2020届吉林省长春市高三年级二模数学（理科）试卷及答案

第 1页（共 21页） 2020 年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | (2) 0Ax x x， 1B ，0，1，2，3，则(AB ) A 1，0，3B0，1C0，1，2D0，2，3 2 （5 分）若1(1) ()za i aR ，|2z ，则(a ) A0 或 2B0C1 或 2D1 3 （5 分）下列与函数 1 y x 定义域和单调性都相同的函数是() A 2 2log xy B 2 1 log ( ) 2 x y C 2 1 logy x D 1 4 yx 4 （5 分）已知等差数列 n a中， 57 32aa，则此数列中一定为 0 的是() A 1 aB 3 aC 8 aD 10 a 5 （5 分）若单位向量 1 e ， 2 e 夹角为60， 12 aee ，且|3a ，则实数() A1B2C0 或1D2 或1 6 （5 分） 高中数学课程标准(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了 比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根 据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优） ，则下面叙述正 确的是 （注：雷达图()RadarChart，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart，可用于对研究 对象的多维分析）() A甲的数据分析素养高于乙 第 2页（共 21页） B甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C乙的六大素养中逻辑推理最差 D乙的六大素养整体水平优于甲 7 （5 分）命题p：存在实数 0 x，对任意实数x，使得 0 sin()sinxxx 恒成立：:0qa ， ( ) ax f xln ax 为奇函数，则下列命题是真命题的是() ApqB()()pq C()pq D()pq 8 （5 分）在ABC中，30C ， 2 cos 3 A ，152AC ，则AC边上的高为() A 5 2 B2C5D 15 2 9 （5 分）2020 年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁 4 名干部派遣到A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有() A6 种B12 种C24 种D36 种 10 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，点E，F，G分别为棱 11 AD， 1 D D， 11 AB的中 点，给出下列命题： 1 ACEG；/ /GCED； 1 B F 平面 1 BGC；EF和 1 BB成角为 4 正确命题的个数是() A0B1C2D3 11 （5 分） 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 1 (2M， 0) y为该抛物线上一点， 以M 为圆心的圆与C的准线相切于点A，120AMF，则抛物线方程为() A 2 2yxB 2 4yxC 2 6yxD 2 8yx 12 （5 分）已知 11 ( ) xx f xeex ，则不等式( )(32 ) 2f xfx的解集是() A1，)B0，)C(，0D(，1 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若x，y满足约条条件 22 2 0 22 xy y xy ，则zxy的最大值为 14 （5 分）若 1 2 0 5 () 3 ax dx ，则a 第 3页（共 21页） 15 （5 分） 已知函数( )sin()(0) 6 f xx 在区间，2 )上的值小于 0 恒成立， 则的 取值范围是 16 （5 分）三棱锥ABCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且2 2BD ， 三棱锥ABCD体积的最大值为；三棱锥ABCD体积最大时，平面ABC截球所得的 截面圆的面积为 三三、解答题解答题：共共 70 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）2019 年入冬时节，长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会，增强身体素质，积 极开展冰上体育锻炼 现从速滑项目中随机选出 100 名参与者， 并由专业的评估机构对他们 的锻炼成果进行评估打分（满分为 100 分）并且认为评分不低于 80 分的参与者擅长冰上运 动，得到如图所示的频率分布直方图： （）求m的值； （）将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22列联表 补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有 关系？ 