高中数学竞赛初赛试题及答案

高中数学竞赛初赛试题及答案1.函数$f(x)=\frac{1}{x-2}$的定义域是（）A.$x\neq2$B.$x\gt2$C.$x\lt2$D.$x\geq2$答案：A2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（）A.5B.7C.11D.13答案：D3.不等式$x^2-3x+2\lt0$的解集是（）A.$1\ltx\lt2$B.$x\lt1$或$x\gt2$C.$x\lt-1$或$x\gt-2$D.$-2\ltx\lt-1$答案：A4.等差数列$\{an\}$中，$a1=1$，$a3=5$，则公差$d$为（）A.1B.2C.3D.4答案：B5.函数$y=\sinx$的最小正周期是（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$3\pi$D.$4\pi$答案：B6.已知圆的方程为$(x-1)^2+(y+2)^2=4$，则圆心坐标为（）A.$(1,-2)$B.$(-1,2)$C.$(1,2)$D.$(-1,-2)$答案：A7.若$x\gt0$，$y\gt0$，且$x+y=1$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为（）A.2B.3C.4D.5答案：C8.曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线方程为（）A.$y=3x-2$B.$y=3x+2$C.$y=-3x-2$D.$y=-3x+2$答案：A9.已知$\log23=a$，则$\log29$等于（）A.$2a$B.$a^2$C.$a+2$D.$a^2+2$答案：A10.从5名学生中选2名参加数学竞赛，共有（）种选法。A.5B.10C.15D.20答案：B11.设集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，则$A\capB$等于（）A.$\{1,2,3,4\}$B.$\{2,3\}$C.$\{1,4\}$D.$\varnothing$答案：B12.已知函数$f(x)$是奇函数，且$f(2)=3$，则$f(-2)$等于（）A.3B.-3C.$\frac{1}{3}$D.$-\frac{1}{3}$答案：B13.抛物线$y=2x^2$的焦点坐标为（）A.$(0,\frac{1}{2})$B.$(0,\frac{1}{4})$C.$(0,\frac{1}{8})$D.$(0,\frac{1}{16})$答案：C14.在$\triangleABC$中，$\angleA=60^{\circ}$，$a=\sqrt{3}$，$b=1$，则$\angleB$等于（）A.$30^{\circ}$B.$45^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$90^{\circ}$答案：A15.若复数$z=1+i$，则$|z|$等于（）A.1B.$\sqrt{2}$C.2D.$2\sqrt{2}$答案：B16.已知$a=\log30.2$，$b=3^{0.2}$，$c=0.2^3$，则（）A.$a\ltb\ltc$B.$a\ltc\ltb$C.$c\lta\ltb$D.$b\ltc\lta$答案：B17.函数$y=\cos2x$的单调递增区间是（）A.$[k\pi,k\pi+\frac{\pi}{2}],k\inZ$B.$[k\pi+\frac{\pi}{2},k\pi+\pi],k\inZ$C.$[2k\pi,2k\pi+\pi],k\inZ$D.$[2k\pi+\pi,2k\pi+2\pi],k\inZ$答案：B（应为$[k\pi+\frac{\pi}{2},k\pi+\pi],k\inZ$）18.已知数列$\{an\}$的通项公式为$an=2n-1$，则前$n$项和$Sn$等于（）A.$n^2$B.$n^2-1$C.$n^2+1$D.$2n^2$答案：A19.直线$x+y-1=0$与圆$x^2+y^2=1$的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定答案：B20.已知函数$f(x)$满足$f(x+1)=f(x-1)$，则$f(x)$的周期是（）A.1B.2C.3D.4答案：B1.下列函数中，是偶函数的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=\sinx$D.$y=\frac{1}{x^2}$答案：ABD2.下列不等式中，正确的有（）A.$x^2+1\gt0$B.$x^2-2x+1\geq0$C.