第一单元数与式

1,第一单元数与式,第1课时实数的有关概念第2课时实数的大小比较及运算第3课时整式及因式分解（含代数式）第4课时分式第5课时二次根式,第一单元数与式,2,第1课时实数的有关概念,中考考点清单常考类型剖析,第一单元数与式,3,中考考点清单考点1实数的相关概念考点2实数及其分类考点3科学记数法考点4平方根、算术平方根和立方根,第一单元数与式,4,常考类型剖析类型一实数的相关概念类型二科学记数法类型三无理数、负数的识别,第一单元数与式,正负数及其意义,（1）正负数的概念:大于0的数就是正数,在正数面加“-”号的数叫负数,如1,1.5是正数,-,-0.618,是负数,考点1实数的相关概念（高频考点）,第一单元数与式,温馨提示,第一单元数与式,(2)正负数的意义:正负数可用于表示具有相反意义的量.例如:若把向东走3km,记作“+3km”,那么向西走2km可记作“-2km”.,一般地,常用来表示具有相反意义的量有:“收入”与“支出”,“升高”与“降低”,“零上”与“零下”,“前进”与“后退”,“海平面以上”与“海平面以下”等.,第一单元数与式,.数轴,规定了、和单位长度的直线叫做数轴.任何实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示,即实数与数轴上的点是一一对应的.,原点,正方向,3.相反数,(1)如果两个数只有不同,那么其中一个数叫做另一个数的相反数.如与-2互为相反数,-3的相反数是3,符号,第一单元数与式,(2)一般地,a的相反数是-a,特别地,0的相反数是0;如-2014的相反数是2014;(3)若a,b互为相反数,则a+b=0;(4)在数轴上,表示互为相反数(0除外)的两个点,位于原点两侧,并且到原点的距离相等.,第一单元数与式,温馨提示,第一单元数与式,4.绝对值,(1)概念:一般地,数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作.,|a|,(2)性质:,-a,第一单元数与式,即正数的绝对值是它,零的绝对值是零,负数的绝对值是它的;互为相反数的两个数的绝对值.具有非负性,即.如的绝对值是,|2|=.,本身,相反数,相等,2,第一单元数与式,【方法指导】(1)若绝对值中带有计算的先计算，再求绝对值,如(2)若|a|中a为两数之差,需先比较两数大小,保证|a|去掉绝对值号后结果为非负数,如=.,1,第一单元数与式,5.倒数:实数a（a0）的倒数为,特别地,0没有倒数,倒数是其本身的数是或-.,【归纳总结】(1)若a、b互为倒数,则；(2)一个数或颠倒分子、分母的位置得到的数或是原数的倒数.如的倒数是-4的倒数是的倒数是-2014.,第一单元数与式,6.无理数(1)概念:无限不循环小数叫做无理数(2)常见的几种无理数:根号型:等开方开不尽的数；某些三角函数:，等（但，等不是无理数）;构造型:如0.1010010001（每两个之间零的个数依次加）;及某些含的数:，等,第一单元数与式,返回目录,试题链接,考点2实数及其分类,.实数有理数和无理数统称为实数,2.实数的分类（1）按定义分类,第一单元数与式,(2)按正负分类实数可分为正实数，零和负实数，其中正实数和零统称为非负数,第一单元数与式,返回目录,考点3科学记数法（高频考点）,科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是整数位数只有一位的数（即，）这种记数法叫做科学记数法例如：1320000用科学记数法表示为；15.2万用科学记数法可表示为；0.0032用科学记数法表示为.,第一单元数与式,【方法指导】用科学记数法表示一个数时,关键是确定a和n的值,其中1|a|10,(1)当原数的绝对值大于或等于10时,n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1;(2)当原数的绝对值大于且0小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(小数点前的零);(3)含有计数单位(如:亿、万、千)的数用科学记数法表示时,若需转化单位，则先把计数单位转化为数字表示,再用科学记数法表示,其中亿、万、千的进制分别为,第一单元数与式,近似数和有效数字(1)近似数:一个与实际数很接近的数(2)有效数字:一个近似数到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位;这时从左边数第一个不是零的数字起,到精确到的数位为止,所有的数字都是这个近似数的有效数字.对于用科学记数法表示的数,规定它的有效数字就是a中的.,四舍五入,有效数字,第一单元数与式,返回目录,试题链接,平方根、算术平方根若,则是的一个平方根,记作,我们把的正平方根叫做的算术平方根.一个正数有两个平方根,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.如9的平方根为.,考点4平方根、算术平方根和立方根,立方根若,则称为的立方根,记为.正数有一个正的立方根;负数有一个负的立方根;0的立方根是0.