上海中考数学压轴题解题策略-学生版

上海中考数学压轴题解题策略宝龙教育中心整理(2017.3)一、面积的存在性问题解题策略专题攻略面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确例题解析例 如图1-1，矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线yx26x10滑动，在滑动过程中CD/x轴，CD1，AB在CD的下方当点D在y轴上时，AB落在x轴上当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标图1-1例 如图2-1，二次函数y(xm)2k的图象与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为(1,4)，AM与y轴相交于点C，在抛物线上是否还存在点P，使得SPMB=SBCM，如存在，求出点P的坐标 图2-1例 如图3-1，直线yx1与抛物线yx22x3交于A、B两点，点P是直线AB上方抛物线上的一点，四边形PAQB是平行四边形，当四边形PAQB的面积最大时，求点P的坐标图3-1 例 如图4-1，在平行四边形ABCD中，AB3，BC5，ACAB，ACD沿AC方向匀速平移得到PNM，速度为每秒1个单位长度；同时点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为每秒1个单位长度；当PNM停止运动时，点Q也停止运动，如图4-2，设移动时间为t秒（0t4）是否存在某一时刻t，使SQMCS四边形ABQP14？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由图4-1 图4-2例 如图5-1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 1)，直线y2x4与抛物线相交于点B，与y轴交于点D将ABD沿直线BD折叠后，点A落在点C处（如图5-2），问在抛物线上是否存在点P，使得SPCD3SPAB？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由图1 图2例 如图6-1，抛物线经过点E(6, n)，与x轴正半轴交于点A，若点P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形的面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？图6-1例 如图7-1，点P是第二象限内抛物线上的一个动点，点D、E的坐标分别为(0, 6)、(4, 0)若将“使PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”，请写出所有“好点”的个数例 如图8-1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a, 3)（其中a4），射线OA与反比例函数的图象交于点P，点B、C分别在函数的图象上，且AB/x轴，AC/y轴试说明的值是否随a的变化而变化？ 图8-1例 如图9-1，已知扇形AOB的半径为2，圆心角AOB90，点C是弧AB上的一个动点，CDOA于D，CEOB于E，求四边形ODCE的面积的最大值图9-1例 如图10-1，在ABC中，C90，AC6，BC8，设直线l与斜边AB交于点E，与直角边交于点F，设AEx，是否存在直线l同时平分ABC的周长和面积？若存在直线l，求出x的值；若不存在直线l，请说明理由图10-1二、平行四边形的存在性问题解题策略专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便例题解析例 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标 图1-1例 如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+2x3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标图2-1例 如图3-1，在平面直角坐标系中，直线yx4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形图 3-1例 如图4-1，已知抛物线与x轴的负半轴交于点C，点E的坐标为(0,3)，点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 图4-1例如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD4AC设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由图5-1例 如图6-1，将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由图6-1例 如图7-1，菱形ABCD的边长为4，B60，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AECG（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长 图7-1例 如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CEAB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值图8-1三、梯形的存在性问题解题策略专题攻略解梯形的存在性问题一般分三步：第一步分类，第二步画图，第三步计算一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便例题解析例 如图1-1，四边形ABCD是直角梯形，AD/BC，B90，AD24cm，BC28cm点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD成为平行四边形？成为等腰梯形？图1-1例 如图2-1，在RtABC中，C90，AC3，AB5点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动；同时点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，DE交BC于点E设P、Q运动的时间是t秒（t0），在运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由图2-1例如图，已知A、B是双曲线上的两个点，A、B的横坐标分别为2和1，BCx轴，垂足为C在双曲线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由图3-1例如图4-1，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由图4-1例 如图5-1，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A(1，2)抛物线yax2bxc经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 图5-1例 如图6-1，在矩形ABCD中，AB3，BC4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动过点P作PE/DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为x秒，当x为何值时，四边形PQBE为梯形？图6-1四、线段和差最值的存在性问题解题策略专题攻略两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题图1 图2 图3例题解析例 如图1-1，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果PAC的周长最小，求点P的坐标图1-1例如图，抛物线与y轴交于点A，B是OA的中点一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程图2-1例 如图3-1，抛物线与y轴交于点A，顶点为B点P是x轴上的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标图3-1例 如图4-1，菱形ABCD中，AB2，A120，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PKQK的最小值图4-1例 如图5-1，菱形ABCD中，A60，AB3，A、B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、B和A上的动点，求PEPF的最小值图5-1例 如图6-1，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a1, 0)，求a为何值时，四边形ABEF周长最小？请说明理由图6-1例 如图7-1，ABC中，ACB90，AC2，BC1点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点A在x轴上运动时，点C也随之在y轴上运动在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离图7-1例 如图8-1，已知A(2,0)、B(4, 0)、设F为线段BD上一点（不含端点），连结AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？图8-1例 如图9-1，在RtABC中，C90，AC6，BC8点E是BC边上的点，连结AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，求AF的最小值图9-1例 如图10-1，已知点P是抛物线上的一个点，点D、E的坐标分别为(0, 1)、(1, 2)，连结PD、PE，求PDPE的最小值图10-1五、相切的存在性问题解题策略专题攻略一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示第二步列方程，就是根据直线与圆相切时dR列方程例题解析例 如图1-1，已知抛物线yx21与x轴相交于A、B两点（1）有一半径为r的P，且圆心P在抛物线上运动，当P与两坐标轴都相切时，求半径r的值；（2）半径为1的P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，P与y轴相离、相交？ 图1-1 例 如图2-1，ABC中，BCAC5，AB8，CD为AB边上的高如图2-1，A在原点处，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动ABC在平面上滑动如图2-2，设运动的时间为t秒，当B到达原点时停止运动当以点C为圆心、CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值图2-1 图2-2例 如图3-1，A(5,0)，B(3,0)，C(0, 3)，四边形OADC是矩形点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，以PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求运动时间t的值 图3-1例 如图4-1，已知抛物线ymx2bxc(m0)经过A(1, 0)、B(3,0)两点，顶点为P，与y轴交于点DC的直径为A、B，当m为何值时，直线PD与C相切？图4-1例 如图5-1，在梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AB8，BC18，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3个单位的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为秒如果P的半径为6，Q的半径为4，在移动的过程中，试探索：为何值时P与Q外离、外切、相交？图5-1例 如图6-1，RtABC中，ACB90，AC4厘米，BC3厘米，O为ABC的内切圆（1）求O的半径；（2）动点P从点B沿BA向点A以每秒1厘米的速度匀速运动，以P为圆心，PB为半径作圆设点P运动的时间为t秒，若P与O相切，求t的值图6-1例 如图7-1，已知直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，O的半径为1，点C是y轴正半轴上的一点，如果C既与O相切，也与直线l相切，求圆心C的坐标图7-1例 如图8-1，已知在等腰ABC中，ABAC5，BC6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过点D作射线DE交AB于点E，BDEA，以点D为圆心，DC的长为半径作D设BDx（1）当D与边AB相切时，求x的值； （2）如果E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，当D与E相切时，求x的值 图8-1例 如图9-1，一个RtDEF的直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作射线AC与斜边EF平行，已知AB12，DE4，DF3如图9-2，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP的中点同时RtDEF沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当点D运动到点A时，两个运动都停止在运动过程中，是否存在以点Q为圆心的圆与RtDEF的两条直角边所在直线都相切？若存在，求运动时间t，若不存在，说明理由图9-1 图9-2六、相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）例题解析例 如图1-1，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C动直线EF（EF/x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动是否存在t，使得BPF与ABC相似若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由图1-1例 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线yax2bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AOBO2，AOB120（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标 图2-1 例 如图3-1，抛物线yax2bx3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点D，顶点为C（1）求此抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MNx轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由图3-1例 如图4-1，在平面直角坐标系中，A(8,0)，B(0,6)，点C在x轴上，BC平分OBA点P在直线AB上，直线CP与y轴交于点F，如果ACP与BPF相似，求直线CP的解析式图4-1例 如图5-1，二次函数yx23x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D在y轴上取一点C(0, 2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD求坐标平面内使EODAOB的点E的坐标；图5-1例 如图6-1，在ABC中，ABAC4，BC8A的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动延长BA交A于点D，连结AP交A于点E，连结DE并延长交BC于点F设点P运动的时间为t秒，当ABP与FBD相似时，求t的值图6-1七、直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，