12 222 P XPXPXPX. 【解解】 3 13 3 15 12 213 3 15 1 13 3 15 0,1,2. C22 (0). C35 C C12 (1). C35 C1 (2). C35 X P X P X P X 故 X 的分布律为 X 0 1 2 P 22 35 12 35 1 35 （2） 当 x0 时，F（x）=P（Xx）=0 当 0x1 时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)= 22 35 2 当 1x2 时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)= 34 35 当 x2 时，F（x）=P（Xx）=1 故 X 的分布函数 0,0 22 ,01 35 ( ) 34 ,12 35 1,2 x x F x x x (3) 1122 ()( ), 2235 333434 (1)( )(1)0 223535 3312 (1)(1)(1) 2235 341 (12)(2)(1)(2)10. 3535 P XF PXFF PXP XPX PXFFP X 3.射手向目标独立地进行了 3 次射击，每次击中率为 0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的 分布律及分布函数，并求 3 次射击中至少击中 2 次的概率. 【解解】 设 X 表示击中目标的次数.则 X=0，1，2，3. 3 12 3 22 3 3 (0)(0.2)0.008 (1)C 0.8(0.2)0.096 (2)C (0.8) 0.20.384 (3)(0.8)0.512 P X P X P X P X 故 X 的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数 0,0 0.008,01 ( )0.104,12 0.488,23 1,3 x x F xx x x (2)(2)(3)0.896P XP XP X 4.（1） 设随机变量 X 的分布律为 3 PX=k= ! k a k ， 其中 k=0，1，2，0 为常数，试确定常数 a. （2） 设随机变量 X 的分布律为 PX=k=a/N， k=1，2，N， 试确定常数 a. 【解解】 （1） 由分布律的性质知 00 1()e ! k kk P Xkaa k 故 ea (2) 由分布律的性质知 11 1() NN kk a P Xka N 即 1a . 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投 3 次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解解】分别令 X、Y 表示甲、乙投中次数，则 Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P XYP XYP XYP XY (3,3)P XY 331212 33 (0.4) (0.3)C 0.6(0.4) C 0.7(0.3)+ 222233 33 C (0.6) 0.4C (0.7) 0.3(0.6) (0.7) 0.32076 (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P XYP XYP XYP XY (2,1)(3,1)(3,2)P XYP XYP XY 123223 33 C 0.6(0.4) (0.3)C (0.6) 0.4(0.3) 332212 33 (0.6) (0.3)C (0.6) 0.4C 0.7(0.3) 312322 33 (0.6) C 0.7(0.3)(0.6) C (0.7) 0.3 =0.243 6.设某机场每天有 200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各 4 飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于 0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解解】设 X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则 Xb(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道， 则有 ()0.01P XN 即 200 200 200 1 C(0.02) (0.98)0.01 kkk k N 利用泊松近似 200 0.024.np 4 1 e 4 ()0.01 ! k k N P XN k 查表得 N9.故机场至少应配备 9 条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过， 问出事故的次数不小于 2 的概率是多少 （利 用泊松定理）？ 【解解】设 X 表示出事故的次数，则 Xb（1000，0.0001） (2)1(0)(1)P XP XP X 0.10.1 1 e0.1 e 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数 X 满足 PX=1=PX=2，求概率 PX=4. 【解解】设在每次试验中成功的概率为 p，则 14223 55 C(1)C(1)pppp 故 1 3 p 所以 44 5 1210 (4)C ( ) 33243 P X . 9.