二用数学归纳法证明不等式.ppt

用数学归纳法证明不等式,什么是数学归纳法?,一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.,用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题对几个正整数成立.(2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推下去,所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,是否正确.在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以证明.完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论.,用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：,明确初始值n0并验证真假。（必不可少）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。,重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。,可明确为：,数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。,数学归纳法的核心思想,二.用数学归纳法证明不等式问题,数学归纳法证明不等式补充例题,例1:用数学归纳法证明:,证:(1)当n=2时,左边=不等式成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,由(1)、(2)原不等式对一切都成立.,例2:证明不等式:,证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2,不等式显然成立.,(2)假设当n=k时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都成立.,例3:已知:求证:,证:(1)当n=2时,故原不等式成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即,则当n=k+1时,注意到a,b0,我们有:,故即当n=k+1时,不等式也成立.,由(1)、(2)原不等式对一切都成立.,1.求证:,证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于故不等式成立.,(2)假设n=k()时命题成立,即,则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)原不等式对一切都成立.,1.求证:,练习3:已知求证:.,证:(1)当n=2时,不等式成立.,(2)