中学物理解题思维之6.递推法

六.递归方法方法介绍递归方法是为了解决对象之间的多重交互问题。也就是说，当问题中涉及许多相互关联的对象并且是有规律的时，所研究的问题应该根据主题的特征进行分类，并且应该获得一般公式。具体的方法是分析某一行动的情况并得出结论。根据多个动作的重复性和它们的共同点，对结论进行归纳，然后用数学知识进行求解。通过递归解决问题的关键是导出连接两个相邻动作的递归关系。试题分析例1:粒子从静止状态以加速度A线性移动。在某个时间t，加速度变为2a；在时间2t，加速度变为3a；在时间nt，加速度变为(n1) a。发现：(1)1)nt时刻的粒子速度；(2)在2)nt时间内行驶的总距离。分析：根据递归的思想，找出从特殊到一般的规律，然后求解。(1)物质在某一时间t结束时的速度是vt=at2t末端的速度为v2t=vt 2at，即v2t=at3t结束时的速度是v3t=v2t 3at=at 2at那么在nt末尾的速度是vnt=v (n-) tnat=at2at3at.nat=at (1 23.n)=at(n 1)n=n (n 1)at(2)类似地，nt内的总距离s=n (n 1)(2n 1)at2可以被推动例2:球从高度h0=180m米处自由下落，落地后向上跳跃和向下下落，每次与地面碰撞时，速度降低(n=2)。从跌倒到停止的总时间是以经过的总距离来计算的。(g 10m/s2)分析：当球从h0高度落地时，速度v0=60m/s速度v1=速率v2=速率vm=每次跳跃的高度是h1=，h2=，旅行总距离 s=h02 h12 H2.2hm.=h0 (1 )=h0=h0=h0=300m米总经过时间为 t=t0t1 T2.商标.= =1 2 2()m =18秒例3:三只猎犬A、B和C形成一个边长为A的正三角形。每只猎犬以1/4的速度追捕猎物。狗A想追捕狗B，狗B想追捕狗C，狗C想追捕狗A。为了追捕猎物，猎犬不断调整方向。速度方向总是“盯着”对方。他们同时开始。捕获猎物需要多长时间？分析：从问题的意义来看，从问题的意义来看，可以看出三只猎犬都以相同的速度曲线运动，并且三只猎犬的位置在任一时刻都分别在正三角形的三个顶点上，但是正三角形的边长不断减小，如图6-1所示。因此，为了找出捕捉时间，有必要用微元法将匀速曲线运动转化为匀速直线运动，然后用递推的方法求解。让我们设定捕捉猎物的时间t，然后将时间t分成n个微小的时间间隔t，在每个t内，每只猎犬的运动可以看作是一个线性运动。每t，正三角形的边长是a1，a2，a3，分别为。显然，当an0时，三只猎犬相遇。a1=a-AA1-BB1c OS 60=a-vta2=a1-vt=a-2vta3=a2-vt=a-3vtan=a-NVt因为a-nVt=0，即nVt=t所以：t=(这个问题也可以通过对称方法在非惯性参考系统中解决。)例4:重型列车进入车站后，其质量与每节车厢相同，均为m。如果直接启动，前部的牵引力可驱动30节车厢。那么，有多少相同质量的车厢可以从前面反向起动？分析：如果直接起动，车头的牵引力需要克服摩擦力做功，以增加每节车厢的动能。如果使用反向起动，克服车头摩擦力所做的总功将不会改变，但是起动的动能对于每个车架是不同的。结果表明，吊钩是张紧的，在倒退后，吊钩之间有一个松散的距离s。如果列车的牵引力为F，则有：当机车启动时，有：(f- mg s=m拉动第一个托架时：(m m)=mv1因此有：=(- g) s(F-2mg)s=2m-2m拉动第二节车厢时：(m 2m)=2mv2因此，它也可用：=(- g) s可用推断：=(- g) s可用氟微克 0:氟微克从问题的含义来看，F=31mg，n 0一侧的每个沙袋的质量为m=14kg千克，x 0和VN 1 0，m-(n 2) m 0从这两个方程，我们可以得到：n 。