【终稿】2020届福州市高中毕业班第三次质量检查文科数学试卷（详解版）

准考证号姓名.（在此卷上答题无效）2020年福州市高中毕业班第三次质量检测数学（文科）试卷（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至3页，第卷4至6页 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集，集合，则ABCD【命题意图】本小题以集合为载体，考查集合的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，体现基础性【答案】D【解析】解法一：因为所以，故选D.解法二：因为排除选项A，C；同理，排除选项B；故选D.2. 已知纯虚数满足，则实数等于ABCD【命题意图】本小题以复数为载体，考查复数的纯虚数概念及复数四则运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算核心素养，体现基础性【答案】A【解析】解法一:设且则，故选A.故选A.解法二:.为纯虚数， 故选A.3. 曲线在处的切线方程为ABCD【命题意图】本题以导数的几何意义为载体，考查曲线在某点处的切线等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，体现基础性【答案】B【解析】当时，由得，所以该切线的斜率为，该切线方程为，即.故选B4. 执行如图所示的程序框图，则输出的 A1B 2C3D4【命题意图】本小题考查程序框图等基础知识，考查推理论证能力，考查逻辑推理核心素养，体现基础性【答案】C【解析】该框图的功能为求小于11的正整数中3的倍数的个数，故输出的值为3故选C5. 已知等差数列的前项和为，且，则的公差为ABCD【命题意图】本小题以数列为载体，考查等差数列的通项公式、前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、特殊与一般思想，考查数学运算核心素养，体现基础性【答案】 【解析】解法一：，所以，所以， 所以数列的公差故选B解法二：由题意得，即所以数列的公差故选B解法三：设数列的公差为，因为，所以即，解得故选B6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于这四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是A平均数相同B中位数相同C众数不完全相同D方差最大的是丁【命题意图】本小题以实际问题为载体，考查条形图、平均数、中位数、众数、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力与应用意识，考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、应用性【答案】D【解析】由图的对称性可知，平均数都为；由图易知，四组数据的众数不完全相同，中位数相同；记甲、乙、丙、丁图所对应的方差分别为，则，所以丙的方差最大故选D7. 为了得到曲线，只需把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移A个单位长度 B个单位长度C个单位长度D个单位长度【命题意图】本小题考查三角函数的图象变换、诱导公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性【答案】A【解析】把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，所以,即，故选A8. 已知平面两两垂直，直线满足：，则直线可能满足以下关系：两两相交；两两垂直；两两平行；两两异面其中所有正确结论的编号是ABCD【命题意图】本小题以空间直线和平面为载体，考查空间直线的位置关系，空间平面与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力，考查数学建模、数学抽象、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性【答案】C【解析】解法一：对于：如图，当时，直线两两垂直且两两相交，所以结论正确；对于：如图，假设，易证，因为平面两两垂直，所以，因为，所以，这与相矛盾，所以假设不成立，所以结论不正确；对于：如图，当分别平行于平面与，与，与的交线时，两两异面，所以结论正确；综上，结论正确的是，故选C.解法二：构造长方体，即可得结论.9. 已知椭圆的右焦点为，以上点为圆心的圆与轴相切于点，并与轴交于，两点若，则的焦距为A B C D【命题意图】本小题考查椭圆的方程及其椭圆的简单几何性质、平面向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性【答案】C【解析】解法一：设，则，圆的方程为，即，令，得，当时，.设，则，则，所以，解得，所以焦距为，故选C.解法二：设，则不妨设在上方，取中点，设，则，所以，解得，所以焦距为故选C解法三：设，则不妨设在上方，取中点，设，则，所以，解得，所以焦距为故选C10. 已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，当时，.若时，的最大值为，则A B C D 【命题意图】本小题考查函数的奇偶性、对称性，函数的最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性【答案】A【解析】由函数是偶函数，得关于对称，即，因为，所以，所以为奇函数因为在上最大值为，所以在上最小值为当时，令得，所以在(0,1)递减，在(1,2)递增，所以当时，取得极小值，即最小值，所以.故选A.11. 2019年世界读书日，陈老师给全班同学开了一份书单，推荐同学们阅读，并在2020年世界读书日时交流读书心得经了解，甲、乙两同学阅读书单中的书本有如下信息：甲同学还剩的书本未阅读；乙同学还剩5本未阅读；有的书本甲、乙两同学都没阅读则甲、乙两同学已阅读的相同的书本有A2本B4本C6本D8本【命题意图】本小题考查推理、集合、解方程、解不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性【答案】C【解析】解法一：如图，设甲阅读且乙未阅读的书本有本，乙阅读且甲未阅读的书本有本，甲和乙都已阅读的相同的书本有本，甲和乙都未阅读的相同的书本有本，其中，则故选C解法二：设这份书单共有本书，甲和乙已阅读的相同的书本有本依题意有，所以又因为即解得，又因为，所以是12的倍数，所以，所以故选C解法三：设这份书单共有本书，甲和乙已阅读的相同的书本有本有的书甲、乙两同学都没阅读，即有的书甲同学或乙同学读过，依题意有，所以又因为即解得，又因为，所以是12的倍数，所以，所以故选C解法四：设甲和乙已阅读的相同的书本有本，甲已阅读本书，未阅读本书；乙已阅读本书，有的书甲、乙两同学都没阅读，即有的书甲同学或乙同学读过，则有所以，又，所以，综上，依题意，为整数，所以为4的倍数，只能为4，从而故选C12. 