第八章真空中静电场习题解答

大学物理习题解答 1 第九章第九章 真空中静电场真空中静电场 1、三个电量为q 的点电荷各放在边长为 r 的等边三角形的三个顶点上。电荷 Q (Q0)放在三角形的重心上，为使每个负电荷受力为零，Q 之值应为多大？ 解：利用矢量合成可得 230cos r4 q ) r 3 3 (4 Qq 2 0 2 2 0 = 所以 qQ 3 3 = 2、线电荷密度为的无限长均匀带电线，分别弯成如图(a)和(b)所示的两种形状， 若圆半径为 R，试求(a)、(b)图中 O 点的场强。 解： （a）设 A半无限直导线在 O 点产生场强 1 E r 同理 B半无限直导线在 O 点产生的场强 2 E r RR E RR E y x 0 12 0 2 0 21 0 2 4 )sin(sin 4 4 )cos(cos 4 = = AB 在 O 点产生场强为 3 E v RRR Rd dEE x 0 2 0 2 0 00 3 4 sin 4 cos 4 cos = 同理 R E y 0 3 4 = 3210 EEEE vrrr += RR E RR E y x 0 12 0 1 0 21 0 1 4 )sin(sin 4 4 )cos(cos 4 = = PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 大学物理习题解答 2 即 R EEEE xxxx 0 321 4 =+= R EEEE yyyy 0 321 4 =+= R4 2 EEE 0 2 y 2 x =+= r 1 E E tg x y = = 45 即与水平成 45 （b）设 A在 O 点产生的场强 1 E r ，B在 O 点产生的场强 2 E r ，AB 在 O 点产生 场强为 3 E v 。 3210 EEEE vrrr += 由于对称性 =0 33yy dEE = = 0 0 2 0 x33 R4 sin R4 Rd EE E1、E2在 x、y 方向大小相等，均为 R2 0 所以 0E0= r 3、有一细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，其 上半部均匀分布有电荷+Q，下半部均匀分布有 电荷- Q，如图示求半圆中心处的场强。 解：由于对称性，dE+、dE在 x 方向上的 分量抵消 0Ex= =Rddldq （ R Q2 = ） = = = = 2 0 22 0 0 y 0 2 0 R Q cos R d 4 2cosdE2E R4 d R Rd 4 dE 方向沿y 方向 4、一无限大的均匀带电平板，电荷密 E1 E2 x E3 y PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 大学物理习题解答 3 度为，在平板上挖去一个半径为的圆 孔，求通过圆孔中心并垂直于板的轴上一 点的场强。 解：取圆环元半径为，ddq2 0 = 则圆环元在轴线上产生 dE 公式 2 3 220 )( 4 1 x xdq dE p + = 2 1 22 0 0 R 2 3 22 0 0 R pp )xR(2 x )x(4 d2 dEE + = + = = 方向沿 x 轴方向 5、如图所示，在点电荷的电场中，取半径为的平面，在该平面的轴线上的 点处求通过此圆平面的电通量。 解：解法一以 A 为中心，r 为半径作一球面，则通过圆平面的电通量与通过以 圆平面为底的球冠电通量相等。 设球面积 2 0 4 rS=， 通量 0 0 q = 球冠面积 =通量为 ),cosrr ( r2S 2 cos1 4 )cos1 (2 2 2 00 = = r r S S 2 )cos1 ( ) 2 cos1 ( 0 0 = = q 解法二 + = R xdx hx q dsEsdE 0 22 0 2cos )(4 cos r v + = R xdx hx h hx q 0 212222 0 2 )()( 1 4 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 大学物理习题解答 4 + = R 0 2322 0 )hx( xdx 2 hq R hx hq 02122 0 )(2+ = =)cos1 ( 2 )( 1 2 0 2122 0 = + q hR hq 6、一半径为 R 的无限长直圆柱体，均匀带电，电荷体密度0，求场强分布；并 用 E- r 图表示随距离分布情况。 解：由高斯定理 0 = q sdE r v Rr = sdE r v 0 2h R rh2E = r2 R E 0 2 = Rr sdE r v 0 2h r rh2E = 0 2 r E = 7、一厚度为 d 的无限大平板，均匀带电，体电 荷密度为，求平板体内，外场强的分布，并以 其对称面为坐标原点作出 E- x 的分布曲线。 解：由高斯定理 x E 0 2 d 0 2 d - d/2 d/2 = 0 q sdE r r PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 大学物理习题解答 5 2 d x = sdE2 r r 0 2 dS SE2 = 0 2 2 d E = 8、半径为 R 的非金属球带有正电荷，电荷体密度随径向距离的变化满足=br， 其中 b 为常数，r 为离球心的距离，求球内，外场强的分布。 