设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号， （1） 进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解解】 （1） 设 X 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 X6（5，0.3） 5 5 5 3 (3)C (0.3) (0.7)0.16308 kkk k P X (2) 令 Y 表示 7 次独立试验中 A 发生的次数，则 Yb（7，0.3） 7 7 7 3 (3)C (0.3) (0.7)0.35293 kkk k P Y 10.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为 （1/2）t 的泊松分 5 布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午 12 时至下午 3 时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率. 【解解】 （1） 3 2 (0)eP X (2) 5 2 (1)1(0)1 eP XP X 11.设 PX=k= kkk pp 2 2 )1 (C, k=0,1,2 PY=m= mmm pp 4 4 )1 (C, m=0,1,2,3,4 分别为随机变量 X，Y 的概率分布，如果已知 PX1= 5 9 ，试求 PY1. 【解解】因为 5 (1) 9 P X ，故 4 (1) 9 P X . 而 2 (1)(0)(1)P XP Xp 故得 2 4 (1), 9 p 即 1 . 3 p 从而 4 65 (1)1(0)1 (1)0.80247 81 P YP Yp 12.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为 0.001，试求在这 2000 册书中 恰有 5 册错误的概率. 【解解】令 X 为 2000 册书中错误的册数，则 Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算, 2000 0.0012np 得 25 e 2 (5)0.0018 5! P X 13.进行某种试验，成功的概率为 3 4 ，失败的概率为 1 4 .以 X 表示试验首次成功所需试验的次 数，试写出 X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率. 【解解】1,2, ,Xk 1 13 ()( ) 44 k P Xk (2)(4)(2 )P XP XP Xk 321 1 31313 ( )( ) 4 44444 k 2 1 31 4 1 45 1 ( ) 4 6 14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡 的概率为 0.002， 每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费， 而在死亡时家属可从 保险公司领取 2000 元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率; （2） 保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率. 【解解】以“年”为单位来考虑. （1） 在 1 月 1 日，保险公司总收入为 250012=30000 元. 设 1 年中死亡人数为 X，则 Xb(2500,0.002)，则所求概率为 (200030000)(15)1(14)PXP XP X 由于 n 很大，p 很小，=np=5，故用泊松近似，有 5 14 0 e 5 (15)10.000069 ! k k P X k (2) P(保险公司获利不少于 10000) (30000200010000)(10)PXP X 5 10 0 e 5 0.986305 ! k k k 即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上 P（保险公司获利不少于 20000）(30000200020000)(5)PXP X 5 5 0 e 5 0.615961 ! k k k 即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62% 15.已知随机变量 X 的密度函数为 f(x)=Ae|x|, x+, 求： （1）A 值； （2）P0X1; (3) F(x). 【解解】 （1） 由( )d1f xx 得 | | 0 1ed2e d2 xx AxAxA 故 1 2 A. (2) 1 1 0 11 (01)e d(1 e ) 22 x pXx (3) 当 x0 时， 11 ( )e de 22 x xx F xx 当 x0 时， 0 | | 0 111 ( )ede de d 222 xx xxx F xxxx 1 1e 2 x 7 故 1 e ,0 2 ( ) 1 1e0 2 x x x F x x 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 X 的密度函数为 f(x)= .100, 0 ,100, 100 2 x x x 求： （1） 在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解解】 （1） 150 2 100 1001 (150)d. 3 P Xx x 33 1 28 (150)( ) 327 pP X (2) 12 23 1 24 C( ) 3 39 p (3) 当 x100 时 F（x）=0 当 x100 时( )( )d x F xf tt 100 100 ( )d( )d x f ttf tt 2 100 100100 d1 x t tx 故 100 1,100 ( ) 0,0 x F xx x 17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在0，a 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X 的分布函数. 