擅长不擅长合计 男生30 女生50 合计100 2 ()P Kx 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 第 4页（共 21页） k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参考公式及数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 18 （12 分）如图，直三棱柱 111 ABCA BC中，底面ABC为等腰直角三角形，ABBC， 1 24AAAB，M，N分别为 1 CC， 1 BB的中点，G为棱 1 AA上一点，若 1 A B 平面MNG （）求线段AG的长； （）求二面角BMGN的余弦值 19 （12 分）已知数列 n a满足， 1 1a ， 2 4a 且 * 21 430() nnn aaanN （）求证：数列 1 nn aa 为等比数列，并求出数列 n a的通项公式； （）设2 nn bn a，求数列 n b的前n项和 n S 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为A、B，焦距为 2，点P 为椭圆上异于A、B的点，且直线PA和PB的斜率之积为 3 4 （）求C的方程； （）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作/ /OMAP交椭圆于点M，试探究 2 | | | APAQ OM 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 21 （12 分）已知函数( ) x f xe （）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）若对任意的mR，当0 x 时，都有 2 1 (2 ( )2 21mf xkm x 恒成立，求最大的整 数k 第 5页（共 21页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分，请考生在分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）已知曲线 1 C的参数方程为 22cos ( 2sin x y 为参数） ，曲线 2 C的参数方程为 3 8cos 4 ( 3 sin 4 xt t yt 为参数） （）求 1 C和 2 C的普通方程； （）过坐标原点O作直线交曲线 1 C于点(M M异于)O，交曲线 2 C于点N，求 | | ON OM 的最 小值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( ) |1|1|f xaxx （）若2a ，解关于x的不等式( )9f x ； （）若当0 x 时，( )1f x 恒成立，求实数a的取值范围 第 6页（共 21页） 2020 年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 | (2) 0Ax x x， 1B ，0，1，2，3，则(AB ) A 1，0，3B0，1C0，1，2D0，2，3 【解答】解： |02Axx ； 0AB ，1，2 故选：C 2 （5 分）若1(1) ()za i aR ，|2z ，则(a ) A0 或 2B0C1 或 2D1 【解答】解：因为1(1) ()za i aR ， 222 |1(1)2(1)10zaaa 或 2； 故选：A 3 （5 分）下列与函数 1 y x 定义域和单调性都相同的函数是() A 2 2log xy B 2 1 log ( ) 2 x y C 2 1 logy x D 1 4 yx 【解答】解： 1 y x 在定义域 |0x x 上单调递减， 2 2log xyx在定义域 |0x x 上单 调递增， 2 1 ( ) 2 x ylog的定义域为R， 2 1 ylog x 在定义域 |0x x 上单调递减， 1 4 yx的定 义域为 |0x x 故选：C 4 （5 分）已知等差数列 n a中， 57 32aa，则此数列中一定为 0 的是() A 1 aB 3 aC 8 aD 10 a 【解答】解：等差数列 n a中， 57 32aa， 11 3(4 )2(6 )adad， 化为： 1 0a 则此数列中一定为 0 的是 1 a 第 7页（共 21页） 故选：A 5 （5 分）若单位向量 1 e ， 2 e 夹角为60， 12 aee ，且|3a ，则实数() A1B2C0 或1D2 或1 【解答】解： 12 | | 1ee ， 12 ,60e e ， 12 1 2 e e ，且|3a ， 22 222 1122 213aee ee ，解得2或1 故选：D 6 （5 分） 高中数学课程标准(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了 比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根 据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优） ，则下面叙述正 确的是 （注：雷达图()RadarChart，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart，可用于对研究 对象的多维分析）() A甲的数据分析素养高于乙 B甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C乙的六大素养中逻辑推理最差 D乙的六大素养整体水平优于甲 【解答】解：对于A选项，甲的数据分析为 