2020届四川省成都市高三年级一诊数学（理科）试卷及答案

第 1页（共 19页） 2020 年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分） 若复数 1 z与 2 3(zi i 为虚数单位） 在复平面内对应的点关于实轴对称， 则 1 (z ) A3iB3i C3iD3i 2 （5 分）已知集合 1A ，0，m，1B ，2，若 1AB ，0，1，2，则实数m的 值为() A1或 0B0 或 1C1或 2D1 或 2 3 （5 分）若sin5cos，则tan2() A 5 3 B 5 3 C 5 2 D 5 2 4 （5 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这00l名 同学的得分都在50，100内，按得分分成 5 组：50，60)，60，70)，70，80)，80， 90)，90，100， 得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为() A72.5B75C77.5D80 5 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，且0 n a ，若 53 3aa，则 9 5 ( S S ) A 9 5 B 5 9 C 5 3 D 27 5 6 （5 分）已知，是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列 说法正确的是() A若/ /m，/ /n，且/ /，则/ /mnB若/ /m，/ /n，且，则/ /mn 第 2页（共 19页） C若m，/ /n，且/ /，则mnD若m，/ /n且，则mn 7 （5 分） 26 1 (2)()xx x 的展开式的常数项为() A25B25C5D5 8 （5 分）将函数sin(4) 6 yx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ， 再把所得图象向左平移 6 个单位长度，得到函数( )f x的图象，则函数( )f x的解析式为( ) A( )sin(2) 6 f xx B( )sin(2) 3 f xx C( )sin(8) 6 f xx D( )sin(8) 3 f xx 9 （5 分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点若 | 5MFNF，则线段MN的中点到y轴的距离为() A3B 3 2 C5D 5 2 10 （5 分）已知 11 32 3 2 ,3 , 2 abcln，则() AabcBacbCbacDbca 11 （ 5 分 ） 已 知 定 义 在R上 的 函 数( )f x满 足(2)(2)fxfx， 当2x时 ， ( )(1)1 x f xxe若关于x的方程( )210f xkxke 有三个不相等的实数根，则实 数k的取值范围是() A( 2，0)(0，2)B( 2，0)(2，) C( e，0)(0，)D( e，0)(0，) e 12 （5 分） 如图， 在边长为 2 的正方形 123 APP P中， 线段BC的端点B，C分别在边 12 PP， 23 P P 上滑动，且 22 P BPCx现将 1 APB， 3 APC分别沿AB，AC折起使点 1 P， 3 P重合， 重合后记为点P，得到三棱锥PABC现有以下结论： AP 平面PBC； 当B，C分别为 12 PP， 23 P P的中点时，三棱锥PABC的外接球的表面积为6； x的取值范围为(0,42 2)； 三棱锥PABC体积的最大值为 1 3 第 3页（共 19页） 则正确的结论的个数为() A1B2C3D4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上 13 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 4 0 22 0 0 xy xy y ，则2zxy的最大值为 14 （5 分）设正项等比数列 n a满足 4 81a ， 23 36aa，则 n a 15 （5 分）已知平面向量a ，b 满足| 2a ，|3b ，且()bab ，则向量a 与b 的夹 角的大小为 16 （5 分） 已知直线ykx与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 相交于不同的两点A，B，F 为双曲线C的左焦点，且满足| 3|AFBF，|(OAb O为坐标原点） ，则双曲线C的离心 率为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 222 4 2 3 bcabc （）求sin A的值； （）若ABC的面积为2，且2sin3sinBC，求ABC的周长 18 （12 分）某公司有000l名员工，其中男性员工 400 名，采用分层抽样的方法随机抽取 100 名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族” ， 计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这 100 名 员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有 20 人 （）完成下列22列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与 “性别”有关； 属于“追光族”属于“观望族”合计 女性员工 第 4页（共 19页） 男性员工 合计100 （）已知被抽取的这00l名员工中有 10 名是人事部的员工，这 10 名中有 3 名属于“追光 族”现从这 10 名中随机抽取 3 名，记被抽取的 3 名中属于“追光族”的人数为随机变量X， 求X的分布列及数学期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 2 0 ()P Kk 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，AP 平面PBC，底面ABCD为菱形，且 60ABC，E分别为BC的中点 （）证明：BC 平面PAE； （）若2AB 1PA ，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值 20 （12 分）已知函数( )(1) a f xalnxx x ，aR （）讨论函数( )f x的单调性； （）当1a 时，证明(1,)x ， 2 ( )f xaa 21 （12 分）已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆 C相交于A，B两点，直线:2l x 与x轴相交于点H，过点A作ADl，垂足为D （）求四边形(OAHB O为坐标原点）面积的取值范围； （）证明直线BD过定点E并求出点E的坐标 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选择一题作答题中任选择一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分，作答时作答时，用用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线 22 1: (2)4Cxy上的动点，将OP 绕点O顺时针旋转90得到OQ，设点Q的轨迹为曲线 2 C以坐标原点O为极点，x轴的正半 第 5页（共 19页） 轴为极轴建立极坐标系 （）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （）在极坐标系中，点(3,) 2 M ，射线(0) 6 与曲线 1 C， 2 C分别相交于异于极点O 的A，B两点，求MAB的面积 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |3|f xx （）解不等式( ) 4 |21|f xx ； （）若 14 2(0,0)mn mn ，求证： 3 |( ) 2 mnxf x 第 6页（共 19页） 2020 年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分） 若复数 1 z与 2 3(zi i 为虚数单位） 在复平面内对应的点关于实轴对称， 则 1 (z ) A3iB3i C3iD3i 【解答】解：复数 1 z与 2 3(zi i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称， 复数 1 z与 2 3(zi i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数， 则 1 3zi 故选：B 2 （5 分）已知集合 1A ，0，m，1B ，2，若 1AB ，0，1，2，则实数m的 值为() A1或 0B0 或 1C1或 2D1 或 2 【解答】解：集合 1A ，0，m，1B ，2， 1AB ，0，1，2， 因为A，B本身含有元素1，0，1，2，所以根据元素的互异性，1m ，0 即可， 故1m 或 2， 故选：D 3 （5 分）若sin5cos，则tan2() A 5 3 B 5 3 C 5 2 D 5 2 【解答】解：若sin5cos，则tan5，则 2 2tan5 tan2 1tan2 ， 故选：C 4 （5 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这00l名 同学的得分都在50，100内，按得分分成 5 组：50，60)，60，70)，70，80)，80， 90)，90，100， 得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为() 第 7页（共 19页） A72.5B75C77.5D80 【解答】解：由频率分布直方图得： 50，70)的频率为：(0.0100.030) 100.4， 70，80)的频率为：0.040 100.4， 这 100 名同学的得分的中位数为： 0.50.4 701072.5 0.4 故选：A 5 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，且0 n a ，若 53 3aa，则 9 5 ( S S ) A 9 5 B 5 9 C 5 3 D 27 5 【解答】解：依题意， 19 95 15 53 9 9 2 5 5 2 aa Sa aa Sa ， 又 5 3 3 a a ， 9 5 927 3 55 S S ， 故选：D 6 （5 分）已知，是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列 