2015年高考全国卷2理科数学试题及答案解析(word精校版)

2015 年高考全国卷2理科数学试题及答案解析 （word 精校版） 注意事项： 1本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的 姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2回答第 I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 （1）已知集合 A= -2，-1,0，1,2 ，B= x|（X-1 ） （x+2） 0,则 AB=（） （A） -1,0（ B） 0,1 （C） -1,0,1（D） ,0,，1，2 【答案】 A 【解析】由已知得 21Bxx，故1,0AB，故选 A （2）若 a为实数且（ 2+ai） （a-2i）=-4i, 则 a=（） （A）-1 （B） 0 （C）1 （D）2 【答案】 B （3）根据下面给出的2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不 正确的是 ( ) （A）逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B）2007 年我国治理二氧化硫排放显现 （C）2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D）2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】 D 【解析】由柱形图得，从2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相 关 （4）等比数列an满足 a1=3， 135 aaa=21，则 357 aaa( ) （A）21 （ B）42 （C） 63 （D）84 【答案】 B （5）设函数 2 1 1log (2),1, ( ) 2,1, x x x f x x , 2 ( 2)(log 12)ff( ) （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 【答案】 C 【解析】由已知得 2 ( 2)1log 43f，又 2 log 121，所以 22 log 12 1log 6 2 (log 12)226f， 故 2 ( 2)(log 12)9ff （ 6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部 分体积的比值为 （A） 8 1 （B） 7 1 （C） 6 1 （D） 5 1 【答案】 D 【解析】由三视图得，在正方体 1111 ABCDA BC D中，截去四面体 111 AAB D，如图所示，设正 方体棱长为a，则 111 33 111 326 AA B D Vaa，故剩余几何体体积为 333 15 66 aaa，所以截去部 分体积与剩余部分体积的比值为 5 1 C B A D D1C1 B1 A1 （7）过三点A（1,3） ，B（4,2） ，C（1,-7）的圆交于y 轴于 M、N 两点，则MN= （A）26（B）8 （ C）46（D）10 【答案】 C （8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“ 更相减损术 ” 。执行该程序 框图，若输入a,b 分别为 14,18，则输出的a= A.0 B.2 C.4 D.14 【答案】 B 【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为14a，18b；4b；10a；6a；2a； 2b，此时2ab程序结束，输出a的值为 2，故选 B （9）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最 大值为 36，则球 O 的表面积为 A36 B.64 C.144 D.256 【答案】 C 【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球 O的半径为R，此时 23 111 36 326 OABCCAOB VVRRR，故6R，则球O的表面积为 2 4144SR，故选 C B O A C 10.如图，长方形ABCD 的边 AB=2 ，BC=1 ，O 是 AB 的中点，点P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动， 记 BOP=x 将动点 P 到 A、B 两点距离之和表示为x 的函数 f（x） ，则 f（x）的图像大致为 【答案】 B 的 运 动过程可以看出，轨迹关于直线 2 x对称，且()() 42 ff，且轨迹非线型，故选B （11）已知 A，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在 E 上， ?ABM 为等腰三角形，且顶角为120 ， 则 E 的离心率为 （A）5 （B）2 （ C） 3 （D）2 【答案】 D （12）设函数f (x) 是奇函数( )()f xxR的导函数， f（-1）=0，当0 x时， ( )( )0 xfxf x， 则使得( )0f x成立的 x 的取值范围是 （A）（B） （C）（D） 【答案】 A 【解析】 记 函 数 ( ) ( ) f x g x x ， 则 2 ( )( ) ( ) xfxf x g x x ， 因 为 当0 x时 ， ( ) ( )0 xfxf x， 故 当 0 x时， ( )0g x，所以( )g x在(0,)单调递减；又因为函数( )()f xxR是奇函数，故函数 ( )g x是 偶 函 数 ， 所 以( )g x在(,0)单 调 递 减 ， 且( 1)(1)0gg 当01x时 ， ( )0g x，则( )0f x；当1x时，( )0g x，则( )0f x，综上所述，使得( )0f x成立 的x的取值范围是 (, 1)(0,1)，故选 A 二、填空题 （13）设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_ 【答案】 1 2 【解析】因为向量ab与2ab平行，所以2abk ab（），则 12 , k k ， 所以 1 2 （14）若 x，y 满足约束条件 10 20, 220, xy xy xy ， ，则zxy的最大值为 _ 【答案】 3 2 x y 12341234 1 2 3 4 1 2 3 4 D C B O （15） 4 ()(1)axx的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a_ 【答案】3 【解析】由已知得 4234 (1)1 464xxxxx，故 4 ()(1)axx的展开式中x 的奇数次幂项 分别为4ax， 3 4ax，x， 3 6x， 5 x，其系数之和为441+6+1=32aa，解得3a （16）设 n S是数列 n a的前 n 项和，且 1 1a， 11nnn aS S，则 n S_ 【答案】 1 n 【解析】由已知得 111nnnnn aSSSS，两边同时除以 1nn SS，得 1 11 1 nn SS ，故数列 1 n S 是以1为首项，1为公差的等差数列，则 1 1(1) n S nn，所以 1 n S n 三解答题 （17）?ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC ，?ABD 是 ?ADC 面积的 2 倍。 ()求 C B sin sin ; () 若AD=1，DC= 2 2 求BD和AC的长 . (18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对 产品的满意度评分如下： A 地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的 平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： 满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分 满意度等级不满意满意非常满意 记时间 C：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级” 。假设两地区用户的评价结果 相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率 19 （本小题满分12 分） 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上， A1E = D1F = 4，过点E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面 所成的角的正弦值。 D D1C1 A1 E F A B C B1 20 （本小题满分12 分） 已知椭圆 C： 222 9(0)xymm，直线 l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点A， B，线段 AB 的中点为M。 （1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若 l 过点 (,) 3 m m ，延长线段OM 与 C 交于点 P，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能， 求此时 l 的斜率；若不能，说明理由。 21 （本小题满分12 分） 设函数 2 ( ) mx f xexmx 。 （1）证明：( )f x 在 (,0) 单调递减，在(0,) 单调递增； （2）若对于任意 12 , 1,1x x，都有 12 |()() |1f xf xe，求 m 的取值范围。 请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写 清题号 22 （本小题满分10 分） 选修 4 - 1：几何证明选讲 如图，O 为等腰三角形ABC 内一点， O 与 ABC 的底 边 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高AD 交于点 G，且与AB ， AC 分别相切