一动点到两定点的距离最值

一动点到两定点的距离最值熊明军在学习三角形时，我们知道了三角形的三边之间有一个不等关系：“三角形的两边之和大于第三边”；“三角形的两边之差小于第三边”。借助这个三角不等式，再结合典型例题，我们可以得到一个动点到两个定点距离最值问题的研究方法与相关结论。一、典型例题的回顾【例题】已知有一段河岸相互平行的一条河，在河岸的一侧有两个村庄，如下图。现在政府为了让两个村庄用上自来水，决定出资在河岸边建一个自来水厂，并在村庄与水厂之间铺设输水管道输水，为了降低成本，就必须使铺设的管道总长度最短，那么自来水厂应该建在河岸的什么位置，用尺规作图在图中标出。【解析】假设靠近村庄的河岸为线段，村庄是两个固定的点，此题的意思就是问：在线段上有一个动点，求在线段上移动到什么位置才能使最短。结论：直线上一动点到两个定点距离之和最小问题，要根据点对称将两个定点转化到直线的两侧；直线上一动点到两个定点距离之差最大问题，要根据点对称将两个定点转化到直线的同侧。二、研究问题的理论法则一：平面上一动点到两个定点的距离之和有最小值，当且仅当在线段之间时取最小值。法则二：平面上一动点到两个定点的距离之差有最大值，当且仅当在线段的延长线上时取最大值。注意：一动点到两定点距离最值的取得都是使动点与定点转化到一条直线上；如若不在一条直线上，就必须借助题中的条件与相关结论转化之。注意：平面上一动点到两个定点的距离之和有最小值；距离之差有最大值。如若出现动点到两个定点的距离之和有最大值；距离之差有最小值，就必须使之转化为法则中的情况，即：距离之和最小值；距离之差最大值。【证明】（法则一）已知平面上两个动点，是平面上任意一个动点，如下图：当动点与定点不共线时，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可知；当动点与定点共线，且在线段的延长线上时，显然有；当动点与定点共线，且在线段之间时，显然有；综上所述，当且仅当动点在线段之间时取最小值。【证明】（法则二）已知平面上两个动点，是平面上任意一个动点，如下图：当动点与定点不共线时，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”可知；当动点与定点共线，且在线段之间时，显然有；当动点与定点共线，且在线段的延长线上时，显然有；综上所述，当且仅当动点在线段的延长线上时取最大值。三、典型例题的讲解动点在直线上【例一】已知点，点是直线上的动点，求的最小值及的最大值。 【解析】在平面直角坐标系中做出题中所给的直线图象与相应的点，如上右图所示：如右图可知在直线同侧，要取的最小值，根据法则一可知，必须使动点在线段之间，显然这是不可能的。所以必须把两定点中的一个对称到直线另一侧（本题解法采用作的对称点得），连结，这样就很好的满足了法则一：只要动点在线段之间就有最小值。因此，如左图所示，直线上的点就是使有最小值的点，计算得。如右图可知在直线两侧，要取的最大值，根据法则二可知，必须使动点在线段的延长线上，显然这是不可能的。所以必须把两定点中的一个对称到直线另一侧（本题解法采用作的对称点得），连结，这样就很好的满足了法则二：只要动点在线段的延长线上就有最大值。即如左图所示直线上的点就是使有最大值的点，计算得。动点在圆上【例二】已知点和圆，一束光线从点发出，经过轴反射到圆的圆周上，求光线从点发出到圆周上走过的最短路程。 【解析】在平面直角坐标系中做出题中所给圆的图象与相应的点，如上右图所示。本题看似有两个动点，与，但是由于圆的特殊性，到圆周上的点距离可以转化为到圆心的距离，如此，本题题意就是在直线的同侧有两个定点，找该直线上一动点，使有最小值。，圆，作点关于直线的对称点得，利用法则一，可得的最小值为点在线段之间时取得；光线从点发出到圆周上走过的最短路程为。动点在圆锥曲线上【例三】（动点在椭圆上）设分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任一动点，已知点，求的最大值。【解析】显然为两定点，为动点，由法则一可知只能求最小值，没有最大值；但题中偏偏让我们求最大值，这就意味着我们得利用题中的条件把转化为动点到两定点的差的形式，这样方能求解。利用椭圆的定义把求的最大值转化成了求的最大值，利用法则二可知，当动点在线段延长线上时，如上右图所示，有最大值。即。【例四】（动点在双曲线上）设分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上任一动点，已知点，求的最小值。【解析】显然为两定点，为动点，由法则二可知没有最小值；但题中让我们求最小值，同例三，只要利用条件把转化为动点到两定点的和的形式就能求解。利用双曲线的定义把求的最小值转化成了求的最小值，利用法则二可知，当动点在线段上时，如上右图所示，有最小值。即。【例五】（动点在抛物线上）设是抛物线的焦点，是抛物线上的任一动点，已知点，求的最小值。【解析】为两定点，为动点，由法则一可知点若能在线段之间，可立即得到的最小值，在平面直角坐标中做出抛物线及相应的点，如上左图所示。在抛物线中，由定义可得动点到焦点的距离等于动点到准线的距离，即，所以。显然，当动点运动到如上右图