说法正确的是() A若/ /m，/ /n，且/ /，则/ /mnB若/ /m，/ /n，且，则/ /mn C若m，/ /n，且/ /，则mnD若m，/ /n且，则mn 【解答】解：由/ /m，/ /n，且/ /，得/ /mn或m与n异面，故A错误； 由/ /m，/ /n，且，得/ /mn或m与n相交或m与n异面，故B错误； 第 8页（共 19页） 由m，/ /，得m，又/ /n，则mn，故C正确； 由m，/ /n且，得/ /mn或m与n相交或m与n异面，故D错误 故选：C 7 （5 分） 26 1 (2)()xx x 的展开式的常数项为() A25B25C5D5 【解答】解： 6 1 ()x x 的通项公式为 6 16 1 () rrr r Tx x 6 2 6 ( 1)r rr x ，0r ，1，2，6， 则 26 1 (2)()xx x 的展开式的常数项须620r或者6223rr 或者4:r 常数项为 4433 66 ( 1)2 ( 1)154025 故选：B 8 （5 分）将函数sin(4) 6 yx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ， 再把所得图象向左平移 6 个单位长度，得到函数( )f x的图象，则函数( )f x的解析式为( ) A( )sin(2) 6 f xx B( )sin(2) 3 f xx C( )sin(8) 6 f xx D( )sin(8) 3 f xx 【解答】解：函数sin(4) 6 yx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ， 得到sin(2) 6 yx 的图象， 再把所得图象向左平移 6 个单位长度，得到函数( )sin(2) 6 f xx 的图象， 故选：A 9 （5 分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点若 | 5MFNF，则线段MN的中点到y轴的距离为() A3B 3 2 C5D 5 2 【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：1x ， 设( , )M x y，( ,)N x y， 由抛物线的性质得，25MFNFxxpxx， 第 9页（共 19页） 中点的横坐标为 3 2 ， 线段MN的中点到y轴的距离为： 3 2 ， 故选：B 10 （5 分）已知 11 32 3 2 ,3 , 2 abcln，则() AabcBacbCbacDbca 【解答】解： 6 28a ， 36 39b ，1ab 3 1 2 cln cab 故选：C 11 （ 5 分 ） 已 知 定 义 在R上 的 函 数( )f x满 足(2)(2)fxfx， 当2x时 ， ( )(1)1 x f xxe若关于x的方程( )210f xkxke 有三个不相等的实数根，则实 数k的取值范围是() A( 2，0)(0，2)B( 2，0)(2，) C( e，0)(0，)D( e，0)(0，) e 【解答】解：由题意，当2x时，( )(1)1 x f xxe ( ) x fxxe 令( )0fx，解得0 x ； 令( )0fx，解得0 x ； 令( )0fx，解得02x ( )f x在(,0)上单调递减，在(0，2上单调递增， 在0 x 处取得极小值(0)2f 且f（1）1 ；x ，( )0f x 又函数( )f x在R上满足(2)(2)fxfx， 函数( )f x的图象关于2x 对称 函数( )yf x的大致图象如下： 关于x的方程( )210f xkxke 可转化为( )(2)1f xk xe 而一次函数(2)1yk xe很明显是恒过定点(2,1)e 结合图象，当0k 时，有两个交点，不符合题意， 第 10页（共 19页） 当ke时，有两个交点，其中一个是(1, 1)此时( )yf x与(2)1yk xe正好相切 当0ke时，有三个交点 同理可得当0ek 时，也有三个交点 实数k的取值范围为：( e，0)(0，) e 故选：D 12 （5 分） 如图， 在边长为 2 的正方形 123 APP P中， 线段BC的端点B，C分别在边 12 PP， 23 P P 上滑动，且 22 P BPCx现将 1 APB， 3 APC分别沿AB，AC折起使点 1 P， 3 P重合， 重合后记为点P，得到三棱锥PABC现有以下结论： AP 平面PBC； 当B，C分别为 12 PP， 23 P P的中点时，三棱锥PABC的外接球的表面积为6； x的取值范围为(0,42 2)； 三棱锥PABC体积的最大值为 1 3 则正确的结论的个数为() A1B2C3D4 【解答】解：折起后， 3 CP ACPA ，故APPC 第 11页（共 19页） 同理，APPB，所以AP 平面PBC，正确； 当B，C分别为 12 PP， 23 P P的中点时，1PBPC，2BC ， 所以 222 PBPCBC，又AP 平面PBC， 所以PA，PB，PC两两垂直，所以三棱锥PABC的外接球与 以PA，PB，PC为长宽高的长方体的外接球半径相等 设半径为r，所以 2222 (2 )2116r， 2 46Sr 即三棱锥PABC的外接球的表面积为6，正确； 因为 22 P BPCx，所以2PBPCx，而2BCx， 故2(2)2xx，解得42 2x ，正确； 因为PBC的面积为 22432 121 2(2)()88 222 Sxxxxxx 设 432 ( )88f