数学小学 数学思想方法分类思想

思考：求方程x23x5的解。,数学思想方法,数学思想方法分类讨论思想,分类讨论思想,分类讨论思想人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。,分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。,分类讨论思想,例1：学校建花坛余下24米漂亮的小围栏，经总务部门同意，六年级五班的同学准备在自己教室后的空地上建一个一面靠墙，三面利用这些围栏的花圃，请你设计一下，使花圃的长比宽多3米，求出花圃的面积是多少？,分类讨论思想,分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域问题较常用的思想方法。,从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。,分类讨论思想的意义,例2：同时抛掷3枚普通的硬币一次，问得到“两正一反”的概率是多少？,分类讨论思想,分类讨论思想在小学数学中的应用,分类讨论思想在小学数学中的应用,分类讨论思想的教学应注意：第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想，一方面是一般物体的分类，如柜台上的商品、文具等；另一方面要注意从数学的角度分类，如立体图形、平面图形、数的认识和运算等。,分类讨论思想,第二，在平时教学中注意经常性地渗透分类思想，如平面图形和立体图形的分类、数的分类。第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合、概率的计算、抽屉原理等问题经常运用分类讨论思想解决。,分类讨论思想,抽屉原理：有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。,例3：任意给出4个两两不等的整数，请说明：其中必有两个数的差是3的倍数。,分类讨论思想,分析：任意一个整数除以3，余数只有三种可能：0、1和2。运用分类思想，构造这样的三个抽屉：除以3余数分别是0、1和2的整数。根据抽屉原理，必有一个抽屉里至少放了两个数。这两个数除以3的余数相等，设这两个数分别为3m+r和3n+r（m、n都是整数），他们的差=3（m-n），必是3的倍数。,分类讨论思想,第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。现实生活中数据丰富多彩，很多时候需要把收集到的数据进行分类整理和描述，从而有利于分析数据和综合地做出推断。第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分类而分类。如对商品和物品的分类是为了便于管理和选购，对数学知识和方法进行分类，是为了更深入地研究问题、优化解决问题的方法。,分类讨论思想,例4：某服装厂生产一种西装和领带。西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带，方案二：西装领带均按定价打9折（两种优惠方案不可同时采用）某店老板要去厂里购买20套西装和若干条领带（超过20条）请帮店老板选择一种较省钱的购买方案？,分类讨论思想,第六，注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。也就是说有些数学规律在一般情况下成立，在特殊情况下不成立；而这种特殊性在小学数学里往往被忽略，长此以往，容易造成学生思维的片面性。,分类讨论思想,例如：在小学里的判断题：如果5a2b，那么a:b=2:5；对吗？严格来说，这道题是错的，因为这里没有规定a和b不等于0。之所以产生分歧，是因为在小学数学里有一个不成文的规定：在讨论整数的性质时，一般情况下不包括0。这种约定是为了避免麻烦，有一定道理；但是这样就造成了在解决有关问题时产生分歧，而且不利于培养学生思维的严密性，尤其是学生进入初中后的学习中，经常会因为解决问题不全面、忽略特殊情况而出现低级错误。,分类讨论思想,集合思想,集合的概念:把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合，其中每个事物叫做该集合的元素。给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个事物是否属于这个集合是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。,集合思想,判断以下各题：1、我们班上所有的姓氏组成集合。2、所有面积较大的正方形组成集合。3、由太平洋、大西洋、印度洋组成的集合与印度洋、太平洋、大西洋组成的集合相等。,集合的表示法一般用图示法、列举法和描述法。列举法就是把集合的元素一一列举出来，并用大括号“”括起来表示集合的方法。描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时，很难把所有的元素一一列举出来，这时描述法便体现出了优越性。,集合思想,思考：用适当的方法表示下列集合大于10的所有自然数组成的集合；24与30的所有公约数组成的集合；方程x24=0的解的集合。,集合思想,例1：某小学举办学生画展，展出的画中有16幅不是六年级的，有15幅不是五年级的，现知道五、六年级共展出25幅画，那么其他年级展出的画有多少幅?,集合思想,一一对应是两个集合之间元素（不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合A中的任一元素，在集合B中都有唯一的元素b与之对应；并且在集合B中的任一元素b，在集合A中也有唯一的元素与之对应。,集合思想,例如正奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一对应。其他集合之间也可以建立一一对应，如五（1）班有25个男生，25个女生，如果把男生和女生各自看成一个集合，那么这两个集合之间可以建立一一对应。集合理论是数学的理论基础，从集合论的角度研究数学，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。,集合思想,例2：乒乓球比赛有16人参加A组的小组赛，规定采取淘汰赛决出小组第一名参加决赛。一共要进行多少场比赛？分析：下面用一一对应的思想来分析：因为每次比赛淘汰一个人，有一场比赛就淘汰一个人，没有比赛就不淘汰人，要想淘汰一个人就必须有一场比赛，也就是说比赛的场数与被淘汰的人数是一一对应的。在小组参赛的16人中，最后只有一人得第一名，要淘汰15人，所以比赛的场数为15场。,集合思想,集合思想在小学数学中的具体应用：集合思想在小学数学的很多内容中进行了渗透。如在学习公因数和公倍数时，都是通过把两个数各自的因数和倍数分别用集合图表示，再求两个集合的交集，直观地表示了公因数和公倍数的概念。,集合思想,在小学数学中还经常用集合图表示概念之间的关系，如把所有三角形作为一个整体，看作一个集合；把锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各自看作一个集合。,集合思想,质数,01,合数,自然数,自然数,奇数,偶数,8,124,3612,8的约数12的约数,8和12的公约数,481620,1224,61830,4的倍数6的倍数,4和6的公倍数,平行四边形,长方形,正方形,三角形,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,三角形,等边三角形,等腰三角形,例3：六（1）班举办文艺活动，演出歌舞节目的有9人，演出小品等节目的有12人，两类节目都参加的有5人。该班共有多少人参加这两类节目的演出？,集合思想,例4：有一学校由50名同学参加的球类运动队中，喜欢打篮球的有38人，喜欢打排球的有41人，喜欢踢足球的有27人。既喜欢打篮球又喜欢打排球的有32人，既喜欢打排球又喜欢踢足球的有21人，既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有20人。问同时喜欢这三类球的有多少人?,集合思想,分析：设同时喜欢三类球的有X人，则只喜欢打篮球的有：(38-32-20+x)人，只喜欢打排球的有：(41-32-21+x)人，只喜欢踢足球的有：(27-21-20+x)人。,集合思想,集合思想的教学：第一，应正确理解有关概念。第二，正确把握集合思想的教学要求。集合思想虽然在小学数学中广泛渗透，但是集合的知识并不是小学数学的必学内容；因而应注意把握好知识的难度和要求，