$x^2+2x+2\gt0$D.$x^2-3x+3\lt0$答案：ABC3.已知向量$\vec{a}=(1,1)$，$\vec{b}=(2,x)$，若$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$x$的值为（）A.1B.2C.3D.4答案：B4.等比数列$\{an\}$中，$a1=1$，$a2=2$，则公比$q$为（）A.1B.2C.3D.4答案：B5.函数$y=\tanx$的性质有（）A.周期为$\pi$B.奇函数C.定义域为$x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ$D.值域为$R$答案：ABCD6.已知圆的方程为$x^2+y^2-4x-2y+1=0$，则圆心坐标和半径分别为（）A.$(2,1)$B.$(1,2)$C.2D.4答案：AC7.若$x\gt0$，$y\gt0$，且$x+y=4$，则下列说法正确的有（）A.$xy\leq4$B.$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq1$C.$x^2+y^2\geq8$D.$\sqrt{xy}\geq2$答案：ABC8.曲线$y=x^2-2x+3$在点$(1,2)$处的切线斜率为（）A.0B.1C.2D.3答案：A9.已知$\loga2=m$，$\loga3=n$，则$\loga6$等于（）A.$m+n$B.$mn$C.$\frac{m}{n}$D.$\frac{n}{m}$答案：A10.从3名男生和2名女生中选2人参加活动，选法有（）A.2男B.2女C.1男1女D.3男1女答案：ABC1.函数$y=\frac{1}{x}$在定义域内是单调递增函数。（）答案：×2.向量的模一定是非负实数。（）答案：√3.不等式$x^2\gt4$的解集是$x\gt2$或$x\lt-2$。（）答案：√4.等差数列的通项公式一定是关于$n$的一次函数。（）答案：×5.函数$y=\sin^2x$的最小正周期是$\pi$。（）答案：√6.圆的标准方程中，圆心坐标和半径都可以直接从方程中得到。（）答案：√7.若$a\gtb$，则$a^2\gtb^2$。（）答案：×8.函数$y=\log2x$在定义域内是单调递减函数。（）答案：×9.三角形的内角和为$180^{\circ}$。（）答案：√10.复数的实部和虚部都是实数。（）答案：√1.函数$y=\sqrt{x-1}$的定义域是（）。答案：$x\geq1$2.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，则$|\vec{a}|$等于（）。答案：$\sqrt{13}$3.不等式$2x-3\gt5$的解集是（）。答案：$x\gt4$4.等比数列$\{an\}$中，若$a1=2$，$q=3$，则$a3$等于（）。答案：185.函数$y=\cos(x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期是（）。答案：$2\pi$6.已知圆的方程为$x^2+y^2=9$，则半径为（）。答案：37.若$x\gt0$，$y\gt0$，且$xy=4$，则$x+y$的最小值为（）。答案：48.曲线$y=x^3$在点$(-1,-1)$处的切线方程为（）。答案：$y=3x+2$9.已知$\log3x=2$，则$x$等于（）。答案：910.从4个不同元素中选3个进行排列，共有（）种排法。答案：241.已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求$f(2)$的值。答案：将$x=2$代入函数$f(x)=2x^2-3x+1$，可得：$f(2)=2\times2^2-3\times2+1$$=2\times4-6+1$$=8-6+1$$=3$2.求过点$(1,2)$且斜率为3的直线方程。答案：根据直线的点斜式方程$y-y1=k(x-x1)$（其中$(x1,y1)$为直线上一点，$k$为斜率），可得：$y-2=3(x-1)$整理得：$y=3x-1$3.已知等差数列$\{an\}$中，$a1=3$，$a5=15$，求公差$d$和通项公式$an$。答案：由等差数列通项公式$an=a1+(n-1)d$可得：$a5=a1+4d$将$a1=3$，$a5=15$代入上式得：$15=3+4d$$4d=12$$d=3$通项公式$an=3+(n-1)\times3=3n$4.求函数$y=\sinx+\cosx$的最大值。答案：将函数$y=\sinx+\cosx$变形为：$y=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin