拉普拉斯变换例题解析

第二章：控制系统的数学模型 第二章：控制系统的数学模型 2.1 引言 2.1 引言 系统数学模型描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达 式。 建模方法 实验法（辩识法） 机理分析法 本章所讲的模型形式 复域：传递函数 时域：微分方程 2.2 控制系统时域数学模型 2.2 控制系统时域数学模型 1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 Cr uRi dt di Lu+= c iC u= & ccc uuCRuCL+ = 11 ccc R uuuur LLCLC += 2 阶线性定常微分方程 （2）弹簧阻尼器机械位移系统 分析 A、B 点受力情况 02 B 0A A Ai1 xk)xxf()xx(k=& 由 A1Ai1 xk)xx(k= 解出 0 1 2 iA x k k xx= 代入 B 等式： 0200 1 2 i xk)xx k k xf(=& 020 1 2 i xkx) k k 1f(xf+=& 得：() i1021021 xfkxkkxkkf&=+ 一阶线性定常微分方程 （3）电枢控制式直流电动机 电枢回路： ba EiRu+=克希霍夫 电枢及电势： meb CE=楞次 电磁力矩：安培 iCM mm = 力矩方程： mmmmm MfJ=+& 牛 顿 变量关系： m m b a M E i u 消去中间变量有： ammmm ukT=+& + = + = 传递函数 时间函数 CCfR C k CCfR RJ T mem m m mem m m （4）X-Y 记录仪（不加内电路） = = = =+ = = l l 4p 3 m2 ammmm 1a pr ku : k : k : ukT : uku : u-uu : 电桥电路 绳轮 减速器 电动机 放大器 比较点 & & am r p uu u u l 消去中间变量得： am321m4321m ukkkkkkkkkT=+lll & & 二阶线性定常微分方程 即： a m m321 m m4321 m u T kkkk l T kkkkk l T 1 l=+ & & 2、 线性系统特性满足齐次性、可加性 ? 线性系统便于分析研究。 ? 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 ? 非线性元部件微分方程的线性化。 例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点 0 处的线性化增量方程 ( )cosEy 0 = 解：在 0 =处线性化展开，只取线性项： ( )()()() 0000 sinEyy+= 令 ( )() 0 y-yy= 0 = 得 = 00sin Ey 3、 用拉氏变换解微分方程 （初条件为 0） a ulll222=+ & & ()( )( ) s 2 s2UsL22ss :L a 2 =+ ( ) ()22sss 2 sL 2 + = ( )( )sLLt :L -11 = l 复习拉普拉斯变换的有关内容 1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 js+= 复函数 ( ) yx jFFsF+= 例：( )j22ssF+=+= （2）复数模、相角 ( ) ( ) x y 2 y 2 x F F arctgsF FFsF = += （3）复数的共轭 ( ) yx jFFsF= （4）解析：若 F(s)在 s 点的各阶导数都存在，称 F(s)在 s 点解析。 2 拉氏变换定义 ( )( )( )dtetftfLsF st 0 = ：像 ：像原 F(s) ) t (f 3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃： ( ) = 0 t1 0 t0 t1 ( )() s 1 10 s 1 e s 1 dte1t1L 0 st 0 st = = = 2. 指数函数： = 0 te 0 t0 ) t (f at () as 1 ) 10( as 1 e as 1 dtedtee)t (f L 0 t )as ( 0 tasst 0 at = = = = 3. 