若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为A.B.C .D. 【命题意图】本小题考查圆锥的内切球、几何体的体积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、考查数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模等核心素养，体现综合性、应用性和创新性【答案】D【解析】解法一：如图，设圆锥底面半径为，高为.由可得，即，则，所以，因为，所以，当且仅当，即时取等号，此时圆锥体积最小，最小值为.因为该球的体积为，所以该圆锥体积与其内切球体积比为，故选D.解法二: 如图，设圆锥底面半径为，高为.由可得，即，则，所以令，则,当时，；当时，；所以在上单调递减,在上单调递增,所以，即时,该圆锥体积最小, 最小值为.又其内切球体积为.所以该圆锥体积与其内切球体积比为，故选D.解法三：设，则，所以，又，所以，所以，令，因为，当且仅当时取得最大值，从而圆锥体积最小，最小值为.因为该球的体积为，所以该圆锥体积与其内切球体积比为，故选D.第卷注意事项：用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效本卷包括必考题和选考题两部分第 (13)(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 (22) 、(23) 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知向量，若夹角的余弦值为，则实数的值为【命题意图】本小题以平面向量为载体，考查平面向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查数学运算等核心素养，体现基础性【答案】.【解析】因为夹角的余弦值为，所以，解得14. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则的离心率为【命题意图】本小题以双曲线为载体，考查双曲线的简单几何性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查直观想象、数学运算核心素养，体现基础性【答案】.【解析】解法一：依题意，的焦点在轴上，设其方程为，它的渐近线方程为，与比较得，设，则，所以离心率解法二：设的方程为，因为过点，则，所以的方程为，所以，所以，所以离心率15. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以拆分为两个素数的和”，如，30有3种拆分方式；，6只有1种拆分方式.现从大于4且小于16的偶数中随机任取一个，取出的数有不止一种上述拆分方式的概率为【命题意图】本小题以数学文化为背景，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，考查数学建模、数学运算等核心素养，体现基础性、应用性【答案】.【解析】本题为古典概型概率求解问题，可求得大于4且小于16的所有偶数共5个，通过将这5个偶数进行拆分，发现都只有一种拆分；发现10=3+7=5+5，14=3+11=7+7都有两种拆分，故共有2个数有不止一种的拆分方式，因此所求概率为.16. “熔喷布”是口罩生产的重要原材料，1吨熔喷布大约可供生产100万只口罩2020年，制造口罩的企业甲的熔喷布1月份的需求量为100吨，并且从2月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙2020年1月份的产能为100吨，为满足市场需求，从2月份到月份，每个月比上个月增加一条月产量为50吨的生产线投入生产，从月份到9月份不再增加新的生产线计划截止到9月份，企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外，还剩余不少于990吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加条熔喷布生产线（参考数据：，）【命题意图】本小题以实际问题为背景，考查等差数列前n项和、等比数列前n项和、解不等式基础知识；考查运算求解能力、应用意识；考查数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养；体现综合性和应用性【答案】5【解析】依题意得，企业甲从2020年1月到9月的需求量为（吨）.易知，企业乙增加1条熔喷布生产线，不符合题意；依题意，当企业乙增加条熔喷布生产线时，从2020年1月到9月的“熔喷布”产量为，所以，即，记，则在上为减函数，又因为，所以最小值为6，所以企业乙至少需要增加5条生产线三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，是上的点，平分，求的面积【命题意图】本小题以解三角形为载体，考查正弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性【解析】解法一：（1）因为且，所以，1分根据正弦定理，得，3分因为，所以，所以，4分因为，所以5分（2）由（1）知，因为，所以的面积，7分因为是上的点，平分，所以，9分因为，10分所以.12分解法二：（1）根据正弦定理，得，及得，所以，2分又因为，所以，3分所以，4分因为，所以5分（2）由（1）知，因为，所以的面积，7分因为是上的点，平分，所以的面积，8分所以的面积，9分因为，10分所以，所以.11分所以12分18. （本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为药，药）的疗效，某机构随机地选取 位患者服用药，位患者服用药，观察这位患者的睡眠改善情况这些患者服用一段时间后，根据患者的日平均增加睡眠时间（单位：），以整数部分当茎，小数部分当叶，绘制了如下茎叶图：药药8 7 359 8 7 7 6 5 4 3 3 2 0 05 2 1 00.1.2.3.4 5 7 8 91 2 2 3 4 5 6 7 8 91 6 72 3（1）根据茎叶图判断哪种药对增加睡眠时间更有效？