2020届广东省广州市高三年级一模数学（文科）试卷及答案

第 1页（共 19页） 2020 年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）年广东省广州市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合1U ，2，3，4，5，6，7，3M ，4，5，1N ，3，6，则集 合2，7等于() AMN B() U MN C() U MN DMN 2 （5 分） 某地区小学， 初中， 高中三个学段的学生人数分别为 4800 人， 4000 人， 2400 人 现 采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生 人数为 70 人，则该样本中高中学生人数为() A42 人B84 人C126 人D196 人 3 （5 分）直线10kxy 与圆 22 2410 xyxy 的位置关系是() A相交B相切C相离D不确定 4 （5 分）已知函数 ,0 ( ) ,0 x lnx x f x ex ，则 1 ( ) 4 f f的值为() A4B2C 1 2 D 1 4 5 （5 分）已知向量(2,1)a ，( , 2)bx ，若| |2|abab ，则实数x的值为() A 4 9 B 1 2 C 9 4 D2 6 （5 分）如图所示，给出的是计算 1111 24622 值的程序框图，其中判断框内应填入 的条件是() 第 2页（共 19页） A9i B10i C11i D12i 7（5 分） 设函数 1 ( )2cos() 23 f xx ， 若对任意xR都有 12 ()( )()f xf xf x成立， 则 12 |xx 的最小值为() A4B2CD 2 8 （5 分）刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是我国 最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人， 他正确地提出了正负数的概念 及其加减运算的规则提出了“割圆术” ，并用“割圆术”求出圆周率为 3.14刘徽在割 圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被 视为中国古代极限观念的佳作其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第 二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内 接正十二边形的概率为() A 3 3 2 B 3( 62) 2 C 3 D 3( 62) 9 （5 分）已知 1 sincos 5 ，0，则cos2() A 7 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25 10 （5 分）已知点 0 (P x， 0) y在曲线 32 :1C yxx上移动，曲线C在点P处的切线的斜 率为k，若 1 3 k ，21，则 0 x的取值范围是() A 7 3 ， 5 7 B 7 3 ，3C 7 3 ，)D 7，9 11 （5 分）已知O为坐标原点，设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F， 点P是双曲线C上位于第一象限内的点 过点 2 F作 12 F PF的平分线的垂线， 垂足为A， 若 12 | 2|bFFOA，则双曲线C的离心率为() A 5 4 B 4 3 C 5 3 D2 12 （5 分）在三棱锥ABCD中，ABD与CBD均为边长为 2 的等边三角形，且二面角 ABDC的平面角为120，则该三棱锥的外接球的表面积为() A7B8C 16 3 D 28 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 第 3页（共 19页） 13 （5 分）已知复数 22 22 zi则 24 zz 14 （5 分）已知函数( ) k f xx x 在区间(0,)上有最小值 4，则实数k 15 （5 分） 已知直线a 平面， 直线b 平面， 给出下列 5 个命题若/ /， 则ab； 若，则ab：若，则/ /ab：若/ /ab，则；若ab则/ /， 其中正确命题的序号是 16 （5 分）如图，在平面四边形ABCD中， 2 BACADC ， 6 ABC ， 12 ADB ， 则tanACD 三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题：共共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 nn anS，设1 nn ba （1）求 1 a， 2 a， 3 a； （2）判断数列 n b是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列 n a的前n项和 n S 18（12 分） 如图 1， 在边长为 2 的等边ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点 将ADE 沿DE折起， 使得ABAD，得到如图 2 的四棱锥ABCDE，连结BD，CE， 且BD与CE 交于点H （1）证明：AH上BD； （2）设点B到平面AED的距离为 1 h，点E到平面ABD的距离为 2 h，求 1 2 h h 的值 