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Matlab常微分方程求解,科学技术和工程中许多问题是用微分方程的形式建立数学模型，因此微分方程的求解有很实际的意义。一、常微分方程（组）的符号解二、常微分方程（组）数值解,一、常微分方程（组）的符号解,函数dsolve格式：r=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v),说明(1)对给定的常微分方程（组）eq1,eq2,中指定的符号自变量v，与给定的边界条件和初始条件cond1,cond2,.求符号解（即解析解）r；,(2)若没有指定变量v，则缺省变量为t；,(3)在微分方程（组）的表达式eq中，大写字母D表示对自变量(设为x)的微分算子：D=d/dx，D2=d2/dx2，。微分算子D后面的字母则表示为因变量，即待求解的未知函数。初始和边界条件由字符串表示：y(a)=b，Dy(c)=d，D2y(e)=f，等等，分别表示,(4)若边界条件少于方程（组）的阶数，则返回的结果r中会出现任意常数C1，C2，；,(5)dsolve命令最多可以接受12个输入参量（包括方程组与定解条件个数，当然我们可以做到输入的方程个数多于12个，只要将多个方程置于一字符串内即可）。,(6)若没有给定输出参量，则在命令窗口显示解列表。若该命令找不到解析解，则返回一警告信息，同时返回一空的sym对象。这时，用户可以用命令ode23或ode45求解方程组的数值解。,例1,dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0,x),ans=cos(a*x),dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0),例2,u,v=dsolve(Du=v,Dv=u),u=C1*exp(-t)+C2*exp(t)V=-C1*exp(-t)+C2*exp(t),二、常微分方程（组）数值解,Matlab专门用于求解常微分方程的函数，主要采用Runge-Kutta方法：ode23,ode45,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb,二、常微分方程（组）数值解,T,Y=solver(odefun,tspan,y0),T,Y=solver(odefun,tspan,y0,options),T,Y=solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2),参数说明：,（1）solver为命令Ode45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb之一。（2）odefun为常微分方程y=f(x,y)，或为包含一混合矩阵的方程(x,y)*y=f(x,y).（3）tspan积分区间（即求解区间）的向量tspan=t0,tf。要获得问题在其他指定时间点t0,t1,t2,上的解，则令tspan=t0,t1,t2,tf（要求是单调的）。,参数说明：,（4）y0包含初始条件的向量。（5）options用命令odeset设置的可选积分参数.（6）p1,p2,传递给函数odefun的可选参数。,在区间tspan=t0,tf上，从t0到tf，用初始条件y0求解显式微分方程y=f(t,y)。对于标量t与列向量y，函数f=odefun(t,y)必须返回一f(t,y)的列向量f。解矩阵Y中的每一行对应于返回的时间列向量T中的一个时间点。要获得问题在其他指定时间点t0,t1,t2,上的解，则令tspan=t0,t1,t2,tf（要求是单调的）。,T,Y=solver(odefun,tspan,y0),用参数options（用命令odeset生成）设置属性（代替了缺省的积分参数），再进行操作。常用的属性包括相对误差值RelTol（缺省值为1e-3）与绝对误差向量AbsTol（缺省值为每一元素为1e-6）。,T,Y=solver(odefun,tspan,y0,options),将参数p1,p2,p3,.等传递给函数odefun，再进行计算。若没有参数设置，则令options=。,T,Y=solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2),求解具体ODE的基本过程：,（1）根据问题所属学科中的规律、定律、公式，用微分方程与初始条件进行描述。F(y,y,y,y(n),t)=0y(0)=y0,y(0)=y1,y(n-1)(0)=yn-1而y=y;y(1);y(2);,y(m-1)，n与m可以不等,求解具体ODE的基本过程：,（2）运用数学中的变量替换：yn=y(n-1),yn-1=y(n-2),y2=y,y1=y，把高阶（大于2阶）的方程（组）写成一阶微分方程组：,（3）根据（1）与（2）的结果，编写能计算导数的M-函数文件odefile。（4）将文件odefile与初始条件传递给求解器Solver中的一个，运行后就可得到ODE的、在指定时间区间上的解列向量y（其中包含y及不同阶的导数）。,不同求解器Solver的特点,不同求解器Solver的特点,参数设置,参数设置,参数设置,参数设置,参数设置,参数设置,例3,创建函数function2,保存在function2.m中functionf=function2(t,x)f=-x.2;,在命令窗口中执行t,x=ode45(function2,0,1,1);plot(t,x,-,t,x,o);xlabel(timet0=0,tt=1);ylabel(xvaluesx(0)=1);,例4,创建函数function3,保存在function3.m中：functionf=function3(t,x)f=x(1)-0.1*x(1)*x(2)+0.01*t;.-x(2)+0.02*x(1)*x(2)+0.04*t;,运行命令文件runf3.mt,x=ode45(function3,0,20,30;20);plot(t,x);xlabel(timet0=0,tt=20);ylabel(xvaluesx1(0)=30,x2(0)=20);,例5,创建函数function4，存在function4.m中functionf=function4(t,x)glo