并说明理由；（2）求这名患者日平均增加睡眠时间的中位数，并将日平均增加睡眠时间超过和不超过的患者人数填入下面的列联表：超过不超过服用药服用药（3）根据（2）中的列联表，能否有的把握认为两种药的疗效有差异？附： .0.010.0050.0016.6357.87910.828【命题意图】本小题以“治疗失眠症的药”为载体设计试题，主要考查茎叶图、样本的数字特征、独立性检验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想，考查数学抽象、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性与应用性【解析】(1)（以下理由任说一种都可得4分）从以上茎叶图可以看出，药疗效的试验结果有的叶集中在茎和上，而药疗效的试验结果有的叶集中在茎和上，由此可看出药的疗效更好从茎叶图的分布情况可以看出，服用药的患者日平均增加睡眠时间的平均数大于，而服用药的患者日平均增加睡眠时间的平均数小于，因此可知药的疗效更好由茎叶图可知，服用药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是，而服用药的患者日平均增加睡眠时间的中位数是，因此药的疗效更好由茎叶图可知，服用药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎上的最多，关于茎 大致呈对称分布；而服用药的患者日平均增加睡眠时间分布在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布；又患者在服用两种药后日平均增加睡眠时间分布的区间相同，故可以认为服用药的患者日平均增加睡眠时间比服用药的患者日平均增加睡眠时间更多，因此药的疗效更好4分 （2）由茎叶图可知，组数据的中位数为，6分 因此列联表如下：超过不超过服用药服用药8分（3）由于，11分所以有的把握认为两种药的疗效有差异12分19. （本小题满分12分）如图，在多面体中，平面平面，（1）求多面体的体积；（2）已知是棱的中点，在棱是否存在点使得，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查线面平行、线面垂直的判定与性质、空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性【解析】解法一：（1）如图，作交的延长线于，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，2分所以为点到平面的距离. 3分因为，所以，4分又，5分所以.6分（2）假设棱上存在点，使得.连接，取的中点，在中，因为分别为的中点，所以.8分因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以与重合.因为点在线段上，所以，又，所以是与的交点，即就是，而与相交，10分这与相矛盾，11分所以假设不成立，故棱上不存在点使得.12分解法二：（1）因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，2分依题意，所以3分在梯形中，由知，4分所以，5分所以6分（2）假设棱上存在点，使得，显然与点不同，所以四点共面，记该平面为，8分所以，又，所以，所以共面于，10分这与为四棱锥相矛盾，11分所以假设不成立，故棱上不存在点使得.12分20. （本小题满分12分）已知抛物线，直线与交于，两点，为的中点，为坐标原点.（1）求直线斜率的最大值；（2）若点在直线上，且为等边三角形，求点的坐标.【命题意图】本小题以抛物线为载体考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、直观想象能力，考查函数与方程、数形结合等数学思想，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性【解析】解法一：（1）设，由，消去得，1分且.2分所以因为为的中点，所以的坐标为，即，3分又因为，所以，5分（当且仅当，即等号成立.）所以直线的斜率的最大值为6分（2）由（1）知，=，8分由得，9分因为为等边三角形，所以，10分所以，所以，所以，解得因为所以，11分则，直线的方程为，即，所以时， 所以所求的点的坐标为. 12分解法二：（1）设，因为为的中点，且直线，所以1分由得所以所以即.2分所以即，3分又因为，所以，5分（当且仅当，即等号成立.）所以直线的斜率的最大值为6分（2）由，消去得，且.7分=，8分由（1）知，的中点的坐标为，所以线段的垂直平分线方程为：.令，得线段的垂直平分线与直线交点坐标为9分因为为等边三角形，所以，10分所以，所以，所以，解得因为所以，11分则，直线的方程为，即，所以时，所以所求的点的坐标为. 12分21. （本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数有两个极值点，若恒成立，求实数m的取值范围【命题意图】本小题主要考查函数和导数及其应用、函数的单调性、函数的极值、以及不等式恒成立基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、创新意识等，考查分类与整合思想、数形结合思想，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性【解析】（1）因为，所以1分令，当，即时，即，所以函数单调递增区间为2分当，即或时，若，则，即，所以函数单调递增区间为3分若，令，得.由，即得或；由，即得所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为5分综上，当时，函数单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为6分(2)由（1）得，若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，由（1）知.则，则，8分要使恒成立，只