正弦函数： = z z i i(s) (s) G(s) i 1 1 1 2 2 = = 负载轴上的粘滞阻尼，惯量向电机轴上的折算： 对于电机轴: 11111 fMMJ m =& 为负载轴转矩 1 M 对于负载轴： 22222 fMJ=& 在啮合点： 21 FF = (3) 2 2 1 1 222 111 r M r M rF M rF而 M = = = 又有： 1 2 1 2 2 1 i z z r r = （4） 利用 4 式中的 3 个,消去中间变量之间关系得出 1m221 M,M,M: 12 2 2 1 112 2 2 1 1 f z z fMJ z z J f m J += + 44 344 21 & 44 344 21 一般地，有多级齿轮转动时： L L + + += + + += 3 2 4 3 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2 4 3 2 2 1 2 2 2 1 1 f z z z z f z z ff J z z z z J z z JJ 可见：由于一般减速器总有1 1 = + i z z i i 越靠近电机轴的惯量、粘滞摩擦，对电机轴的影响越大， 远离电机轴的负载影响则较小 若一级减速比 很大，则负载轴的影响可以忽略不计 1 i 8. 调制器，解调器用于 1) 交、直流元件协调工作时 2) 交流元件，但工作频率不同时 否则干扰较大交流元件有时要屏蔽， 漂移，工作点不易隔离，易点，都要用直流工作时交直流的元件各有其优 调制：把直流或低频信号驮在交流元件的工作频率上的过程 解调：把驮在交流元件频率上的有用低频(或直流)信号取出来的过程 一般不考虑调制、解调器的动态过程，认为其传函为 1 5.典型环节 依上讨论可见：输入输出信号选择不同，同一元部件可以有不同的传递 函数。不同的元部件可以有相同形式的传递函数 1. 环节把传函形式相同的元部件归并在一起的分类具有抽象 性，概括性。如，电位器，自整角机，测速发电机等等。同属比例环 节。 2. 典型环节及其传递函数 序 号 微分方程 环节名称 传递函数 例 1 K rc = 比例环节 K 电位器，放大器， 自整角机 2 KrccT=+& 惯性环节 1Ts K + CR 电路，交、直流 电动机 KrccTcT=+& &2 2 1 振荡环节 1 12s K 22 +TsT R-L-C 电路， 弹簧质 块阻尼系统 3 4 cKr=& 积分环节 s K 减速器)( cr 5 rKc&= 微分环节 Ks 测速发电机 )( cr u 6 rrc+= & 一 阶 复 合 微分环节 1+s 7 rrrc+= & &2 2 二 阶 复 合 微分环节 12 22 +ss 注: 1) 环节与部件并非一一对应，有时一个环节可代表几个部件，有时 一个部件可表成几个环节 2) 任一个系统的传递，可以视为典型环节的组合 如： )ss)(s(Ts )K(s G(s) 121 2 22 + + = 6.负载效应问题：传递函数要在系统正常工作，考虑负载影响条件下推导出 来 例如右电网络，当两级相联时： 用算子法： 2 2 2 1 1 1 sC R sC U Uc + = sCsCsCCR sCR R sCsCsCCR s).C sC (R sCsC R sC ) sC (R R sCsC R sC ) sC (R U U r 21 2 212 22 1 21 2 212 2 2 2 12 2 12 2 1 12 2 12 2 1 1 1 11 11 11 11 + + + + + = + + + + + = 1 1 )() 1( 1 222111 2 2121 21 2 212221 21 2 2121 1 sCRsCRsCRsCCRR sCsCsCCRsCRR s)CsCsCC(R U U . U U U U r c r c + = + + = (1) 当两级断开时： 第一级： 1 1 1 1 11 1 1 11 + = + = sCR sC R sC U U r 第二级： 1 1 1 1 22 2 2 2 1 + = + = sCR sC R sC U Uc 而 1 1 11 1 2211 2 21212211 1 1 + = + = )sCRC(RsCCRR)sC)(RsC(RU U U U U U r c r c (2) 比较(1)(2)，可见两式不等。 当两级相联时，后级有分流，对前级有负载影响。 2 典型环节及其传递函数 序 号 微分方程 环 节 名 称 传递函数 G(s) 例 1 rc K.xx = 比 例 环 节 K 电位器，放大器， 自整角机 2 rcc KxxxT=+& 惯 性 环 节 1 +Ts K CR 电路，交、直 流电动机 3 rccc KxxxTxT=+& &2 2 振 荡 环 节 1sHsGsG，并且1)()( 1 sHsG，则总输出 )( )( 1 )( )()()(1 )( )( )()()(1 )()( )( 21 2 21 21 sR sH sN sHsGsG sG sR sHsGsG sGsG sC + + + 可见，适当选配元部件结构参数，可使系统有很强的抗干扰能力，同时，输 出主要取决于反馈通路传递函数 H(s)及输入信号 r(t)，而与