偏微分方程期末复习笔记

偏微分方程期末考试复习一、波动方程（双曲型方程）（一）初值问题（柯西问题）1、一维情形（1）解法（传播波法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I） （）其中，问题（I）的解由达朗贝尔公式给出：由齐次化原理，问题（）的解为：其中，是下述初值问题的解：，利用达朗贝尔公式得从而问题（）的解为：综上所述，原初值问题的解为：（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：依赖区间：点(x , t)的依赖区间为：x-at , x+at;决定区域：区间的决定区域为：(x,t)|影响区域：区间的影响区域为：(x,t)|特征线：（3）解的验证：见课本P10, P142、三维情形（1）解法（球面平均法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I） （）其中，问题（I）的解由泊松公式给出：由齐次化原理，问题（）的解为：其中，是下述初值问题的解：，利用泊松公式得从而问题（）的解为：综上所述，原初值问题的解为：（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：依赖区域（球面）：点的依赖区域为；决定区域（锥体）：球面决定区域为： ；影响区域（锥面）：点的影响区域为： 特征锥：惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（3）解的验证：见课本P29, P323、二维情形（1）解法（降维法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I） （）其中，问题（I）的解由二维泊松公式给出：由齐次化原理，问题（）的解为：其中，是下述初值问题的解：，利用泊松公式得从而问题（）的解为：综上所述，原初值问题的解为：（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：依赖区域（圆饼）：点的依赖区域为；决定区域（锥体）：圆饼决定区域为： ；影响区域（锥体）：点的影响区域为： 特征锥：后效现象见课本P35、36（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。（二）初边值问题（1）解法（分离变量法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I） （）用分离变量法（过程请脑内补完）得到（I）的解为：其中用齐次化原理得到（）的解：从而原初边值问题的解为：注：非齐次边界条件的情形见课本P21、22（2）解的验证、相容性条件（见课本P19）相容性条件：函数，并且二、热传导方程（抛物型方程）（一）初边值问题（注：由于老师讲课以及课后习题中都没有非齐次方程的初边值问题，估计不会考；但是边界条件有可能给第一、第二、第三类边界条件，这里的解法仅一第一类齐次边界条件为例）（1）解法（分离变量法）：用分离变量法（过程请脑内补完）得到原方程的解为：其中注：非齐次边界条件的情形见课本P21、22（2）解的验证、相容性条件（见课本P51、52）（二）柯西问题（1）傅里叶变换（必考的重点）一维情形：傅里叶变换：傅里叶逆变换：高维情形：设，傅里叶变换：傅里叶逆变换：傅里叶变换的性质：性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 （2）解法：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I） （）其中问题（I）的解由泊松公式给出：用齐次化原理得到问题（）的解：从而原柯西问题的解为：（3）解的验证（见课本P58、59）（三）极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性（见课本P6065）极值原理 热传导方程（）的解u(x,t)在抛物边界上取得极大、极小值。三、调和方程（椭圆型方程）（一）拉普拉斯算子、梯度与散度1、几个常用的关系式：； ，为单位向量； 2、拉普拉斯算子在不同坐标系下的形式：直角坐标系：球面坐标系：柱面坐标系：极坐标系：（二）变分原理（见课本P71、72）（算是难点，但期末考估计不会涉及，此处从略）（三）格林公式及其应用1、格林公式：2、格林第一公式：3、格林第二公式：4、调和函数的基本积分公式：若，则若，则5、若在以曲面为边界的区域内调和，在上有连续一阶偏导数，则.由此得到诺依曼边界条件有解的必要条件是函数满足6、球面平均值公式（条件略）： 7、球体平均值公式（条件略）： 8、极值原理、第一边值问题的唯一性及稳定性（略）（四）格林函数1、格林函数法：调和函数的第一边值问题的解可以表示为：2、格林函数的性质： 性质1 格林函数除一点外处处调和，而当时，趋于无穷大的阶数与相同；性质 2 ；性质 3 性质 4 性质 5 3、静电原像法：（1）球的泊松公式：或（2）圆的泊松公式：或（3）