xxxx， 322 ( )424164 (64)fxxxxx xx 当035x时，( )0fx，当3542 2x时，( )0fx (35) max fff（1）1，所以 1 2 S 121 2 333 PABCA PBC VVSS ，错误 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡上分把答案填在答题卡上 13 （5 分）已知实数x，y满足约束条件 4 0 22 0 0 xy xy y ，则2zxy的最大值为6 【解答】解：作出实数x，y满足约束条件 4 0 22 0 0 xy xy y 对应的平面区域如图： （阴影部分） 第 12页（共 19页） 由2zxy得 11 22 yxz ， 平移直线 11 22 yxz ， 由图象可知当直线 11 22 yxz 经过点A时，直线 11 22 yxz 的截距最大， 此时z最大 由 40 220 xy xy ，解得(2,2)A， 代入目标函数2zxy得2226z 故答案为：6 14 （5 分）设正项等比数列 n a满足 4 81a ， 23 36aa，则 n a 3n 【解答】解：依题意 3 1 2 11 81 36 a q a qa q ， 解得 1 3 3 a q ， 11 1 3 33 nnn n aa q ， 故答案为：3n 15 （5 分）已知平面向量a ，b 满足| 2a ，|3b ，且()bab ，则向量a 与b 的夹 角的大小为 6 【解答】解：平面向量a ，b 满足| 2a ，|3b ，且()bab ， 2 ()0b abb ab ， 2 a bb 第 13页（共 19页） 设向量a 与b 的夹角的大小为，则23 cos3， 求得 3 cos 2 ，故 6 ， 故答案为： 6 16 （5 分） 已知直线ykx与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 相交于不同的两点A，B，F 为双曲线C的左焦点，且满足| 3|AFBF，|(OAb O为坐标原点） ，则双曲线C的离心 率为3 【解答】解：设|BFm，则| 3| 3AFBFm， 取双曲线的右焦点 F ，连接 AF ， BF ， 可得四边形AF BF为平行四边形， 可得| |AFBFm ，设A在第一象限，可得32mma，即ma， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得 2222 (2 )(2 )2(9)bcaa， 化为 22 3ca，则3 c e a 故答案为：3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 222 4 2 3 bcabc （）求sin A的值； （）若ABC的面积为2，且2sin3sinBC，求ABC的周长 第 14页（共 19页） 【解答】解： （） 222 4 2 3 bcabc， 由余弦定理可得 4 2 2cos 3 bcAbc， 2 2 cos 3 A， 在ABC中， 2 1 sin1 3 Acos A （）ABC的面积为2，即 11 sin2 26 bcAbc， 6 2bc， 又2sin3sinBC，由正弦定理可得23bc， 3 2b，2c ，则 222 2cos6abcbcA， 6a， ABC的周长为23 26 18 （12 分）某公司有000l名员工，其中男性员工 400 名，采用分层抽样的方法随机抽取 100 名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族” ， 计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这 100 名 员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有 20 人 （）完成下列22列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与 “性别”有关； 属于“追光族”属于“观望族”合计 女性员工 男性员工 合计100 （）已知被抽取的这00l名员工中有 10 名是人事部的员工，这 10 名中有 3 名属于“追光 族”现从这 10 名中随机抽取 3 名，记被抽取的 3 名中属于“追光族”的人数为随机变量X， 求X的分布列及数学期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 2 0 ()P Kk 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 第 15页（共 19页） 0 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 【解答】解： （）由题，22列联表如下： 属于“追光族”属于“观望族”合计 女性员工204060 男性员工202040 合计4060100 22 2 ()100(20204020)25 2.7783.841 ()()()()406060409 n adbc K ab cdac bd ， 没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关； （）由题，随机变量X的所有可能的取值为 0，1，2，3， 03 37 3 0 7 (0) 24 C C P X C ， 12 37 3 10 21 (1) 40 C C P