【解解】 由题意知 X0,a，密度函数为 1 ,0 ( ) 0, xa f xa 其他 故当 xa 时，F（x）=1 即分布函数 8 0,0 ( ),0 1, x x F xxa a xa 18.设随机变量 X 在2，5上服从均匀分布.现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测 值大于 3 的概率. 【解解】XU2,5，即 1 ,25 ( )3 0, x f x 其他 5 3 12 (3)d 33 P Xx 故所求概率为 2233 33 21220 C ( )C ( ) 33327 p 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X （以分钟计） 服从指数分布 1 ( ) 5 E.某顾客在窗口 等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求 PY1. 【解解】依题意知 1 ( ) 5 XE，即其密度函数为 5 1 e,0 ( ) 5 0, x x f x x0 该顾客未等到服务而离开的概率为 2 5 10 1 (10)ede 5 x P Xx 2 (5,e )Yb ,即其分布律为 22 5 5 2 5 ()C (e ) (1 e ),0,1,2,3,4,5 (1)1(0)1 (1 e )0.5167 kkk P Ykk P YP Y 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X 服 从 N（40，102） ；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从 N（50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解解】 （1） 若走第一条路，XN（40，102） ，则 406040 (60)(2)0.97727 1010 x P XP 9 若走第二条路，XN（50，42） ，则 506050 (60)(2.5)0.9938 44 X P XP + 故走第二条路乘上火车的把握大些. （2） 若 XN（40，102） ，则 404540 (45)(0.5)0.6915 1010 X P XP 若 XN（50，42） ，则 504550 (45)( 1.25) 44 X P XP 1(1.25)0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设 XN（3，22） ， （1） 求 P2X5，P4X10，PX2，PX3; （2） 确定 c 使 PXc=PXc. 【解解】 （1） 23353 (25) 222 X PXP 11 (1)(1) 1 22 0.8413 10.69150.5328 433103 ( 410) 222 X PXP 77 0.9996 22 (| 2)(2)(2)PXP XP X 323323 2222 1515 11 2222 0.6915 1 0.99380.6977 XX PP 33 3 (3)()1(0)0.5 22 X P XP - (2) c=3 22.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在 10.050.12 内为合格品, 10 求一螺栓为不合格品的概率. 【解解】 10.050.12 (|10.05| 0.12) 0.060.06 X PXP 1(2)( 2)21(2) 0.0456 23.一工厂生产的电子管寿命 X（小时）服从正态分布 N（160，2） ，若要求 P120X200 0.8，允许最大不超过多少？ 【解解】 120 160160200 160 (120200) X PXP 404040 210.8 故 40 31.25 1.29 24.设随机变量 X 分布函数为 F（x）= e,0, (0), 00. x ABx ,x （1） 求常数 A，B； （2） 求 PX2，PX3； （3） 求分布密度 f（x）. 【解解】 （1）由 00 lim( )1 lim( )lim( ) x xx F x F xF x 得 1 1 A B （2） 2 (2)(2)1 eP XF 33 (3)1(3)1 (1 e)eP XF (3) e,0 ( )( ) 0,0 x x f xF x x 25.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）= ,01, 2,12, 0, xx xx 其他. 求 X 的分布函数 F（x） ，并画出 f（x）及 F（x）. 