专题-圆锥曲线的离心率(学生版)

高 2019 届文科辅优讲义解析几何 1 / 5 专题五专题五 第二讲第二讲 离心率专题离心率专题 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常圆锥曲线离心率的问题，通常 有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于 中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）一般来说，求椭圆（或双曲线） 的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a a与与b b 或或 a a 与与 c c 的其次式的其次式，从而根据，从而根据 （这是椭圆）（这是双曲线） ，就可以从中求出离心就可以从中求出离心 2 2 1 cb e aa 2 2 1 cb e aa 率率但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些 所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用 最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 一、求椭圆与双曲线离心率的值： （一） 、用定义求离心率问题： 122 12 1 (05, 22 1 A. B. C. 22 D. 2 1 22 FFFP FPF 例、全国)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） 【强化训练强化训练】1.在中，若以为焦点的椭圆经ABCABBC 7 cos 18 B AB， 过点，则该椭圆的离心率 Ce 2、已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为 _； 3、已知长方形 ABCD，AB4，BC3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离 心率为 。 高 2019 届文科辅优讲义解析几何 2 / 5 4.已知 F1、F2是双曲线的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角形)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） ABCD32413 2 13 13 5、如图，和分别是双曲线的两个焦点， 1 F 2 F 22 22 1(0,0) xy ab ab 和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交ABO 1 FO 点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）ABF2 （A）（B）（C）（D）35 2 5 31 （二二）、列方程求离心率问题、列方程求离心率问题：构造构造、的齐次式，解出的齐次式，解出 ace 根据题设条件，借助、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式） ，进 abcac 而得到关于的一元方程，从而解得离心率 ee 例 2、如图，在平面直角坐标系xoy中， 1212 ,A A B B为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的四 个顶点，F为其右焦点，直线 12 AB与直线 1 B F相交于点 T，线段OT与椭圆的交点 M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 . 变式：变式：设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率等于( ) （A） （B）2 （C） （D） 356 【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关 高 2019 届文科辅优讲义解析几何 3 / 5 系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 【强化训练强化训练】1、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双FBFB 曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) （A） （B） （C） （D）23 31 2 51 2 2.在平面直角坐标系中，椭圆在平面直角坐标系中，椭圆1(ab0)的焦距为的焦距为 2c，以，以 O 为圆心，为圆心，a 为半为半 x2 a2 y2 b2 径的圆，过点径的圆，过点(，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率作圆的两切线互相垂直，则离心率 e= a2 c 3.已知椭圆 C：（ab0）的离心率为，过右焦点 F 且斜率为 k（k0） 22 22 1 xy ab 3 2 的直线于 C 相交于 A、B 两点，若。则 k =( )3AFFB （A）1 （B） （C） （D）223 4.已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，FCBBFCD 且，则的离心率为 BF2FD uu ruur C 5. 已知双曲线 22 22 10,0 xy Cab ab ：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交 C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为（ ） . m A 6 5 B. 7 5 C. 5 8 D. 9 5 二、求椭圆或双曲线的离心率范围问题：、求椭圆或双曲线的离心率范围问题：一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取 值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大 小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列 出不等式. 模型三：几何性质求离心率：模型三：几何性质求离心率： 例例 3.已知椭圆已知椭圆1(ab0)的焦点分别为的焦点分别为 F1，F2， x2 a2 y2 b2 若该椭圆上存在一点若该椭圆上存在一点 P，使得，使得F1PF2600，则椭圆，则椭圆 离心率的取值范围是离心率的取值范围是 B2 B 11 F 1 y x O F2 P 高 2019 届文科辅优讲义解析几何 4 / 5 【强化训练强化训练】1.已知椭圆1(ab0)的焦点分别为 F1，F2，若该椭圆上存在一点 x2 a2 y2 b2 P， 使得F1PF260，则椭圆离心率的取值范围是 2已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲 22 22 1(0,0) xy ab ab 12 (,0),( ,0)FcF c 线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 P 12 21 sin sin PFFa PF Fc 例 4.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭 1 F 2 F 12 0MF MF M 圆离心率的取值范围是（ ） A B C D(0,1) 1 (0, 2 2 (0,) 2 2 ,1) 2 【强化训练】1、椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点 22 22 1(0) xy ab ab 1 F 2 Fx 分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）MN， 12 MNFF 1 0 2 ， 2 0 2 ， 1 1 2 ， 2 1 2 ， 2、已知双曲线的左，右焦点分别为,点 P 在双曲线的右 22 22 1,(0,0) xy ab ab 12 ,F F 支上，且,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：（ ） 12 | 4|PFPF A