如8的立方根为2,-64的立方根为-4.,第一单元数与式,非负数(1)在开立方运算中，被开方数为任意实数；(2)1.定义：0和所有的正数统称为非负数初中所学的三种非负数形式有2.性质：(1)所有非负数均大于0或等于0;(2)几个非负数的和为0，则这几个非负数各自为0.如则即解得,【温馨提示】(1)在开立方运算中，被开方数为任意实数；(2),第一单元数与式,返回目录,类型一实数的有关概念,例1（13青岛改编）的相反数是（）,A.-6B.6C.D.,【点评与拓展】掌握相反数的定义是求解此类问题的常用方法一般地，求一个数的相反数可直接在所给数字前加一个“负号”，再运算得出结果.,【解析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可知的相反数是.,D,第一单元数与式,变式题（13昭通）4的绝对值是（）A.B.C.4D.-4,【解析】,变式题2（14原创)2014的倒数是（）,A.2014B.C.2014D.,【解析】2014的倒数是,C,B,第一单元数与式,返回考点,类型二科学记数法（重点）,例2(13常德)打开百度搜索栏,输入“数学学习法”,百度为你找到的相关信息有12000000条,请用科学记数法表示12000000.,【解析】科学记数法的表示形式为其中n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值大于0且小于1时，n是负数.,第一单元数与式,【点评与拓展】将一个大数用科学记数法表示为形式时,关键是确定a和n的值,n为正整数,其值等于原数的整数位数减去.在做这类题的选择题时,可先用排除不合适选项,再用原数整数位数减确定n的值.,第一单元数与式,变式题3(13自贡)在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米.194亿用科学记数法表示为（）A.B.C.D.,A,第一单元数与式,返回考点,类型三无理数、负数的识别,【解析】2、3.14、都是有理数,故A、B、C选项错误;是无理数,故D选项正确.,例3(13常州)在下列实数中,无理数是()A.2B.3.14C.D.,【方法指导】识别无理数的关键是正确理解无理数的概念.熟悉常见的几种无理数形式,可参见本课时考点1中无理数的讲解.,D,第一单元数与式,变式题(13桂林)下面各数是负数的是()A.0B.-2013C.D.,【解析】、0既不是正数,也不是负数;、-2013是负数;C、是正数,D、是正数.,B,第一单元数与式,返回考点,30,第2课时实数的大小比较及运算,中考考点清单常考类型剖析,第一单元数与式,中考考点清单考点1实数运算考点2实数的大小比较,第一单元数与式,常考类型剖析类型一实数的运算类型二实数的大小比较,第一单元数与式,考点1实数的运算,四则运算的法则(1)加法：同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.异号两数相加,绝对值相等时和为0；绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.一个数同相加,仍得这个数.(2)减法:减去一个数等于加上这个数的.(3)乘法:两数相乘,同号得,异号得,再将两数的绝对值相乘.(4)除法:除以一个不为的数,等于乘以这个数.,相反数,正,负,倒数,第一单元数与式,2.常见实数运算类型及法则,，,.,1,1,第一单元数与式,，,.,-1,1,第一单元数与式,3.实数运算步骤步骤一:将实数混合运算中所涉及的每一小项的值计算出来,一般包含零次幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根等运算,对于其他运算符号保持不变步骤二:按照实数混合运算顺序计算,具体操作如下:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行步骤三:得出最终结果.,第一单元数与式,考点2实数的大小比较,.数轴比较法:数轴上的两个数右边的数总比左边的数大.性质比较法:正数大于和一切负数，负数小于;两个负数比较大小,绝对值大的数反而小.如.作差比较法:(1)a-b0ab;(2)a-bab;(3)a-b=a=b.4.平方比较法:,第一单元数与式,【方法指导】在一组既有正数、0,又有负数的数字中,若求最大数,直接从正数中找,若求最小数,直接从负数中根据负数的大小比较法则找.,第一单元数与式,类型一实数的运算（重点）,【思路点拨】根据去绝对值法则和负整数指数幂以及零指数幂的运算法则化简，再由特殊角的锐角三角函数计算即可,解：原式=,例1（14原创）计算：,第一单元数与式,【解题模板】,第一单元数与式,变式题1（13湘西州）计算:,解：原式=,第一单元数与式,类型二实数的大小比较,例2（13宜宾）下列各数中,最小的数是()A.2B.-3C.D.0,【解析】由正数负数知，要在2,-3,0中找最小的数,只需在-3与中找即可,再由两个负数比较大小,绝对值大的反而小可得结果.,即-3最小.,B,第一单元数与式,【点评与拓展】解答此类问题,关键是正确掌握比较两数大小的法则.