3 分，乙的数据分析为 5 分，即甲的数据分析 素养低于乙，故选项A错误， 对于B选项，甲的数学建模素养为 3 分，数学抽象素养为 3 分，即甲的数学建模素养与数 学抽象素养同一水平，故选项B错误， 对于C选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选 第 8页（共 21页） 项C错误， 对于D选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体 水平优于甲，故选项D正确， 故选：D 7 （5 分）命题p：存在实数 0 x，对任意实数x，使得 0 sin()sinxxx 恒成立：:0qa ， ( ) ax f xln ax 为奇函数，则下列命题是真命题的是() ApqB()()pq C()pq D()pq 【解答】解：根据题意，命题p：存在实数 0 x，对任意实数x，使得 0 sin()sinxxx 恒 成立， 当 0 x时，对任意实数x，使得sin()sinxx 恒成立， 故P为真命题； 命题:0qa ，( ) ax f xln ax ，有0 ax ax ，解可得axa ，函数的定义域为(, )a a， 关于原点对称， 有()( ) axax fxlnlnf x axax ，即函数( )f x为奇函数， 故其为真命题； 则pq为真命题，()()pq 、()Pq 、()pq为假命题； 故选：A 8 （5 分）在ABC中，30C ， 2 cos 3 A ，152AC ，则AC边上的高为() A 5 2 B2C5D 15 2 【解答】解： 2 cos,0 3 AA ， 5 sin 3 A ， 5321152 sinsin()sincoscossin 32326 ABCACACAC ， 由正弦定理有， sinsin ACAB ABCC ，即 152 1 152 2 6 AB ，解得3AB ， 11 sin 22 ABACAACBD，即 5 3 ( 152)( 152) 3 BD， 第 9页（共 21页） 5BD ，即AC边上的高为5 故选：C 9 （5 分）2020 年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁 4 名干部派遣到A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有() A6 种B12 种C24 种D36 种 【解答】解：若甲单独被派遣到A县，则有 22 32 6C A 种， 若若甲不单独被派遣到A县，则有 3 3 6A 种， 故根据分类计数原理可得，共有6612种， 故选：B 10 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，点E，F，G分别为棱 11 AD， 1 D D， 11 AB的中 点，给出下列命题： 1 ACEG；/ /GCED； 1 B F 平面 1 BGC；EF和 1 BB成角为 4 正确命题的个数是() A0B1C2D3 【解答】解：如图 对于，连接 1 AC， 11 B D，则 11 / /EGD B，而 1 CA 平面EFG，所以 1 ACEG；故正确； 对于， 取 11 BC的中点M， 连接CM，EM， 可得四边形CDEM为平行四边形，/ /CMED， 因此/ /GCED不正确； 由于 1 B F与 11 BC不垂直， 11/ / BCBC， 1 B F与BC不垂直，因此 1 B F 平面 1 BGC不成立 11 / /D DB B，EF和 1 DD所角为 4 EF和 1 BB成角为 4 正确 正确命题的个数是 2 第 10页（共 21页） 故选：C 11 （5 分） 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F， 1 (2M， 0) y为该抛物线上一点， 以M 为圆心的圆与C的准线相切于点A，120AMF，则抛物线方程为() A 2 2yxB 2 4yxC 2 6yxD 2 8yx 【解答】解： 1 (2M， 0) y为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C的准线相切于点A， 过点M作MBx轴， 1 | | 22 p MAMF， 1 | 22 p BF 120AMF， 30BMF， 2| |BFMF， 11 2() 2222 pp ， 解得3p ， 抛物线方程为 2 6yx， 故选：C 12 （5 分）已知 11 ( ) xx f xeex ，则不等式( )(32 ) 2f xfx的解集是() 第 11页（共 21页） A1，)B0，)C(，0D(，1 【解答】解： 11 ( ) xx f xeex ， (2) 11 (2)11 (2)(2)2 xxxx fxeexeex ， 得：( )(2)2f xfx， ( )(32 ) 2( )(32 )( )(2)f xfxf xfxf xfx， (32 )(2)fxfx， 又 11 ( )10 xx fxee 恒成立， 11 ( ) xx f xeex 为R上的增函数， 式可化为：322xx， 解得：1x ， 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）若x，y满足约条条件 22 2 0 22 xy y xy ，则zxy的最大值为4 【解答】解：由x，y满足约条条件 22 2 0 22 xy y xy 作出可行域如图： 化目标函数zxy为yxz ， 由图可知，当直线yxz 过A时，z取得最大值， 由 2 22 y xy ，解得(2,2)A时， 目标函数有最大值为4z 故答案为：4 第 12页（共 21页） 14 （5 分）若 1 2 0 5 () 3 ax dx ，则a 2 【解答】解： 1 2 0 5 () 3 ax dx ，整理得 1 213 1 00 0 15 ()| 33 ax dxaxx ， 所以 15 33 a ，解得2a 故答案为：2 15 （5 分） 已知函数( )sin()(0) 6 f xx 在区间，2 )上的值小于 0 恒成立， 则的 取值范围是 5 (6， 11 12 【解答】解：函数( )sin()(0) 6 f xx 在区间，2 )上的值小于 0 恒成立， 故( )f x的最大值小于零 当x，2 )， 66 x ，2) 6 ， 6 ，且22 6 ， 求得 511 612 ， 故答案为： 5 (6， 11 12 16 （5 分）三棱锥ABCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且2 2BD ， 三棱锥ABCD体积的最大值为 2 2 3 ；三棱锥ABCD体积最大时，平面ABC截球所 得的截面圆的面积为 【解答】解：当BD过球心，所以90BADBCD ， 所以AO 面BCD， 1 1 3 2 A BCD VBC CD OA ，当BCCD时体积最大， 因为2 2BD ，2OA ，所以2BCCD， 第 13页（共 21页） 所以最大体积为： 1 12 2 2 22 3 23 ； 三棱锥ABCD体积最大时，三角形ABC中， 22 2ABACOCOABC， 设三角形ABC的外接圆半径为r，则 2 2 3 2 r ，所以 2 3 r ， 所以外接圆的面积为 2 4 3 Sr ， 故答案分别为： 2 2 3 ， 4 3 三三、解答题解答题：共共 70 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）2019 年入冬时节，长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会，增强身体素质，积 极开展冰上体育锻炼 现从速滑项目中随机选出 100 名参与者， 并由专业的评估机构对他们 的锻炼成果进行评估打分（满分为 100 分）并且认为评分不低于 80 分的参与者擅长冰上运 动，得到如图所示的频率分布直方图： （）求m的值； （）将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22列联表 补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有 关系？ 擅长不擅长合计 男生30 第 14页（共 21页） 女生50 合计100 2 ()P Kx 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参考公式及数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，nabcd 【解答】解： （）由图可知，(0.0050.0150.0200.0300.005) 101m， 解得0.025m ； （） 擅长不擅长合计 男性203050 女性104050 合计3070100 22 2 ()100(800300) 4.7626.635 ()()()()50503070 n adbc K ab cdac bd ， 故不能在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系 18 （12 分）如图，直三棱柱 111 ABCA BC中，底面ABC为等腰直角三角形，ABBC， 1 24AAAB，M，N分别为 1 CC， 1 BB的中点，G为棱 1 AA上一点，若 1 A B 平面MNG （）求线段AG的长； （）求二面角BMGN的余弦值 第 15页（共 21页） 【解答】解： （） 1 A B 平面MNG，GN在平面MNG内， 1 ABGN， 设 1 A B交GN于点E，在BNE中，可得 1 44 5 cos2 5164 BEBNABN ， 则 11 4 56 5 164 55 AEABBE， 在 1 AGE中， 1 1 1 6 5 5 3 4 cos 2 5 AE AG AAB ，则1AG ； （）以 1 B为坐标原点， 1 B B， 1 B C， 11 B A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 则(4B，0，0)，(2M，2，0)，(3G，0，2)，(2N，0，0)，故( 2,2,0),( 1,0,2)BMBG ， (0,2,0),(1,0,2)NMNG ， 设平面BMG的一个法向量为( , , )mx y z ，则 220 20 m BMxy m BGxz ，可取(2,2,1)m ， 设平面MNG的一个法向量为( , , )na b c ，则 20 20 n NMb n NGac ，可取(2,0, 1)n ， 设二面角BMGN的平面角为，则 5 |cos| |cos,| | |5 m n m n m n ， 二面角BMGN的余弦值为 5 5 第 16页（共 21页） 19 （12 分）已知数列 n a满足， 1 1a ， 2 4a 且 * 21 430() nnn aaanN （）求证：数列 1 nn aa 为等比数列，并求出数列 n a的通项公式； （）设2 nn bn