第 4页（共 19页） 19 （12 分）某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第 1 夭到第 5 天的日产 卵数据： 第x天12345 日产卵数y（个)612254995 对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值 5 1 i i x 5 2 1 i i x 5 1 () i i lny 5 1 () ii i x lny 155515.9454.75 （1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x的回归方程为 a bx ye （其 中e为自然对数的底数） ，求实数a，b的值（精确到0.1)； （2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间 6 (e， 8) e上的时段为优质产卵期，利用（1）的 结论，估计在第 6 天到第 10 天中任取两天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概率 附：对于一组数据 1 (v， 1) ， 2 (v， 2) ，( n v，) n ，其回归直线v的斜率和 截距的最小二乘估计分别为 1 22 1 n ii i n i i vunv u vnv ， uv 20 （12 分）已知M过点( 3A，0)，且与 22 :(3)16Nxy内切，设M的圆心M 的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程： （2）设直线l不经过点(0,1)B且与曲线C相交于P，Q两点若直线PB与直线QB的斜率 之积为 1 4 ，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理 由 第 5页（共 19页） 21 （12 分）已知函数( )()(0) bx f xxa eb的最大值为 1 e ，且曲线( )yf x在0 x 处的切 线与直线2yx平行（其中e为自然对数的底数） （1）求实数a，b的值； （2）如果 12 0 xx，且 12 ()()f xf x，求证： 12 33xx （二（二）选考题选考题：共共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做如果多做，则按所做的第一则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 3 ( 12 xt t yt 为参数） ，曲线 2 C 的参数方程为 3 (cos 3tan x y 为参数，且( 2 ， 3 ) 2 （1）求 1 C与 2 C的普通方程， （2）若A，B分别为 1 C与 2 C上的动点，求|AB的最小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |36|f xxxa （1）当1a 时，解不等式( )3f x ； （2）若不等式( )114f xx对任意 4x ， 3 2 成立，求实数a的取值范围 第 6页（共 19页） 2020 年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）年广东省广州市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合1U ，2，3，4，5，6，7，3M ，4，5，1N ，3，6，则集 合2，7等于() AMN B() U MN C() U MN DMN 【解答】解：由已知：3MN ，1MN ，3，4，5，6， ()1 U MN ，2，4，5，6，7)，()2 U MN ，7 故选：B 2 （5 分） 某地区小学， 初中， 高中三个学段的学生人数分别为 4800 人， 4000 人， 2400 人 现 采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生 人数为 70 人，则该样本中高中学生人数为() A42 人B84 人C126 人D196 人 【解答】解：设高中抽取人数为x， 则 70 40002400 x ，得42x ， 故选：A 3 （5 分）直线10kxy 与圆 22 2410 xyxy 的位置关系是() A相交B相切C相离D不确定 【解答】解：圆方程可整理为 22 (1)(2)4xy，则圆心( 1,2)，半径2r ，直线恒过点 (0,1)， 因为(0,1)在圆内，故直线与圆相交， 故选：A 4 （5 分）已知函数 ,0 ( ) ,0 x lnx x f x ex ，则 1 ( ) 4 f f的值为() A4B2C 1 2 D 1 4 【解答】解：因为 ,0 ( ) ,0 x lnx x f x ex ， 第 7页（共 19页） 11 ( ) 44 fln； 1 4 11 ( ) 44 ln f fe 故选：D 5 （5 分）已知向量(2,1)a ，( , 2)bx ，若| |2|abab ，则实数x的值为() A 4 9 B 1 2 C 9 4 D2 【解答】解：向量(2,1)a ，( , 2)bx ， (2, 1)abx ，2(4,4)abx ， | |2|abab ， 2222 (2)( 1)(4)4xx ，解得 9 4 x ， 故选：C 6 （5 分）如图所示，给出的是计算 1111 24622 值的程序框图，其中判断框内应填入 的条件是() A9i B10i C11i D12i 【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 0s ，2n ，1i 不满足条件，第一圈： 1 0 2 s ，4n ，2i ， 不满足条件，第二圈： 11 24 s ，6n ，3i ， 第 8页（共 19页） 不满足条件，第三圈： 111 246 s ，8n ，4i ， 依此类推， 不满足条件，第 10 圈： 1111 24620 s ，22n ，11i ， 不满足条件，第 11 圈： 11111 2462022 s ，24n ，12i ， 此时，应该满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：11i ？ 