也可利用数轴比较有理数的大小,法则是在数轴上的数右边的总比左边的大.变式题2（13钦州）比较大小-12（填“”或“”）.【解析】负数都小于正数，,第一单元数与式,44,中考考点清单常考类型剖析,第课时整式及因式分解（含代数式）,第一单元数与式,中考考点清单,考点1代数式及其求值考点2整式的相关概念考点3整式的运算考点4因式分解,第一单元数与式,常考类型剖析类型一代数式求值类型二整式的运算类型三整式化简求值类型四因式分解,第一单元数与式,考点1代数式及其求值,1.代数式:把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫代数式2.列代数式:用含有数、字母及运算符号的式子把问题中的数量关系表示出来,就是列代数式.,第一单元数与式,3.代数式求值(1)一般地，用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出结果,叫代数式求值.(2)常用代数式求值的方法:直接代入求值法、整体代入求值法.如:直接代入法:若则代数式的值为整体代入法:已知ab=,a-b=,则的值为.,5,6,第一单元数与式,考点整式的相关概念,1单项式:字母与字母或数字与字母的叫做单项式.一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数;单独的一个数或一个字母单项式,如:2a是单项式，a单项式(填“是”或“不是”).2多项式:几个的和叫做多项式.组成多项式的每个单项式叫做多项式的项,多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数,如:代数式是次项式3整式:和统称为整式,积,是,是,单项式,五,三,单项式,多项式,第一单元数与式,1.整式的加减运算(1)同类项:所含相同,并且的指数也相同的项叫做同类项;所有常数项都是同类项.(2)合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项;合并同类项时,把相加,所含字母和字母的指数不变.如(3)整式加减法的运算法则:先去括号,再合并同类项.,考点3整式的运算,字母,相同字母,系数,第一单元数与式,【温馨提示】去括号法则:(1)括号前是“”号,把括号去掉时,原括号里各项的符号都不变;(2)括号前是“”号,把括号和它前面的“”号去掉,原括号里各项符号都要改变.,第一单元数与式,2.幂的运算(a0，m，n都是整数),第一单元数与式,3.整式的乘法运算,第一单元数与式,4.整式的除法运算,第一单元数与式,5.整式混合运算及求值的一般解题步骤,第1步:运算各项乘除法.利用整式乘除法法则（单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式等）及乘法公式（平方差公式:,完全平方公式:将每一项乘法展开,并给每项运算加上括号.第2步:去括号.根据括号前的符号情况,若括号前为“”，则去括号时各项不变号;若括号前为“”,则去括号时各项要改变符号,第一单元数与式,第3步:找出同类项并合并.将算式中同类项连同其前面的符号放在一起,并用括号括起来,再用合并同类项法则进行合并.第4步:得出运算结果.整式化简的最后结果是算式中各项都是单项式加法的形式,且不存在同类项.第5步:代值计算.将所给值代入整式化简的结果中,并按照运算法则计算数值.其实质是实数运算.,第一单元数与式,考点4因式分解,1.把一个多项式化成几个整式的的形式,像这样的式子变形,叫做把这个多项式因式分解;因式分解与整式乘法互为逆运算.2.基本方法(1)提公因式法:.,积,第一单元数与式,（2）公式法,第一单元数与式,3.一般步骤（1）如果多项式各项有公因式,应先提取公因式;（2）如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法:为两项时,考虑平方差公式;为三项时,考虑完全平方公式;为四项时,考虑利用分组的方法进行分解;（3）检查分解因式是否彻底,必须分解到每一个多项式都不能再分解为止以上步骤可以概括为“一提二套三检查”,中考考点清单,类型一代数式求值,例1（13吉林）若则.,【解析】,1,第一单元数与式,【点评与拓展】解决此类问题,一般注意有三种形式:所给代数式已是最简形式,直接代入数字求值即可;所给代数式通过变形后有的部分与已知代数式相同,可考虑用整体代入法;所求代数式虽复杂,但可进行因式分解、合并同类项等,先化简代数式,再代入求值,第一单元数与式,变式题1（13河北）若，则()A.3B.-3C.5D.-5,【解析】将代入得,A,第一单元数与式,类型二整式的运算,例2（13安徽）下列运算正确的是（）,A.B.C.D.,【解析】A.无法计算,故此选项错误；B.,故此选项正确;C.，故此选项错误；D.，故此选项错误.,C,第一单元数与式,【点评与拓展】掌握合并同类项、幂的运算、乘法公式是解决此类问题的关键，一般是运用法则对每个选项逐个判断并加以排除，直至选出正确项为止.,第一单元数与式,变式题2（13沈阳）下面计算一定正确的是（）A.B.C.D.,【解析】A.,故本选项错误;B.,故本选项错误；C.