【解解】当 x0 时 F（x）=0 当 0x0 时 0 0 ( )( )de ded 22 xx xx F xf xxxx 1 1e 2 x 12 故其分布函数 1 1e,0 2 ( ) 1 e ,0 2 x x x F x x (2) 由 12 2 01 11 1( )ddd 22 b f xxbx xx x 得 b=1 即 X 的密度函数为 2 ,01 1 ( ),12 0, xx f xx x 其他 当 x0 时 F（x）=0 当 0x1 时 2 ( )()(21) Y FyP YyPXy 2 111 222 yyy P XPX (1)/2 (1)/2 ( )d y X y fxx 故 d1211 ( )( ) d4122 YYXX yy fyFyff yy (1)/4 121 e,1 212 y y y (3) (0)1P Y 当 y0 时( )()0 Y FyP Yy 当 y0 时( )(|)() Y FyPXyPyXy 15 ( )d y X y fxx 故 d ( )( )( )() d YYXX fyFyfyfy y 2/22 e,0 2 y y 31.设随机变量 XU（0,1） ，试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=2lnX 的分布函数及密度函数. 【解解】 （1） (01)1PX 故 (1ee)1 X PY 当1y 时( )()0 Y FyP Yy 当 1ye 时( )(e)(ln ) X Y FyPyP Xy ln 0 dln y xy 当 ye 时( )(e)1 X Y FyPy 即分布函数 0,1 ( )ln ,1e 1,e Y y Fyyy y 故 Y 的密度函数为 1 1e ,( ) 0, Y y yfy 其他 （2） 由 P（0X0 时，( )()( 2ln) Z FzP ZzPXz /2 (ln)(e) 2 z z PXP X / 2 1 /2 e d1 e z z x 16 即分布函数 - /2 0,0 ( ) 1-e, Z z z Fz z 0 故 Z 的密度函数为 /2 1 e,0 ( )2 0, z Z z fz z 0 32.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= 2 2 ,0, 0,. x x 其他 试求 Y=sinX 的密度函数. 【解解】(01)1PY 当 y0 时，( )()0 Y FyP Yy 当 0y1 时，( )()(sin) Y FyP YyPXy (0arcsin )(arcsin)PXyPyX arcsin 22 0 arcsin 22 dd y y xx xx 22 22 11 arcsin1arcsin yy -（）（） 2 arcsin y 当 y1 时，( )1 Y Fy 故 Y 的密度函数为 2 21 ,01 ( )1 0, Y y fyy 其他 33.设随机变量 X 的分布函数如下： .)3(,)2( ,) 1 (, 1 1 )( 2 x x x xF 试填上(1),(2),(3)项. 【解解】由lim( )1 x F x 知填 1。 17 由右连续性 + 0 0 lim( )()1 xx F xF x 知 0 0 x ，故为 0。 从而亦为 0。即 2 1 ,0 ( )1 1,0 x F xx x 34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现 6 点为止，求抛掷次数 X 的分布律. 【解解】设 Ai=第 i 枚骰子出现 6 点。 （i=1,2）,P(Ai)= 1 6 .且 A1与 A2相互独立。再设 C=每次 抛掷出现 6 点。则 121212 ( )()()()() ()P CP AAP AP AP A P A 111111 666636 故抛掷次数 X 服从参数为 11 36 的几何分布。 35.随机数字序列要多长才能使数字 0 至少出现一次的概率不小于 0.9? 【解解】令 X 为 0 出现的次数，设数字序列中要包含 n 个数字，则 Xb(n,0.1) 00 (1)1(0)1 C (0.1) (0.9)0.9 n n P XP X 即 (0.9)0.1 n 得 n22 即随机数字序列至少要有 22 个数字。 36.已知 F（x）= . 2 1 , 1 , 2 1 0, 2 1 , 0, 0 x xx x 则 F（x）是（ ）随机变量的分布函数. （A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型. 【解解】因为 F（x）在（,+）上单调不减右连续，且lim( )0 x F x lim( )1 x F x ,所以 F（x）是一个分布函数。 但是 F（x）在 x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故 F（x）是非连续亦非离散型随 机变量的分布函数。选（C） 37.设在区间a,b上，随机变量 X 的密度函数为 f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，则区间 a,b 18 等于（ ） (A) 0,/2; (B) 0,; (C) /2,0; (D) 0, 2 3 . 【解解】在 0, 2 上 sinx0，且 /2 0 sin d1x x .故 f(x)是密度函数。 在0,上 0 sin d21x x .故 f(x)不是密度函数。 在 ,0 2 上sin0 x ，故 f(x)不是密度函数。 