五年级下数学思维训练教材

第一节课的三维图形和扩展学生5年级时学的立体图形主要是长方体和正方形。从此，我们将共同研究数学竞赛中经常出现的长方体相关问题，从而掌握观察力、空间想象和问题解答的技术和方法。在此，我们将进一步研究长方体和立方体的特征和展开模式选择案例示例1:图1显示了正方形纸盒打开后平放在桌面上的外观。将此展开图还原至原始立方块后，插图中的点f、点g分别与哪些点重合？为了便于研究，我们在正方形6面上分别标记了序列号1，2，3，4，5，6，如果l用作地板，则标记了4，5为右，6为前，2为左，3为上(图2)。在图中，很容易看出点f与点n、重合、点g与点s重合。另一种方法是创建展开模式，折叠后结果一目了然。学生们可以试试！例23360只小虫子从图l所示的箱子的a点开始，沿着箱子的表面爬行，依次通过前、上、后、下到达p点。设计最短的爬行路径。由于虫子在箱子的表面爬行，所以箱子的前、后、上、下西面可以展开成平面形状(图2)。连接AP时，线段AP是虫子爬行的最短路径，因为平面中“两点之间的线段长度最短”。练习和思考1.如图所示，展示了正方形纸盒打开后摊在扁平桌子上的样子。将此展开图还原至原始立方块后，插图中的点b和点d分别与哪些点重合？2.如图所示，一只蚂蚁从a点上升到b点，是一个3厘米长的正方形木块。请画出蚂蚁爬的最短路径。问：这些路径共有多少条？3.叠裁一张长方形的硬纸，然后折叠成一厘米长的正方形。这张矩形硬纸的最小面积是多少平方厘米？4.一张28厘米长的长方形的铁皮，在这个铁皮方形上各剪下4厘米长的小方形，折叠和焊接，形成一个没有盖的箱子。据悉，这个箱子的体积为960立方厘米，请求出原来的矩形铁皮面积。5.如图所示，正方形木块的表面展开图，在正方形两侧填充数字，使相对的两个数之和为7，那么a，b，c中填充的数字分别是多少？6.图中显示的10个展开模式中，哪些可以成为完整的立方体？7.图(1)是正方形，图(2)是该正方形的平面图，图(3)、图(4)、图(5)也是该正方形的平面图，但是每个展开图没有绘制四边的图案。请相反地补充它。8.如图所示，长方体、四边形APQC、长方体的一个截面(长方体上通过四点a、p、q、c的平面与长方体相交的图形)、p、q分别是棱镜A1B1、B1C1、的中点：在此框的平面展开模式中显示直线段AC、cQ、QP、PA。第二个钢框和正方形的表面积在数学竞赛中，有很多与长方体和正方形的表面积计算相关的问题。这种知识不仅有趣，而且具有一定的实用性和思考价值。在解决长方体和立方体表面问题时，学生们需要具备较强的观察力，良好的地图化能力和空间想象力，更好地掌握解决问题的想法和技术。选择案例例如，对于1:前面和上面的面积之和为88平方厘米，此框的长度、宽度、高度是厘米单位的个数，都是小数，并求出此框的表面积。要求框的表面积需要框的长度、宽度和高度。根据问题的意义，前面和上面的面积之和为88平方厘米。也就是说，长高度x宽度=88，即长度(高宽度)=88是88分解小数，因为长度、宽度和高度都是小数；88分解小数是88=1l222问题是，11不能除以两个小数；实验结果，如果条件满足，则为1) ll解决方案：88-112 x22、222: 3 5、1122-41 3。方块的表面积：(1)(113 1l5 53)2=206(平方公分)(2) (23 2x4l 413) 2-422(平方公分)例如，如图23360中所示，将3个表面积全部为24平方米的正方形木块粘合到一个箱子上，求出这个箱子的表面积。如果仔细查看图形，可以很容易地看到，三个正方形块贴在一个长方体上，每个方块贴在两个面上，每个方块贴在四个面上，因此粘合方块的表面积等于(63-4)面的面积246 (6x3-4)=56(平方厘米)。