离散数学考试试题(A、B卷及答案)

离散数学考试试题(A卷及答案）一、证明题（10分）1) (PQAC)(APQC) (A(PQ)C。PQ=(p-Q)合取（Q-p）证明: (PQAC)(APQC)(PQAC)(APQC)(PQA)(APQ)C反用分配律(PQA)(APQ)C( A(PQ)(PQ)C再反用分配律( A(PQ)C(A(PQ)C2) (PQ) PQ。证明：(PQ)(PQ)(PQ)PQ。2、 分别用真值表法和公式法求(P(QR)(P(QR)的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。主析取范式可由 析取范式经等值演算法算得。证明：公式法：因为(P(QR)(P(QR)(PQR)(P(QR)(QR)(PQR)(PQ)(PR)(QR)分配律(PQR)(PQQ)(PQR)(PRQ)(PRR)(PQR)(PQR)(PQR)使（非P析取Q析取R）为0所赋真值，即100，二进制为4所以，公式(P(QR)(P(QR)为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。真值表法：P Q RQRP(QR)P(QR)(P(QR)(P(QR)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 110011001111101111111100111110001由真值表可知，公式(P(QR)(P(QR)为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。三、推理证明题（10分）1）PQ，QR，RSPS。证明：(1)P 附加前提(2)PQ P(3)Q T(1)(2)，I（析取三段论）(4)QR P(5)R T(3)(4)，I（析取三段论）(6)RS P(7)S T(5)(6)，I（假言推理）(8)PS CP2) x(P(x)Q(y)R(x)，$xP(x)Q(y)$x(P(x)R(x)证明（1）$xP(x)(2)P(a)(3)x(P(x)Q(y)R(x)(4)P(a)Q(y)R(a)(5)Q(y)R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)R(a)(10)$x(P(x)R(x)(11)Q(y)$x(P(x)R(x)五、已知A、B、C是三个集合，证明(AB)C(AC)(BC) （10分）证明：因为(AB)C(AB)C (AB)C(AB)C(AC)(BC)(AC)(BC)(AC)(BC)所以，(AB)C(AC)(BC)。八、证明整数集I上的模m同余关系R=|xy(mod m)是等价关系。其中，xy(mod m)的含义是x-y可以被m整除（15分）。X(modm)=y(modm)证明：1）xI，因为（x-x）/m=0，所以xx(mod m)，即xRx。2）x,yI，若xRy，则xy(mod m)，即（x-y）/m=kI，所以（y - x）/m=-kI，所以yx(mod m)，即yRx。3）x,y,zI，若xRy，yRz，则（x-y）/m=uI，（y-z）/m=vI，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v I，因此xRz。九、若f:AB和g:BC是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。证明：因为f、g是双射，所以gf：AC是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：CA。同理可推f-1g-1：CA是双射。因为f-1g-1存在z（g-1f-1）存在z（fg）gf（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。离散数学考试试题(B卷及答案）一、证明题（10分）1)(PQ)(P(QR)(PQ)(PR)T证明: 左端(PQ)(P(QR)(PQ)(PR)(摩根律) (PQ)(PQ)(PR)(PQ)(PR)(分配律) (PQ)(PR)(PQ)(PR) (等幂律) T(代入)2) xy(P(x)Q(y)($xP(x)yQ(y)证明：xy(P(x)Q(y)xy(P(x)Q(y)x(P(x)yQ(y)xP(x)yQ(y)$xP(x)yQ(y)($xP(x)yQ(y)二、求命题公式(PQ)(PQ) 的主析取范式和主合取范式（10分）解：(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ) (PPQ)(QPQ)(PQ)M1析取要使之为假，即赋真值001，即M1m0m2m3使之为真三、推理证明题（10分）1)(P(QS)(RP)QRS证明：(1)R(2)RPp(3)PT（1）（2）析取三段论(4)P(QS)p(5)QS T（3）（4）I假言推理(6)QP(7)ST（5）（6）I假言推理(8)RSCP2) $x(A(x)yB(y)，x(B(x)$yC(y)xA(x)$yC(y)。证明：(1)$x(A(x)yB(y) P (2)A(a)yB(y) T(1)ES(3)x(B(x)$yC(y) P(4)x(B(x)C() T(3)ES(5)B()C() T(4）US(6)A(a)B() T(2)US(7)A(a)C() T(5)(6)I假言三段论(8)xA(x)C() T(7)UG(9)xA(x)$yC(y) T(8)EG四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。解 ：设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)：e提前进入考场，个体域：考生的集合，则命题可符号化为：P$xA(x)，xA(x)QQP。(1)P$xA(x) P(2)PxA(x) T(1)E(3)xA(x)P T(2)E (4)xA(x)Q P(5)(xA(x)Q)(QxA(x) T(4)E(6)QxA(x) T(5)I(7)QP T(6)(3)I五、已知A、B、C是三个集合，证明A(BC)=(AB)(AC) （10分）证明：x A（BC） x Ax（BC） x A（xBxC）（ x AxB）（x AxC） x（AB）x AC x（AB）（AC）A（BC）=（AB）（AC）六、A= x1,x2,x3 ，B= y1,y2，R=,，求其关系矩阵及关系图（10分）。有就是1，没就是0七、设R=,，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R的关系图（15分）。r(R)=,（自反闭包）s(R)=,（对称闭包）t(R)=,（传递闭包）九、设f：AB，g：BC，h：CA，证明：如果hogofIA，fohogIB，gofohIC，则f、g、h均为双射，并求出f1、g1和h1（10分）。解 因IA恒等函数，由hogofIA可得f是单射，h是满射；因IB恒等函数，由fohogIB可得g是单射，f是满射；因IC恒等函数，由gofohIC可得h是单射，g是满射。从而f、g、h均为双射。由hogofIA，得f1hog；由fohogIB，得g1foh；由gofohIC，得h1gof。5. (12分)令X=x1,x2,.,xm,Y=y1,y2,.,yn,问:(1) 有多少不同的由X到Y的关系?(2) 有多少不同的由X到Y的影射?(3) 有多少不同的由X到Y的单射，双射?（12分）是个群，uG，定义G中的运算“D”为aDb=a*u-1*b，对任意a,bG，求证：也是个群。证明：1）a,bG，aDb=a*u-1*bG，运算是封闭的。2）a,b,cG，（aDb）D