在 3 0, 2 上，当 3 2 x时，sinx0）=1，故 01e2X1，即 P（0Y1）=1 当 y0 时，FY（y）=0 当 y1 时，FY（y）=1 当 0y1 时， 2 ( )()(e1) x Y FyP YyPy 1ln(1 ) 2 2 0 1 (ln(1) 2 2ed y x P Xy xy 即 Y 的密度函数为 1,01 ( ) 0, Y y fy 其他 即 YU（0，1） 41.设随机变量 X 的密度函数为 20 f(x)= ., 0 , 63, 9 2 , 10, 3 1 其他 x x 若 k 使得 PXk=2/3，求 k 的取值范围. (2000 研考) 【解解】由 P（Xk）= 2 3 知 P（Xk）= 1 3 若 k0,P(Xk)=0 若 0k1,P(Xk)= 0 11 d 333 k k x 当 k=1 时 P（Xk）= 1 3 若 1k3 时 P（Xk）= 1 01 11 d0d 33 k xx 若 3k6，则 P（X6,则 P（Xk）=1 故只有当 1k3 时满足 P（Xk）= 2 3 . 42.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= . 3 , 1 , 31, 8 . 0 , 11, 4 . 0 , 1, 0 x x x x 求 X 的概率分布. （1991 研考） 【解解】由离散型随机变量 X 分布律与分布函数之间的关系，可知 X 的概率分布为 X 1 1 3 P 0.4 0.4 0.2 43.设三次独立试验中， 事件 A 出现的概率相等.若已知 A 至少出现一次的概率为 19/27， 求 A 在一次试验中出现的概率. 【解解】令 X 为三次独立试验中 A 出现的次数，若设 P（A）=p,则 Xb(3,p) 由 P（X1）= 19 27 知 P（X=0）=（1p）3= 8 27 故 p= 1 3 44.若随机变量 X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程 y2+Xy+1=0 有实根的概率是多少？ 【解解】 21 1 ,16 ( )5 0, x f x 其他 2 4 (40)(2)(2)(2) 5 P XP XP XP X 45.若随机变量 XN（2，2） ，且 P2X4=0.3，则 PX0= . 【解解】 22242 0.3(24)() X PXP 22 ()(0)()0.5 故 2 ()0.8 因此 2022 (0)()() X P XP 2 1()0.2 46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率 0.7 可以直接出厂；以概率 0.3 需进一步调试，经调 试后以概率 0.8 可以出厂，以概率 0.2 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了 n(n2) 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率； （2） 其中恰好有两台不能出厂的概率； （3）其中至少有两台不能出厂的概率. 【解解】设 A=需进一步调试，B=仪器能出厂，则 A=能直接出厂，AB=经调试后能出厂 由题意知 B=AAB，且 ( )0.3,(|)0.8 ()( ) (|)0.3 0.80.24 ( )( )()0.70.240.94 P AP B A P ABP A P B A P BP AP AB 令 X 为新生产的 n 台仪器中能出厂的台数，则 X6（n，0.94）, 故 222 ()(0.94) (2)C (0.94)(0.06) (2)1(1)() n n n P Xn P Xn P XnP XnP Xn 1 1(0.94)0.06(0.94) nn n 47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率. 【解解】设 X 为考生的外语成绩，则 XN（72，2） 22 72967224 0.023(96)1() X P XP 故 24 ()0.977 查表知 24 2 ,即=12 从而 XN（72，122） 故 6072728472 (6084) 121212 X PXP (1)( 1)2 (1) 1 0.682 48.在电源电压不超过 200V、200V240V 和超过 240V 三种情形下，某种电子元件损坏的概 率分别为 0.1，0.001 和 0.2（假设电源电压 X 服从正态分布 N（220，252） ）.试求： （1） 该电子元件损坏的概率; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在 200240V 的概率 【解解】设 A1=电压不超过 200V，A2=电压在 200240V， A3=电压超过 240V，B=元件损坏。 由 XN（220，252）知 1 ()(200)P AP X 220200220 2525 ( 0.8)1(0.8)0.212 X P 2 ()(200240)P APX 200220220240220 252525 (0.8)( 0.8)0.576 X P 3 ()(240)1 0.2120.5760.212P AP X 由全概率公式有 3 1 ( )() (|)0.0642 ii i P BP A P B A 由贝叶斯公式有 22 2 () (|) (|)0.009 ( ) P A P B A P AB P B 49.设随机变量 X 在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量 Y=e2X的概率密度 fY(