例3:是由19个1厘米长的立方体堆积而成的立体图形，如果看不到其中的一些正方形，那么这个立体图形的表面积是多少？如果仔细观察图形，则此立方体图形不固定，但从前面和后面看到的面数相同，同样，从左到右看到的面数相同，从上到下看到的面数一致，因此此立方体图形的表面积等于(前面10上方的左侧)2，即(10 9 8)2=54(平方厘米)。练习和思考1.有正面和顶面两个面积和209平方厘米的箱子，长度、宽度、高度都是厘米的数字，都是小数，求这个箱子的表面积。2.两个长8厘米，6厘米，高5厘米的箱子配成一个大箱子，这个大箱子表面积的最大平方厘米是多少？3.这里看到的是由17边长1厘米的小正方形做成的立体图形，在寻找它的表面积。4.有一个盒子，切成了几个长8厘米、宽4厘米、高6厘米、长2厘米的小立方体。这个小立方体表面积的总和比原始长方体的表面积增加了多少平方厘米？5.如图所示，正方形的表面积为36平方米，沿着虚线将它切成相同体积的8个小正方形木块。这时表面积增加了多少平方米？6.如图所示，有一个边长5厘米的立方体，如果它的左上角截取了一个横向长5厘米、3厘米2厘米的箱子。那么表面积能减少到多少平方厘米呢？7.如图所示，有一个长4厘米：宽3厘米：高的箱子，有一个以a为底上下直的箱子孔，有一个以b为底前后直的箱子孔，有一个以c为底左右直的箱子孔，三维形状的表面积是多少？8.如图所示，有一米长的正方形木块。请求2号横锯，3号竖锯，4号横锯，都是大大小小的箱子形状的60个，箱子表面积的60个之和。9.长度7厘米，宽度5厘米，高度3厘米的箱子木块10个大箱子编织而成的大箱子的表面积最小的是？第三个讲座框和正方形的体积前面研究了长方体和立方体的表面积计算，但实际上在数学竞赛中，长方体和立方体的体积知识也很重要。学这门课需要很强的观察力和空间想象力。选择案例例如，1:如图所示，从顶部和总边各剪下一个高2厘米和3厘米的箱子，使表面积减少100平方厘米，原来箱子的体积是多少立方厘米？仔细看右图，剪下两个箱子后减少的表面积是两个箱子的侧面面积。也就是说，如果减少高度为(2 3)厘米的长方体的侧面面积，使高度为5厘米的长方体的每个侧面面积为1004-25(平方厘米)，那么长方体底面矩形的边长为255=5(厘米)，因此原始长方体的体积将为55(2 5 3)=250(立方厘米)。例23360用一个箱子编了两个等角的正方形木块，箱长的总和为96厘米，每个正方形的容积为多少立方厘米，已知吗？两个立方体长寿共122=24(兆)。如果它们合并成长方体，则42=8(条带)的长度将减小，因为两个面匹配。也就是说，立方体长寿的总和等于24-8=16(条带)立方体长寿的总和，因此每个立方体长寿的长度为9616=6(厘米)，每个立方体颈部的体积为666=216(立方厘米)。例33:图中，正方形的长度为4厘米，分别从前后、左右、上下各面的中心切一厘米长的正方形孔到另一侧，求出其体积。如果仔细看图表，每个小箱子都被切成114=4(立方厘米)，共3个小箱子，即43=12(立方厘米)，实际上中间相交，重复修剪了2个1立方厘米的立方，因此这个物体的体积为444-12=54(立方厘米)练习和思考1.将方块的长度平均分割为四个区段。每段长度为6厘米，表面积增加24平方厘米。求原始箱子的体积。2.用两个大小相等的方形块制作箱子，这个箱子的长寿之和是80厘米，每个正方形的体积是多少立方厘米？3.如图所示，在20厘米长的正方形木块的前面、上面、右边中心位置各削4厘米的正方形小孔，到对面做玩具4.前面和上面的面积总和为156平方厘米，长度、宽度、高度都是小数，这个箱子的体积是多少？