第四节　指数函数

第四节指数函数,【知识梳理】1.根式(1)根式的概念若_,则x叫做a的n次方根,其中n1且nN*.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.,xn=a,a的n次方根的表示:xn=ax=,(当n为奇数且nN*时),_(当n为偶数且nN*时).,(2)根式的性质()n=a(nN*).,a,a0,-a,a0,m,nN*,且n1);负分数指数幂:=_=(a0,m,nN*,且n1);0的正分数指数幂等于_,0的负分数指数幂_.,0,无意义,(2)有理数指数幂的运算性质:aras=_(a0,r,sQ);(ar)s=_(a0,r,sQ);(ab)r=_(a0,b0,rQ).,ar+s,ars,arbr,3.指数函数的图象及性质,上方,(0,1),R,(0,+),减,增,y=1,y1,0y1,00,且a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为cd1ab.由此我们可得到以下规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.,【小题快练】链接教材练一练1.(必修1P56例6改编)若函数f(x)=ax(a0,且a1)的图象经过点A(),则f(-1)=.,【解析】依题意可知a2=,解得a=所以f(x)=()x,所以f(-1)=()-1=答案:,2.(必修1P60B组T1改编)若函数y=(a2-1)x在R上为增函数,则实数a的取值范围是.【解析】由y=(a2-1)x在(-,+)上为增函数,得a2-11,解得a或a或a0,且1bxax,则下列不等式正确的是()A.0ba1B.0ab1C.1baD.1bx1,所以a1,b1,又因为axbx,所以ab,所以1b0且a1)的图象一定过定点()A.(0,1)B.(1,1)C.(1,0)D.(0,0)【解析】选B.令x-1=0,则x=1,f(1)=a0=1,所以过定点(1,1).,5.(2016菏泽模拟)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为()A.0B.C.1D.【解析】选D.由题意知3a=9,所以a=2,所以,考向一指数幂的化简与求值【典例1】(1)化简:(x0,y0)=_.(2)计算:+0.002-10(-2)-1+0.,【解题导引】(1)将根式化为分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行计算.(2)将负分数指数幂化为正分数指数幂,然后利用幂的运算性质进行计算.,【规范解答】(1)答案:-1,(2)原式=,【规律方法】指数幂的运算规律(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.,(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.易错提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.,【变式训练】化简下列各式(其中各字母均为正数):(1)(2),【解析】(1)原式=(2)原式=,【加固训练】1.若a=(2+)-1,b=(2-)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是()A.1B.C.D.,【解析】选D.a=(2+)-1=2-，b=(2-)-1=2+，所以(a+1)-2+(b+1)-2=(3-)-2+(3+)-2,2.化简的值为_.【解析】由题意可知a0,a1)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围为.,【解题导引】(1)将函数化为f(x)=2()x的形式,根据函数的性质及过定点,并结合选项判断.(2)分01两种情况,分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象,数形结合求解.,【规范解答】(1)选A.函数f(x)=21-x=2()x,单调递减且过点(0,2),选项A中的图象符合要求.,【一题多解】解答本题,你知道几种解法?解答本题,还有以下解法:选A.(采用平移法)因为函数f(x)=21-x=2-(x-1),所以先画出函数y=2-x的图象,再将y=2-x图象的所有点的横坐标向右平移1个单位,只有选项A符合.,(2)分底数01两种情况,分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象,如图:,从图中可以看出,只有当0a1,且02a1,即01,b1,b0C.00D.0a1,b0,【解析】选D.由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b0.,2.已知实数a,b满足等式2014a=2015b,下列五个关系式:0ba;ab0;0ab;bb0.(2)若t=1,则有a=b=0.(3)若0t1,则有a1.则f(x)=12x=可知A正确.,4.若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围为.【解析】画出曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示.由图象可得|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b-1,1.答案:-1,1,考向三指数函数的性质及应用【考情快递】,【考题例析】命题方向1:比较指数幂的大小【典例3】(2016威海模拟)下列各式比较大小正确的是()A.1.72.51.73B.0.6-10.62C.0.8-0.11.250.2D.1.70.30且a1).(1)求f(x)的定义域和值域.(2)讨论f(x)的奇偶性.(3)讨论f(x)的单调性.,【解题导引】(1)将ax用y表示,利用ax0求值域.(2)根据函数的奇偶性的定义判断.(3)分01两种情况,对函数f(x)的单调性进行讨论.,【规范解答】(1)f(x)的定义域是R,令y=,得ax=因为ax0,所以-0,解得-1y1,所以f(x)的值域为y|-1y0,从而+10,+10,-0,从而+10,+10,-0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)为R上的减函数.,【技法感悟】指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.,(2)指数函数的综合问题.要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对底数的分类讨论.,【题组通关】1.(2015山东高考)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC.bacD.bca,【解析】选C.函数y=0.6x单调递减,所以b=0.61.51,所以bac.,2.(2016莱芜模拟)函数y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)上不单调,则k的取值范围是()A.(-1,+)B.(-,1)C.(-1,1)D.(0,2),【解析】选C.由于函数y=|2x-1|在(-,0)上递减,在(0,+)上递增,而函数在区间(k-1,k+1)上不单调,所以有0(k-1,k+1),则k-10k+1,解得-10,又f(x)是R上的奇函数,所以f(x)(x0)的解集关于原点对称,由1-2-x得2-x1,则f(x)b0,若f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是.,【解析】画出函数图象如图所示,由图象可知要使ab0,f(a)=f(b)同时成立,则b1.bf(a)=bf(b)=b(b+1)=b2+b=所以b