X C ， 21 37 3 10 7 (2) 40 C C P X C ， 3 3 3 10 1 (3) 120 C P X C ， X的分布列为： X0123 P 7 24 21 40 7 40 1 120 21719 ()123 404012010 E X 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，AP 平面PBC，底面ABCD为菱形，且 60ABC，E分别为BC的中点 （）证明：BC 平面PAE； （）若2AB 1PA ，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值 【解答】解： （）如图，连接AC， 因为底面ABCD为菱形，且60ABC，所以ABC为正三角形， 因为E为BC的中点，所以BCAE， 又因为AP 平面PBC，BC 平面PBC， 第 16页（共 19页） 所以BCAP， 因为APAEA ，AP，AE 平面PAE， 所以BC 平面PAE； （）因为AP 平面PBC，PB 平面PBC，所以APPB， 又因为2AB ，1PA ，所以3PB ， 由（）得BCPE，又因为E为BC中点，所以3PBPC，1EC ，所以2PE ， 如图，过点P作BC的平行线PQ，则PQ，PE，PA两两互相垂直， 以P为坐标原点，,PE PQ PA 的方向分别为xyz轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标 系Pxyz， 则(0P，0，0)，(0A，0，1)，( 2B，1，0)，( 2C，1，0)，(0D，2，1)， 设平面BAP的一个法向量(mx ，y，) z，又(0PA ，0，1)，( 2PB ，1，0)， 由 0 0 m PA m PB ，得20 xy，0z ，令1x ，则(1m ，2，0)， 设平面CDP的一个法向量(na ，b，)c，又( 2PC ，1，0)，(0PD ，2，1)， 由 0 0 m PC m PD ，得20ab，20yz，令1a ，则(1n ，2，2 2)， 所以 133 cos, 33311 m n ， 即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为 33 33 20 （12 分）已知函数( )(1) a f xalnxx x ，aR （）讨论函数( )f x的单调性； （）当1a 时，证明(1,)x ， 2 ( )f xaa 第 17页（共 19页） 【解答】解： （） 2 222 1(1)(1)() ( )1 aaxaxaxxa fx xxxx ， 因为0 x ，aR， 所以当0a 时，0 xa，所以函数在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增； 当10a 时，01a ， 函数( )f x在(0,)a上单调递增， 在(,1)a上单调递减， 在(1,) 上单调递增； 当1a 时， 2 2 (1) ( )0 x fx x ，函数( )f x在(0,)上单调递增； 当1a 时，1a，函数( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)a上单调递减，在(,)a上单 调递增； （）当1a 时，由（）得，函数( )f x在(1,)a上单调递减，在(,)a上单调递增； 函数( )f x在(1,)上的最小值为()(1) ()1faalnaa， 欲证明不等式 2 ( )f xaa 成立，即证明 2 (1) ()1aaalnaa ， 即证明 2 (1) ()10aalna ， 因为1a ，所以只需证明()1lnaa ， 令( )1(1)h xlnxxx ，则 1(1) ( )10 x h x xx ， 所以函数( )h x在1，)上单调递减，则有( )h xh（1）0， 因为1a ，所以1a， 所以()()10halnaa ，即当1a 时，()1lnaa 成立， 所以当1a 时，任意(1,)x， 2 ( )f xaa 21 （12 分）已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆 C相交于A，B两点，直线:2l x 与x轴相交于点H，过点A作ADl，垂足为D （）求四边形(OAHB O为坐标原点）面积的取值范围； （）证明直线BD过定点E并求出点E的坐标 【解答】解： （）由题意(1,0)F，设直线AB的方程：1xmy， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 与抛物线联立 22 (2)210mymy ，因为 22 44(2)0mm， 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 y y m ，所以 2 2 121212 2 2 2 1 |()4 2 m yyyyyy m ， 第 18页（共 19页） 所以四边形OAHB的面积 2 1212 2 12 21 | | | 22 m SOHyyyy m ，令 2 11tm ， 2 2 22 2 2 1 1 t S t t t ，当且仅当1t 时，即0m 时取等号，所以02S ， 所以四边形OAHB的面积的取值范围为(0，2， （） 2 (B x， 2) y， 1 (2,)Dy， 12 2 2 BD yy k x ，所以直线BD的方程： 12 1 2 (2) 2 yy yyx x ， 令0y