表面积为36。一个平方厘米的箱子，它可以切成两个完全相同的正方形。小正方形的体积是多少立方厘米？6.底面为正方形、表面为190平方厘米的长方体如果使用与底面平行的平面切割两个长方体，则两个长方体的表面积总和为240平方厘米，得出原始长方体的体积。7.长方体的前、上、右面积分别为40、60和24平方厘米长方体的体积。8.现有的一个长4厘米，宽2。厘米长方寸的铁皮，用这个做5厘米长的吧没有箱盖的铁皮盒子(忽略焊接点和铁皮厚度，体积越大越好)。请问：你做的铁皮盒子的体积是多少立方厘米？9.长度、宽度、高度分别为2l厘米、15厘米和12厘米的长方体在其上尽可能地从画板剪切下一个正向体，从其馀部分尽可能地从画板剪切下一个正向体，最后从第二个剩馀部分尽可能地向画板剪切下一个正向体。这时剩下的体积是多少立方厘米？第四条河的表面高度变化和等值转换水面高度变化问题是与箱子和立方体体积计算有关的变量问题，如果将对象放入盛水的箱子或立方体容器中，水面就会上升；或者，如果从盛水的箱子或立方体容器中取出东西，就会出现水面下降等问题。答案时，学生们要仔细观察睡眠的高度变化现象，发挥空间想象的力量，找出体积变化的规律，解决实际问题。等积变换问题是指物体经过铸件变形成不同的形状，形态发生了变化，但体积没有变化。答案的时候，要抓住体积不变的突然开口，根据实际问题仔细分析，找出解决问题的方法。选择案例例1:长25分米，宽20分米的箱子容器里有深度15分钟的水。如果水中有一个长寿50厘米的正方形铁块下沉，容器的水深是多少分钟？根据问题的意义，当正方形铁块沉入盒容器时，水面上升，上升部分的体积与正方形的铁体积相同，所以求出上升部分的水高，现在的水深就解决了。解决方案：50厘米1 5分钟5 (25x220) 15=o.25 15=15.25(分米)答：容器的水深是15.25分钟。示例23360有一个长方体水箱，底部有一个边长50厘米的正方形。水箱有10分钟高，底面25厘米长的箱子铁板直立着，这时水桶的水深为6分米。现在，如果把铁块轻轻向上放20厘米，露出水面的铁块会被水浸湿的部分变长多少厘米？露出水面的铁块被水浸湿的部分是向上提起的20厘米和提起铁块后水面下降的高度两部分。掉一部分水等于提起的20厘米铁块的体积，水面下降的高度可以通过把20厘米铁块除以水箱的底部面积来获得。解决方案：25252520 (5050) 20=5 20=25(厘米)a:露出水面的铁块被水浸湿的部分长度为25厘米。例如，3:把长9厘米、宽7厘米、高3厘米的方块铁和长5厘米的正方形铁丝铸造成底部为20平方厘米的方块，得出了方块的高度。分析和回答将小盒铁和小方块铁块铸造成大盒，改变了形状，但大小和形状没有改变，因此大盒铁的体积等于小盒铁和小方块铁的体积。然后将体积除以楼板面积，以找到高度。解决方案：(973 5 .)20=31420=15.7(厘米)答：这个箱子的高度是15.7厘米。练习和思考1.长20分钟，宽15分钟的箱子容器里有20分钟深的水。现在水中有15分钟长的正方形铁质下沉，容器的水深是多少米？箱子容器，长90厘米，宽40厘米。容器内直立着一个高1米、底边长15厘米的箱子铁块，这时容器的水深为0.5米。3.长度为6分钟的正方形容器。装满了水。现在，立方体容器的水为12分米，宽度为6分米，高度为5分米的箱子水槽，求出从箱子水槽的水面到水槽的距离。4.现在，如果把铁块稍微抬起24厘米，露出水面的铁块被水浸湿的部分会有多少厘米呢？5.箱子里长8分米，宽6分米。倒入165升水，把3分钟长的立方体铁块浸入水中，水就会离水箱入口1分钟远。问：这个油箱的体积是多少？6.在长15分钟，宽12分钟的箱子容器里，水深1