解：br=Q 成线性关系与r 由高斯定理 0 = q sdE r v 作同心球面为高斯面。 )(Rr 球外： 4 0 32 0 44Rbdrrbdrrbrbrdvq Rr = 由高斯定理 = sdE r v 外 0 4 2 4 Rb rE= 外 2 0 4 r4 bR E = 外 9、两个同心的均匀带电球面，半径分别为 R1=5.0cm，R2=20.0cm，已知内球面的 图 9- 7 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 大学物理习题解答 6 电势为 U1=60v，外球面的电势 U2=- 30v求： (1)内，外球面上所带电量。 (2)在两个球面之间何处的电势为零。 解：V RR q dr r q U R R RR 90)30(60) 11 ( 44 210 1 2 0 1 2 1 21 = C1067. 6q 10 1 = 又 V R q R q UR60 44 20 2 10 1 1 =+= Cq 9 2 1033 . 1 = 令 r 处 U（r）=0 即0 44 20 2 0 1 =+ R q r q r=0.10m=10.0cm 10、电荷 Q 均匀地分布在半径为 R 的球体内，试证明离球心 r(rR)处的电动势为 () 3 0 22 8 3 R rRQ U = 解：先由高斯定理分别求出球内、球外 E Rr 2 0 2 4r Q E = =+= R 2 R r 1 r ldEldEldEU rrrrrr () 3 0 22 R8 rR3Q 11、一均匀带电细杆，长为l =15.0cm，.电荷线密度=2010 7 ./ C m求: (1)细杆延长线上与杆的一端相距 a=5.0cm处的电势。 (2)细杆中垂线上与细杆相距 b=5.0cm处的电势。 解： （1） ) 2 (4) 2 (4 00 xa l dx xa l dq du + = + = PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 大学物理习题解答 7 = + = 2 2 3 0 105 . 2 ) 2 4 l l V xa l dx u （ （2） 22 0 4bx dx du + = = + = 2 2 3 22 0 103 . 4 4 l l V bx dx u 12、半径为 R 的无限长圆柱体中，电荷按体密度分布，分别以(1)轴线处为零电 位位置；(2)圆柱体表面为零电位位置。求圆柱体内、外的电位。 解：场强分布 Rr 0 2 2 lR rlE= r R E 0 2 2 = （1）Rr + =+= R rR R rR l d E l d Eu 0 0 2 ) 1 (ln 4 vvvv （2）Rr = R r R rR Edruln 2 0 2 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 大学物理习题解答 8 13、如图所示， AB=2l，弧 OCD 是以 B 为 中心，l为半径的半圆。A 点有点电荷+q，B 点有点电荷- q。 (1)把单位正电荷从 O 点沿弧 OCD 移到 D 点，电场力作了多少功? (2)若把单位负电荷从 D 点沿 AB 的延长线移到无穷远处，电场力作功 又为多少? 解： （1） )UU(A D01 = L6 q )UU(A2 L6 q ) L6 q 0(A L6 q L4 q L34 q U 0 L4 q L4 q U 0 02 00 1 000 D 00 0 = = = = = = + = ） Q 14、在静电透镜实验装置中，有一均匀带电的圆环，内半径为 R1，外半径为 R2， 其电荷面密度为(负电)，现有一电子沿着轴线从无限远射向带负电的圆环， 欲使电子能穿过圆环，它的初始动能至少要多大? 解：设电子在无穷远处初动能为 Ex 0 点电子动能为零 )( 2 )( 2 4 2 4 )( 12 0 0 12 0 00 0 0 2 1 RR e eUE RR r rdrdq U EEUUeA K R R r KK = = = = Q 15、一电偶极子原来与均匀电场平行，将它转到与电场反平行时，外力作功为 A， 则当此电偶极子与场强成 45角时，此电偶极子所受的力矩为多少? 解： = 0 2sinPEdPEMdAQ 4 A2 2 2 2 A 45sinPEM= 16、如图所示，三块互相平行的均匀带电大平面，电荷密度为1=1.210 -4C/m2， 2=0.210 -4C/m2， 3=1.110 -4C/m2，A 点与平面 II 相距为 5.0cm，B 点与平面 II 相距 7.0cm，求: PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 大学物理习题解答 9 (1)A，B 两点的电势差； (2)把电量 q0=- 1.010 -8C 的点电荷从 A 点移到 B 点，外力克服电场力作功多 少? 解： （1） 0 3 0 3 0 2 0 1 321 2 10 222 =EEEEA V101 . 9 1085 . 8 2 1016 2 1016 107 2 103 105 2 10 dEdEUU 2 103 EEEE 4 12 7 0 7 2 0 3 2 0 3 221ABA 0 3 321B = = = + =+= =+= （2） J101 . 9101 . 9100 . 1)UU(qWAA 0AA 4