2016-2017学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积学案-资料

3.1.5空间向量的量积1.理解空间向量夹角的概念，理解空间向量量化积的概念、性质和运算规律。2.掌握空间向量的数量积及其应用。(重点和难点)3.理解矢量夹角和直线夹角的区别。基础勘探教材编排1空间矢量的角度阅读P91P92的前半部分，完成下列问题。a和b是空间中的两个非零向量。如果它们穿过空间中的任何一点o，并且make=a，=b，那么AOB被称为向量a和向量b之间的角度，表示为，并且a和b的范围是0，。如果=，那么a和b互相垂直，这表示为 b如图3125所示，在立方体ABCDA1B1C1D1中，找到矢量的大小和夹角。图3125解决方案:CAD1的面积等于。* ACD 1是一个正三角形，CAD1=,=.矢量和夹角的值为。教科书编排2空间向量的数积阅读教材P92案例1的以上部分，完成下列问题。1.数量产品的定义假设A和B是空间中的两个非零向量。我们称量| A | | B | COS u A，B u向量A和B的量的乘积为ab，即AB=| A | | B | COS u A，B u B。规定：零矢量和任意矢量的乘积是0。2.量的乘积的性质(1) cosa，b=(a，b是两个非零向量)。(2)Bab=0(a，b是两个非零向量)。(3)|a|2=aa=a23.量积计算定律(1)ab=ba；(2)(a)b=(ab)(R)；(3)a(b+c)=ab+ac。1.判断(正确打勾和错误打勾)(1)如果ab=0，a=0或b=0。()(2)在ABC中，=b .()(3)两个向量的乘积是量，不是向量。()(4)如果a和b都是非零向量，ab=| a | | b |是a和b共线的一个充分必要条件。()回答 (1) (2) (3) (4)2.给定| a |=，| b |=，ab=-，a和b之间的角度是_ _ _ _ _ _。学生指导编号：cos u a，b u=-，和u a，b u0，“a，b u=.回答教材编排3中数量乘积的坐标表示阅读教材P93P94中上述3个案例，完成下列问题。1.如果A=(X1，y1，z1)和B=(X2，y2，z2)，则(1)ab=x1x2+y1y2+z1z2。(2)abab=0x1x2+y1y2+z1z2=0(a0,b0).(3)|a|=。(4)cos u a，b u(a0，b0)。2.两点间空间距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，ab=。1.如果a=(-1，0，2)，b=(x，y，1)和ab，则x=_ _ _ _。分析ab ab=-x2=0，结果x=2。回答 22.与矢量A=(1，2，2)方向相同的单位矢量是_ _ _ _ _ _ _ _。分辨率 | A |=3，所以与A方向相同的单位矢量是=(1，2，2)=。回答提问笔记预览后，请记录您的问题并与您的“朋友”讨论：问题1:消除疑虑：问题2:消除疑虑：问题3:消除疑虑：集团合作求空间向量的量积众所周知，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ab=aa1=2，ad=4，e是边AA1B1B的中心，f是A1D1的中点。找出下列向量的乘积。(1)；(2)。精彩点方法1(基础向量法):和之间的夹角，不容易找到，可以考虑用向量，来表示向量，然后找到结论。方法2(坐标法):建立一个系统找到相关点的坐标矢量坐标数量积。自治解决方案方法1(基向量法):如图所示，if=a，=b，=c，| a |=| c |=2，| b |b|=4，ab=BC=ca=0。(1)=(+)=b=|b|2=42=16。(2)=(+)=(a+c)=| c | 2-| a | 2=22-22=0。方法二(坐标法):建立一个以A为原点的空间直角坐标系，如图所示，然后是B(2，0，0)，C(2，4，0)，E(1，0，1)，D1(0，4，2)，F(0，2，2)，A(0，0，0)，B1(2，0，2)，=(0,4,0),=(-1,4,1),=(-2,2,2),=(2,0,2)，(1)=0(-1)+44+01=16。(2)=-22+20+22=0。解决这些问题的常用方法1.基础向量法：首先选择基础向量，然后用基础向量来表示相关向量，最后用量的乘积的定义来计算。注：基矢量的选择应合理，一般选择模式和夹角已确定的矢量。2.协调方法：对于构建系统相对方便的主题，使用这种方法相对简单。建立系统后只需找出相关点的坐标，然后得到矢量的坐标，再用量的乘积的坐标公式来计算。还有一个问题1.在上面的例子1中，询问。方法1:=(-a b c)=-|a|2+|b|2=2。方法二：建立一个以a为原点的空间直角坐标系，然后是E(1，0，1)，F(0，2，2)，C1(2，4，2)，=(-1，2，1)，=(2，2，0)，=-12+22+10=2.用量的乘积计算夹角和距离如图3126所示，平行六面体ABCDABCD ，ab=4，ad=3，aa=5，bad=90，baa= Daa=60。(1)求出交流电的长度；(2)求夹角的余弦值。图3126精彩指点为了找到线段长度，用矢量法求解。关键是找到代表交流的基本矢量。只要知道模块和夹角，问题就可以解决。求夹角是矢量积的倒数。:|2=(+)2=|2+|2+|2+2(+)=42+32+52+2(0+10+7.5)=85。|=.(2)方法1:用设定夹角，abcd是矩形， | |=5。由余弦定理获得cos =。方法2:设置=a，=b，=c，根据题目=(a b c) (a b)=a2+2ab+b2+ac+bc=16+0+9+45cos 60+35cos 60=16+9+10+=，cos =。1.求两点之间的距离或线段的长度就是用向量来表示线段，然后用|a| 2=aa，即|a|=来求| a |。2.对于空间矢量a，b，有cos =。利用这一结论，可以更方便地解决不同平面的直线所形成的角度问题。由于矢量夹角的取值范围是0，不同平面的直线形成的角度取值范围是，当时，它们相等；当“a，b”时，它们是互补的。还有一个问题2.如图3127所示，在正四面体ABCD中，m和n分别是边BC和AB的中点，并且集合=a，=b，=c(1)用a、b和c分别表示矢量；(2)求直线DM和CN在不同平面上形成的夹角的余弦。图3127解决方案(1)=()=(-)=(a-c)+(b-c)=(a+b-2c)，=(+)=(-)-=(a-b)-b=(a-2b)。(2)如果边长为1，即| a |=| b |=| c |=1且=，则| |=| | |=。还=(a b-2c) (a-2b)=(a2+ab-2ac-2ab-2b2+4bc)=-，cos,=-.非共面直线DM和CN形成的角度的余弦值为。用数量积解决平行和垂直问题称为a=( 1，1，2)，b=(6，2m-1，2)。(1)如果a b，分别求出和m的值；(2)如果| a |=，并且垂直于c=(2，-2，-)，则找到a。精彩指点通过向量平行、垂直和向量模方程求解。(1)ab(+1，1，2)=k(6，2m-1，2)，问题可以解决实数=，m=3。(2)a |=，和ac、简化并得到=-1。因此，a=(0，1，-2)。向量平行问题和垂直问题主要有两种类型1.平行和垂直判断2.使用平行和垂直查找参数或其他问题，即平行和垂直应用。还有一个问题3.如图3128所示，在直三棱镜ABCA1B1C1中，ca=CB=1，BCA=90，边aa1=2，m是A1B1的中点。核实：A1BC1M.图3128证明如图所示，空间直角坐标系Cxyz以、为正交基建立。B(0，1，0)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2)，然后m，2，so=(-1，1，-2)，=，=- 0=0，苏A1BC1M.调查合作研究空间矢量积的运算特征探索1-标量积运算是否满足消去律？提示对于不是0的三个实数，如果AB=AC，那么B=C。对于三个非零向量，如果AB=AC，那么B=C不能被获得，也就是说，向量不能被近似地除。如图所示，在三角金字塔SABC，SC飞机ABC，然后SCAC，SCBC.设置=a，=b，=c，然后ab=AC=0，但b c探索2-数量产品操作中是否存在划分？提示量化积的运算不满足除法，也就是说，对于向量A和B，如果AB=K，A=，例如，当非零向量A和B是垂直的，AB=0，但A=显然是没有意义的。3-标量积满足结合律吗？tip定义为(ab) c=(| a | | b | cos ) c，即(ab)c=1c；A(bc)=a (| b | | c | cos )，即a (BC)= 2a，因此，(ab)c表示与c共线的向量，而A(bc)表示与a共线的向量，并且a和c不一定共线，因此(ab) c=a (BC)不一定为真。如图3129所示，已知正四面体OABC的边长为1。查找：(1)；(2)(+)(+)；(3)|+|。图3129妙点在正四面体OABC中，的模和夹角都是已知的，因此相关向量可以用、线性表示，然后结合空间向量量积的运算规律和运算性质求解。自治解在正四面体OABC中，| |=| |=| |=1，、=60。(1)=| | | cosAOB=11cos 60=。(2)(+)(+)=(+)(-+-)=(+)(+-2)=+2-2+2-2=12+2-211cos 60+12-211cos 60=1+1-1+1-1=1。(3)|+|=。还有一个问题4.如果3B垂直于7A-5B，而A-4B垂直于7A-2B，那么。学生指导编号：根据条件，(a 3b) (7a-5b)=7 | a | 2 16ab-15 | b | 2=0，和(a-4b) (7a-2b)=7 | a | 2 8 | b | 2-30ab=0。减去这两个公式得到46ab=23 | b | 2和8756；ab=| b | 2。代入上述两个方程中的任何一个都可以得到| a |=| b |。cosa,b=.a,b0,180,a,b=60.回答 60建筑系统1.如果向量A=(4，-2，-4)和B=(6，-3，2)是已知的，那么(甲乙)(A-B)的值是_ _ _ _ _ _。分辨率甲乙=(10，-5，-2)，A-B=(-2，1，-6)，(a+b)(a-b)=-20-5+12=-13.回答 132.已知向量A=(2，-3，0)，B=(k，0，3)。如果A和B成120度角，那么k=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。因为a，B=-，K=-.回答3.如图3130所示，已知正三棱镜ABCA1B1C1的所有边缘长度相等，m是侧边缘CC1的中点，并且由非平面直线AB1和BM形成的角度是_ _ _ _ _ _。图3130分析=，=，将边长设置为1。又是一次=+=-+0+0+=0，cos,=0，直线AB1和BM形成的角度是90。回答 904.假设正方形ABCD的边长是2，e是CD的中点，则=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析=，=-，=(-)=2-+-2=4-0+0-2=2。回答 25.如图3131所示，在空间四边形OABC中，OA=8，ab=6，AC=4，BC=5，oac=45，并且oab=60，找到由OA和BC形成的角度的余弦。图3131解决方案从问题的含义=-，=-=| | | cos uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu=84cos 135-86cos 120=24-16，cos=，OA和BC形成的角度的余弦值是。我仍然有这些不足之处：(1)(2)课后我的晋升计划：(1)(2)学术分层评估(建议时间：45分钟)学术成就一、填空1.如果向量a=(1，1，x)，b=(1，2，1)，c=(1，1，1)满足条件(c-a) (2b)=-2，则x=_ _ _ _ _ _ _。分辨率a=(1，1，x)，b=(1，2，1)，c=(1，1，1)，c-a=(0，0，1-x)，2b=(2，4，2)，(c-a)(2b)=2(1-x)=-2,x=2.回答 22.在平行六面体中，向量、和之间的角度是60，并且| |=1，| |=2，| | |=3，然后| |等于_ _ _ _ _ _。学生指南号码：分辨率 set=a，=b，=c，然后=a b c。2=a2 B2 C2 2ac 2bc 2ca=25，所以| |=5。回答 53.如果已知A(2，-5