沪科版七年级数学下册_8.4_因式分解--提公因式法

8.4因式分解提公因式法,小学学过整数的因数分解,6=32,30=235,分解质因数就是为了进行分数的运算,类似，在整式中也可以把一个多项式化成几个因式乘积的形式，例如,a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,a2-b2=(a+b)(a-b),na+nb+nc=n(a+b+c),运用前面所学的知识填空：,把下列多项式写成乘积的形式,(1)ma+mb+mc=()()(2)x2-1=()()(3)a2+2ab+b2=()2,(1)m(a+b+c)=(2)(x+1)(x-1)=(3)(a+b)2=,ma+mb+mc,x2-1,a2+2ab+b2,ma+b+c,x+1x-1,a+b,把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.,X2-1(x+1)(x-1),因式分解,整式乘法,X2-1=(x+1)(x-1),等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积,否,否,是,A层练习下列代数式的变形当中哪些是因式分解，哪些不是？(43=12)(1)3a2+6a=3a(a+2)(2)(2y+1)(2y-1)=4y2-1(3)18a3bc=3a2b6ac,sure?,sure?,sure?,基本概念,初步应用巩固新知,1.提公因式法,它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的,ma+mb+mc,公因式,提公因式法,ma,mb,mc,m,a,m,b,m,c,m,由m(a+b+c)=ma+mb+mc可得:,ma+mb+mc=m(a+b+c),这样就把ma+mb+mc,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做.,多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.,相同因式m,这个多项式有什么特点？,例1:找3x26xy的公因式.,系数：最大公约数.,3,字母：相同的字母,x,所以，公因式是.,指数：相同字母的最低次幂,1,x,3,1,正确找出多项式各项公因式的关键是：,1、定系数：,公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.,2、定字母：,字母取多项式各项中都含有的相同的字母.,3、定指数：,相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.,找一找:下列各多项式的公因式是什么？,（3）,（a）,（a2）,（2(m+n)）,（3mn）,（-2xy）,(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a2-a3(4)4(m+n)2+2(m+n)(5)9m2n-6mn(6)-6x2y-8xy2,如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.,(a+b+c),ma+mb+mc,m,=,(1)8a3b2+12ab3c,例2:把下列各式分解因式,分析：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.,(2)2a(b+c)-3(b+c),注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式,整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.,(1)8a3b2+12ab3c,8a3b2,分析：,+12ab3c,两项,系数最大公约数是4,相同字母为a,相同字母b取b2,所以公因式为4ab2,解：,8a3b2+12ab3c,4ab2,=,2a2,+,4ab2,3bc,=,4ab2,(,2a2,+,3bc,),(2)2a(b+c)-3(b+c),分析：,2a(b+c),-3(b+c),两项,把(a+b)看成一个整体作为公因式,解：,2a(b+c)-3(b+c),=,(b+c),2a,-,(b+c),3,=,(b+c),(),2a,-,3,例1:把下列各式分解因式,(1)4m2-8mn,(2)3ax2-6axy+3a,分析：,(1)4m2-8mn,4m2,中由两项：,-8mn,公因式；,(1)系数为,4,(2)字母为,m,公因式；4m,解：,(1)4m2-8mn,=,=,4m,m,-,4m,n,n,-,m,4m,(),(2)3ax2-6axy+3a,分析：,(2)3ax2-6axy+3a,中由三项：,3ax2,-6axy,+3a,公因式；,(1)系数为,3,(2)字母为,a,公因式；3a,解：,(2)3ax2-6axy+3a,=,3a,3a,3a,x2,-,2xy,+,1,=,3a,(),x2,2xy,1,+,-,例3:把下列各式分解因式,(1)2x(b+c)-3y(b+c),(2)3n(x-2)+(2-x),解：,(1)2x(b+c)-3y(b+c),=,2x,-3y,(b+c),(b+c),(,),(2)3n(x-2)+(2-x),解：,=,3n(x-2),-(x-2),+(2-x),(x-2),(x-2),=,3n,(,-,1,),(b-a)2=(a-b)2,(b-a)=-(a-b),(b-a)3=-(a-b)3,(b-a)4=(a-b)4,例:把下列各式分解因式,(1)-x3y-x2y2+xy,分解因式时如果第一项是负号应该先提符号,-xy,公因式是；,解：,-x3y-x2y2+xy,=,-xy,-xy,-xy,x2,xy,(-1),=,-xy,-xy,-xy,(,),x2,+xy,-1,小明解的有误吗？,错误,注意：公因式要提尽.,诊断,正确解：原式=6xy(2x+3y),小亮解的有误吗？,当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.,错误,注意：某项提出莫漏1.,正确解：原式=3xx-6yx+1x=x(3x-6y+1),小华解的有误吗？,提出负号时括号里的项没变号,错误,诊断,注意：首项有负常提负.,正确解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z),A层练习将下列各式分解因式：(45=20)-a-ab；m-n；x+2xy+y(4)3am-3an；(5)3x+6xy+3xy,基本方法,=-a(a+b),=(m+n)(m-n),=(x+y),=3a(m+n)(m-n),=3x(x+y),例3:把12b(a-b)218(b-a)2分解因式,解：12b(a-b)218(b-a)3=12b(a-b)2+18(a-b)3=6(a-b)22b+3(a-b)=6(a-b)2(2b+3a-3b)=6(a-b)2(3a-b),练习：(x-y)2+y(y-x),(1)13.80.125+86.21/8,(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.,解：原式=13.80.125+86.20.125=0.125(13.8+86.2)=0.125100=12.5,解