故选：C 7（5 分） 设函数 1 ( )2cos() 23 f xx ， 若对任意xR都有 12 ()( )()f xf xf x成立， 则 12 |xx 的最小值为() A4B2CD 2 【解答】解：函数 1 ( )2cos() 23 f xx ，若对于任意的xR，都有 12 ()( )()f xf xf x， 1 ()f x是函数的最小值， 2 ()f x是函数的最大值， 12 |xx的最小值就是函数的半周期， 12 2 1 22 2 T ； 故选：B 8 （5 分）刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作九章算术注和海岛算经是我国 最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人， 他正确地提出了正负数的概念 及其加减运算的规则提出了“割圆术” ，并用“割圆术”求出圆周率为 3.14刘徽在割 圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被 视为中国古代极限观念的佳作其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第 二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内 接正十二边形的概率为() A 3 3 2 B 3( 62) 2 C 3 D 3( 62) 【解答】解：设圆的半径为 1，圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为 360 30 12 ， 则圆内接正十二边形的面积为： 1 121 1 sin303 2 圆的面积为 2 1， 第 9页（共 19页） 由测度比为面积比可得： 在圆内随机取一点， 则此点在圆的某一个内接正十二边形内的概率 是 3 故选：C 9 （5 分）已知 1 sincos 5 ，0，则cos2() A 7 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25 【解答】解： 1 sincos 5 ，0， 平方可得： 1 12sincos 25 ， 24 2sincos0 25 为锐角 2 247 sincos(sincos)12sincos1 255 ， 22 177 cos2cossin(sincos)(sincos) 5525 故选：A 10 （5 分）已知点 0 (P x， 0) y在曲线 32 :1C yxx上移动，曲线C在点P处的切线的斜 率为k，若 1 3 k ，21，则 0 x的取值范围是() A 7 3 ， 5 7 B 7 3 ，3C 7 3 ，)D 7，9 【解答】解：由 32 1yxx，得 2 32yxx ， 则曲线C在点 0 (P x， 0) y处的切线的斜率为 0 2 00 |32 x x kyxx ， 1 3 k ，21， 2 00 1 32,21 3 xx ， 0 7 ,3 3 x 故选：B 11 （5 分）已知O为坐标原点，设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左，右焦点分别为 1 F， 2 F， 点P是双曲线C上位于第一象限内的点 过点 2 F作 12 F PF的平分线的垂线， 垂足为A， 若 12 | 2|bFFOA，则双曲线C的离心率为() A 5 4 B 4 3 C 5 3 D2 第 10页（共 19页） 【解答】解：延长 2 F A交 1 PF与B，由PA为 12 F PF的角平分线， 2 F APA，所以A为 2 F B 的中点， 2 | |PFPB， 连 接OA， 则OA为 12 BFF的 中 位 线 ， 所 以 1 | 2|BFOA， 而 1112 | | | 2BFPFPBPFPFa 因为 12 | 2| 22bFFOAca，而 222 bca 所以 222 4()caca整理可得 22 3850cacc，即 2 3850ee，解得 5 3 e 或 1， 再由双曲线的离心率大于 1，可得 5 3 e ， 故选：C 12 （5 分）在三棱锥ABCD中，ABD与CBD均为边长为 2 的等边三角形，且二面角 ABDC的平面角为120，则该三棱锥的外接球的表面积为() A7B8C 16 3 D 28 3 【解答】解：如图，取BD中点H，连接AH，CH， 因为ABD与CBD均为边长为 2 的等边三角形， 所以AHBD，CHBD，则AHC为二面角ABDC的平面角，即120AHC， 设ABD与CBD外接圆圆心分别为E，F， 则由 3 23 2 AH 可得 22 3 33 AEAH， 11 33 EHAH， 