因为n是整数，所以取3。当汽车向反方向滑行时，根据上面同样的推理，当它移动到第n个人的左边并抛出第n个沙袋时，动量守恒定律如下：M 3m(n-1)M-2nmVN-1=(M 3m nm)已解决：=同样的情况还有：=投掷(n 1)沙袋后，将速度设置为反向，要求 00也就是说，它是可以解决的也就是说，在第8个沙袋被扔出后，车停下来了，所以车终于有了11个沙袋。例9:如图6-6所示，固定斜面的倾角=45，斜面长度L=2.00米。斜面的下端设有垂直于斜面的挡板。质量为m的粒子从斜率的最高点以零的初始速度滑下斜率。滑到底部，与挡板弹性碰撞。假设粒子和斜面之间的动摩擦系数=0.20，试着找出粒子从开始到第11次碰撞的总距离。分析：因为每次粒子滑下时都必须克服摩擦力做功，而且每次功是不同的，所以要找出粒子从开始到N次碰撞的总运动距离，需要找出一次并推导出一般公式。如果在每次滑动开始时，球和挡板之间的距离为S，则函数关系为：mgcos (s1 s2)=mg (s1-s2)sinmgcos (s2 s3)=mg (s2-s3)sin有：=由此可以看出，每次碰撞后行进的距离是一个几何级数，其比值为第11次碰撞期间的距离：s=S1 2s 2 S32s 11=2(S1 S2 S3S11)-S1=2-S1=10-12()11=9.86米示例10:如图6-7所示，水平放置的圆形刚性窄槽固定在桌面上。三个相同尺寸的刚性球嵌入凹槽中。它们的质量分别是m1、m2和m3，m2=m3=2m1。球只接触凹槽的两个壁，它们之间的摩擦力可以忽略不计。在开始时，三个球在凹槽中处于位置I、ii和iii，它们之间的距离相等，m2和m3是静止的，m1以初始速度v0=沿着凹槽移动，r是环的内径和小球的半径之和，假设球之间的碰撞是弹性碰撞，计算系统的运动周期t。分析：当m1和m2弹性碰撞时，m2=2m1，因此m1在碰撞后反弹，m2与m3向前碰撞。并且因为m2=m3，在m2与m3碰撞后，m3可以停留在m1位置，m1以v速度反弹，因此碰撞再次重复。当m1返回初始位置时，系统将运行一个周期。以m1和m2为研究对象，当m1和m2弹性碰撞时，根据动量守恒定律，能量守恒定律可以写成：m1v0=m1v1 m2v2 m1=m1 m2 公式(1)和(2): V1=V0=-V0，V1=V0=-V0以m2和m3为研究对象，当m2和m3发生弹性碰撞时，v3=v0，=0以m3和m1为研究对象，当m3和m1发生弹性碰撞时，为=0，=v0可以看出，当m1移动到m2时，它与开始时的状态相似。因此，碰撞导致m1、m2和m3切换位置。当m1回到其原始位置时例11:有许多块质量为m的木头沿着一条直线排列在一个平滑的水平面上。每两个相邻的木块之间用一根长度为L的柔性绳连接。当前大小为F的恒力沿排列方向拉动第一个木块，然后依次拉动和移动每个木块，以找到拉动第n个木块的速度。分析：在每一块被拉起后，它变成一个前面有块的块。在一起做一定距离的匀速加速运动后，拉紧绳索，然后拉动下一个滑轮。当绳索拉紧时，一些机械能转化为内能。因此，如果(n-1) fl=nm被列出，这种关系是错误的。让第(n-1)个木块刚被拉时的速度为VN-1，它将增加到下一个木块被拉时的速度第n个块刚被拉动时的速度为vn。对于第(n-1)个木块开始移动直到拉紧下一根绳索的过程，动能定理如下：FL=(n-1)m-(n-1)m 用绳子拉动第n个木块的短暂过程受动量守恒定律支配。(n