a，求数列 n b的前n项和 n S 【解答】 （）证明：依题意，由 21 430 nnn aaa ，可得 21 43 nnn aaa ，则 2111 333() nnnnnn aaaaaa 21 413aa ， 数列 1 nn aa 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列 1 1 3 33 nn nn aa ， * nN 由上式可得， 1 21 3aa， 2 32 3aa， 1 1 3n nn aa ， 各项相加，可得： 第 17页（共 21页） 1 121 1 3313 3333 1322 n nn n aa ， 1 13131 331(31) 22222 nnn n aa ， * nN （）由（）知， 1 22(31)3 2 nn nn bn annn 构造数列 n c：令3n n cn 设数列 n c的前n项和为 n T，则 123 123 1 32 33 33n nn Tccccn， 23 31 32 3(1) 33 nn n Tnn， 两式相减，可得： 1 123 33233 23333333 1322 n nnnn n n Tnn ， 233 3 44 n n n T 故 12nn Sbbb 12 (1)(2)() n cccn 12 ()(12) n cccn (1) 2 n n n T 2 23311 3 4422 n n nn 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为A、B，焦距为 2，点P 为椭圆上异于A、B的点，且直线PA和PB的斜率之积为 3 4 （）求C的方程； （）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作/ /OMAP交椭圆于点M，试探究 2 | | | APAQ OM 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 【解答】解： （）有题意可得22c ，即1c ，(,0)Aa，( ,0)B a， 设( , )P x y，由直线PA和PB的斜率之积为 3 4 可得 3 4 yy xa xa ，即 2 22 3 4 y xa ， 第 18页（共 21页） 而P在椭圆上，所以 22 22 1(0) xy ab ab ， 22 2222 22 (1)() xb ybxa aa ， 所以 2 2 3 4 b a ，而 222 bac可得： 2 4a ， 2 3b ， 所以椭圆的方程为： 22 1 43 xy ； （）设直线AP的方程为：2xmy， 联立与椭圆的方程： 22 2 34120 xmy xy ，整理可得 22 (43)120mymy， 所以 2 12 43 P m yy m ，所以 2 12 43 P m y m ， 2 2 68 43 P m x m ， 所以 224222 22 22222 6812121212| 1 |(2)() 4343(43)43 mmmmmm AP mmmm ， 在2xmy中，令0 x ， 2 y m ，即 2 (0,)Q m ， 所以 2 22 22 1 |2() | m AQ mm ， 所以 2 2 1 | 6 43 m APAQ m ， 有题意设OM的方程为：xmy，代入椭圆中可得 22 (43)12my，所以 2 2 12 43 M y m ，所 以 2 2 2 12 43 M m x m ， 所以 2 222 2 12(1) | 43 MM m OMxy m ， 所以 2 2 22 2 6(1) | |61 43 12(1)|122 43 m APAQ m mOM m 为定值 21 （12 分）已知函数( ) x f xe （）求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）若对任意的mR，当0 x 时，都有 2 1 (2 ( )2 21mf xkm x 恒成立，求最大的整 数k 【解答】解：( )( ) x I fxe， 则曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线斜率kf（1）e， 又f（1）e， 第 19页（共 21页） 故曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程(1)yee x即yex， ()II因为 2 1 (2 ( )2 21mf xkm x 恒成立， 当0m 时，显然成立， 当0m 时，不等式可化为 2 12 21 2 ( ) km f x xm ， 令 11 ( )2 ( )2 x h xf xe xx ，则 2 1 ( )2 x h xe x ， 因为 2 1 ( )2 x h xe x 在(0,)上单调递增，且 1 ( )240 2 he， 3 3 3 ()23230 3 hee， 故存在 0 13 ( ,) 23 x 使得 0 0 2 0 1 ()20 x h xe x 当 0 (0,)xx时，( )0h x，函数单调递减，当 0 (xx，)时，( )0h x，函数单调递增， 故当 0 xx时，函数取得最小值 0 0 2 000 111 ()2 x h xe xxx ， 令 0 1 ( 3,2)t x ， 则 0 2 0 2 000 111 ()2(33,6) x h xett xxx ，将( )h x的最小值记为a，则(33,6)a 因此原式需要满足 2 2 21km a m 即 2 2 210