，故本选项正确；D.,故本选项错误.,C,第一单元数与式,类型三整式化简及求值,例3（14原创）先化简,再求值：其中.,【思路点拨】先去括号，再合并同类项，将整式化为最简式，然后把的值代入即可,第一单元数与式,解：原式=当时，原式=【点评与拓展】此类问题应先利用整式混合运算的法则对所给代数式进行化简，注意去括号法则的应用，最后代入字母的值求解.,第一单元数与式,变式题3（14原创）先化简，再求值：，其中.,解：,第一单元数与式,类型四因式分解,例4（13烟台）分解因式：.,【解析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解，,第一单元数与式,【点评与拓展】对于分解因式问题,首先观察所给代数式有无公因式,有公因式则先提公因式,再看是否能用公式,一般两项可考虑用平方差公式,三项考虑用完全平方公式.最后检验是否分解彻底.注意因式分解的结果一定是几个因式乘积的形式.,第一单元数与式,变式题4（13山西）因式分解：.,【解析】,第一单元数与式,72,中考考点清单常考类型剖析,第4课时分式,第一单元数与式,中考考点清单,考点1分式的概念及性质考点2分式的运算,第一单元数与式,常考类型剖析类型一分式化简类型二分式化简求值,第一单元数与式,考点1分式的概念及其性质,1.分式的概念:形如(A、B是整式,B中含有字母,且B0)的式子叫做分式.,【温馨提示】(1)分式有意义:在分式中,当分母B0时,分式有意义;(2)分式无意义:在分式中,当分母B=0时,分式无意义;(3)分式的值为零:分式的值为零的条件是分子且分母.,第一单元数与式,分式的性质(1)分式的基本性质：（A、B、M是整式,且）.,(2)约分：把分式的分子与分母的约去，这样的分式变形叫做分式的约分最简分式：分子、分母无公因式的分式.,公因式,第一单元数与式,【温馨提示】约分的关键是找最大公因式，确定最大公因式的方法：（1）确定系数：求各个系数的最大公约数；（2）确定因式（如果分母是多项式，要先因式分解）：选择所有因式中出现的相同因式；（3）确定指数：选择相同因式中指数最低的次数,第一单元数与式,（3）通分：把几个异分母的分式化成与原来分式相等的同分母分式（4）：通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母.,【温馨提示】通分的关键是找最简公分母,取最简公分母的方法:系数应当是各个分母的系数的最小公倍数,字母和式子应当取各个分母的所有字母和式子,每个字母或式子的指数应当取各分母中次数最高的,最简公分母,第一单元数与式,考点2分式的运算,_,_,_,1,_,第一单元数与式,_,第一单元数与式,2.分式化简求值题的一般步骤,第一步：若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉简称：去括号；第二步：若有除法运算的，将分式中除号（）后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“”变为“”，保证几个分式之间除了“、”就只有“或”，简称：除法变乘法；,第一单元数与式,第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解、约分来计算乘法运算；第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算直到化为最简形式；第五步：将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义.,第一单元数与式,类型一分式化简,例1（13咸宁）化简的结果为.,【解析】原式=,第一单元数与式,变式题1（13郴州）化简的结果为（）A.-1B.1C.D.,B,第一单元数与式,返回,类型二分式化简求值,例2(13永州)先化简,再求值:其中【思路分析】先将括号内的第一项约分，再进行同分母分式的加法运算，再将除法转化为乘法，进行化简，最后将代入化简后的式子计算即可,第一单元数与式,返回,变式题2（14原创）先化简，再把取一个你喜欢的数代入求值：,第一单元数与式,第一单元数与式,88,第5课时二次根式,中考考点清单常考类型剖析,第一单元数与式,中考考点清单考点1二次根式及其性质考点2二次根式的运算及估值,返回目录,第一单元数与式,返回目录,常考类型剖析类型一二次根式有意义的条类型二二次根式的运算,第一单元数与式,考点1二次根式及其性质,1.二次根式：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式2.二次根式有意义的条件：被开方数使有意义的条件为：a，即a.3.二次根式的性质：（1）（a）；如：（2）（a）；如：（3）（a，）；如：,大于等于0,第一单元数与式,（4）（a，）；如：,考点2二次根式的运算及估值,最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下两个条件：