分别过EF作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点， 记为O，连接AO，HO，则由对称性可得60OHE， 所以1OE ，则 22 21 3 ROAAEEO， 则三棱锥外接球的表面积 2 2128 44 93 R ， 第 11页（共 19页） 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知复数 22 22 zi则 24 zz1i 【解答】解： 22 2211 () 2222 ziii ， 4222 ()()1zzi ， 24 1zzi ， 故答案是：1i 14 （5 分）已知函数( ) k f xx x 在区间(0,)上有最小值 4，则实数k 4 【解答】解：依题意，0k ，则( )2 k f xxk x ， 则24k ，解得4k 故答案为：4 15 （5 分） 已知直线a 平面， 直线b 平面， 给出下列 5 个命题若/ /， 则ab； 若，则ab：若，则/ /ab：若/ /ab，则；若ab则/ /， 其中正确命题的序号是 【解答】解：对于，由a 平面，/ /，得a，又直线b 平面，ab，故 正确； 对于，由a 平面，得/ /a或a，而直线b 平面，a与b的关系是 平行、相交或异面，故错误； 对于，由a 平面，得/ /a或a，而直线b 平面，a与b的关系是 平行、相交或异面，故错误； 对于，由a 平面，/ /ab，得b，又直线b 平面，故正确； 对于，由a 平面，ab，得/ /b或b，又直线b 平面，与相交或平 行，故错误 第 12页（共 19页） 其中正确命题的序号是 故答案为： 16 （5 分）如图，在平面四边形ABCD中， 2 BACADC ， 6 ABC ， 12 ADB ， 则tanACD 33 4 【解答】解：不妨设ACD，1AC ，则sinAD， 在ABD中， 22 BAD ， 12 ADB ，则 12 ABD ， 在ABD中，由正弦定理得 sinsin ADAB ABDADB ，即 sin3 sin()sin 1212 ， sinsin3(sincoscos sin) 121212 ， (sin3cos)sin3sincos 121212 ， 2(sinsincoscos)sin3sincos 61261212 ， 2cossin3sincos 412 ， 3sin 36233 12 tan 442 2cos 4 故答案为： 33 4 三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：（一）必考题：共共 60 分分 17 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 nn anS，设1 nn ba （1）求 1 a， 2 a， 3 a； （2）判断数列 n b是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列 n a的前n项和 n S 第 13页（共 19页） 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） nn anS， 11 1aa ， 解 得 1 1 2 a 22 1 2() 2 aa， 解 得 2 3 4 a 33 31 3() 42 aa，解得 3 7 8 a （2） nn anS，2n 时， 11 1 nn anS ，相减可得： 1 21 nn aa ， 变形为： 1 1 1(1) 2 nn aa ， 由1 nn ba可得： 1 1 2 nn bb 11 1 1 2 ba 数列 n b是等比数列，首项为 1 2 ，公比为 1 2 （3）由（2）可得： 1 111 ( )( ) 222 nn n b 则 1 11( ) 2 n nn ab 1 1( ) 2 n nn Snan 18（12 分） 如图 1， 在边长为 2 的等边ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点 将ADE 沿DE折起， 使得ABAD，得到如图 2 的四棱锥ABCDE，连结BD，CE， 且BD与CE 交于点H （1）证明：AH上BD； （2）设点B到平面AED的距离为 1 h，点E到平面ABD的距离为 2 h，求 1 2 h h 的值 【解答】 （1）证明：在图 1 中，ABC为等边三角形，且D为边AC的中点，BDAC， 在BCD中，BDCD，2BC ，1CD ，3BD， D、E分别为边AC、AB的中点，/ /EDBC， 在图 2 中，有 1 2 DHED HBBC ， 13 33 DHBD 在Rt BAD中，3BD ，1AD ， 第 14页（共 19页） 在BAD和AHD中，3 DBDA DADH ，BDAADH ， BADAHD 90AHDBAD ，即AHBD； （2）解： B AEDEABD VV ， 12 11 33 AEDABD ShSh ，则 1 2 ABD AED hS hS AED是边长为 1 的等边三角形， 3 4 AED S 在Rt ABD中，3BD ，1AD ，则2AB 2 2 ABD S， 则 1 2 2 6 3 h h 19 （12 分）某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第 1 夭到第 5 天的日产 卵数据： 第x天12345 日产卵数y（个)612254995 对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值 第 15页（共 19页） 5 1 i i x 5 2 1 i i x 5 1 () i i lny 5 1 () ii i x lny 155515.9454.75 （1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数y关于x的回归方程为 a bx ye （其 中e为自然对数的底数） ，求实数a，b的值（精确到0.1)； （2）根据某项指标测定，若日产卵数在区间 6 (e， 8) e上的时段为优质产卵期，利用（1）的 结论，估计在第 6 天到第 10 天中任取两天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概率 附：对于一组数据 1 (v， 1) ， 2 (v， 2) ，( n v，) n ，其回归直线v的斜率和 截距的最小二乘估计分别为 1 22 1 n ii i n i i vunv u vnv ， uv 【解答】解： （1）因为 a bx ye ，两边取自然对数，得lnyabx， 令mx，nlny，得nabm； 因为 2 1515.94 54.755 6.93 55 0.693 555310 b ； 所以0.7b ； 因为 15.94 0.731.088 5 anbm； 所以1.1a ； 即1.1a ，0.7b ； （2）根据（1）得 1.1 0.7x ye ， 由 61.1 0.78x eee ，得 69 7 7 x； 所以在第 6 天到第 10 天中，第 8、9 天为优质产卵期； 从未来第 6 天到第 10 天中任取 2 天的所有可能事件有： (6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)， (7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)共 10 种； 其中恰有 1 天为优质产卵期的有： (6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,10)，(9,10)共 6 种； 设从未来第 6 天到第 10 天中任取 2 天，其中恰有 1 天为优质产卵期的事件为A， 第 16页（共 19页） 则P（A） 63 105 ； 所以从未来第 6 天到第 10 天中任取 2 天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概率为 3 5 20 （12 分）已知M过点( 3A，0)，且与 22 :(3)16Nxy内切，设M的圆心M 的轨迹为曲线C （1）求曲线C的方程： （2）设直线l不经过点(0,1)B且与曲线C相交于P，Q两点若直线PB与直线QB的斜率 之积为 1 4 ，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理 由 【解答】解： （1）设M的半径为R，因为圆M过( 3A，0)，且与圆N相切， 所以|RAM，| 4MNR，即| 4MNMA， 由| 4NA ，所以M的轨迹为以N，A为焦点的椭圆 设椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，则24a ，且 22 3cab， 所以2a ，1b ，所以曲线C的方程为 2 2 1 4 x y； （2）由题意可得直线BP，BQ的斜率均存在且不为 0， 设直线BP的斜率为(0)k k ，则BP的方程为1ykx，联立椭圆方程 22 44xy， 可得 22 (14)80kxkx，解得 1 0 x ， 2 2 8 14 k x k ， 则 2 8 ( 14 k P k ， 2 2 14 ) 14 k k ， 因为直线BQ的斜率为 1 4k ， 所以同理可得 2 8 (1 4 k Q k ， 2 2 14 ) 14 k k ， 因为P，Q关于原点对称， （或求得直线l的方程为 2 41 ) 8 k yx k 所以直线l过定点(0,0) 21 （12 分）已知函数( )()(0) bx f xxa eb的最大值为 1 e ，且曲线( )yf x在0 x 处的切 线与直线2yx平行（其中e为自然对数的底数） （1）求实数a，b的值； （2）如果 12 0 xx，且 12 ()()f xf x，求证： 12 33xx 第 17页（共 19页） 【解答】解： （1）由已知( )(1) bx fxbxabe 则易知(0)11fab ，0ab，又因为0b ，故0a 此时可得( )(0) bx f xxeb，( )(1) bx fxbxe 若0b ，则当 1 x b 时，( )0fx，( )f x递减； 1 ,0,xfxf x b 时递增 此时，函数( )f x有最小值，无最大值 若0b ，则当 1 ,0,xfxf x b 时递增； 1 ,0,xfxf x b 时递减 此时 1 111 ( )() max f xfe bbe ，解得1b 所以0a ，1b 即为所求 （2）由 12 0 xx，且 12 ()()f xf x得： 12 12 xx xx ee 2 21 1 1 21 x xx x x e xx e e 设 21( 0)txx t，则 11 t e xxt， 可得 12 , 11 t tt tte xx ee ，所以要证 12 33xx，即证 3 3 11 t tt tte ee 0t ，所以10 t e ，所以即证(3)330 t tet 设( )(3)33(0) t g t