机械振动基础考试小抄

1,机械振动基础,江汉大学机电建工学院,2,引 言,振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。,利：振动给料机 弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。,3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。,2. 振动的利弊：,1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。,3,4,11 无阻尼自由振动 12 求系统固有频率的方法 13 有阻尼自由振动 14 简谐激励作用下的强迫振动 15 简谐激励强迫振动理论的应用 16 非简谐激励作用下的系统响应,第一章 单自由系统,5,1-1单自由度系统无阻尼自由振动,一、自由振动的概念：,注意振动物体有一稳定静平衡的位置,6,7,运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力.,物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动.,物体受到初干扰后，在系统的恢复力及阻尼力作用下在其平衡位置附近的振动称为阻尼自由振动.,系统在持续的外激励作用下在其平衡位置附近的振动称为强迫振动.,系统在输入和输出之间具有反馈特性, 并有能量补充的振动称为自激振动.,8,复摆：,单摆：,弹簧振子：,它们的方程具有相同的数学形式,9,二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解,1. 典型模型,取物块分析, 建立坐标如图示.,令,n: 振系的固有频率,由动力学基本定律,静平衡位置,10,如果结构为倒置,取物块及建立坐标如图,(坐标原点取物块静平衡的位置),弹簧振子放置于倾角为 的光滑斜面上, 试求其振动方程.,11,如果振系中质量块的重力与弹簧静伸长力产生力矢平衡或力矩平衡时, 以静平衡位置作为坐标原点而建立的振动方程中不会出现重力项.,用特征根法,方程的解,C1和C2为共轭复根,12,则可求得：,由初始条件,由(1)、(2)联立,又,将(1)、(2) 代入得,13,A 物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 n t + 相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 初相位，决定振体运动的起始位置。 T 周期，每振动一次所经历的时间。 f 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。 n 固有频率，振体在2秒内振动的次数。,3. 无阻尼自由振动方程的参量,14,无阻尼自由振动的特点是：,(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；,(1) 振动规律为简谐振动；,(3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数 . (如: m、 k、I 等 )。,此外, 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。,15,例1. 一弹簧振子的物块重量为P, 已知在静力平衡时, 弹簧的伸长为st . 试写出系统的振动方程.,解: 由静力平衡可得,16,例2. (书上例1)一悬臂梁长为l 弯曲刚度EI = 常数, 梁的自重不计, 其自由端固定一质量为 m的小物块. 物块与悬臂梁一起构成一单自由度的振系. 试求振系的固有频率.,解: 由材料力学的挠度公式,自由端B的静挠度为,例3. 圆盘的中心固结一扭转刚度为GIp = 常数的圆轴 , 圆轴长为l , 其A端固定. 已知圆盘绕中心的转动惯量为J , 圆轴的质量可忽略不计. 试求扭转振动的方程.,解: 由材料力学的扭转公式,由动量矩定理,17,例4.（书上例5) 有一弹簧质量系统其物块的质量为m1, 弹簧常数为 k, 如图示. 有一质量为m的小物块从高度为h 处自由落下, 落在m1 上. 假定碰撞后没有反弹, 试求振动方程.,设坐标原点选在两物体的静平衡的位置上,由自由落体及碰撞过程的动量守恒,显然, 振系的固有频率为,18,1-2 求系统固有频率的方法,1. 建立系统动力学微分方程的标准形式,a. 牛顿第二定律及动力学普遍定理 ; b. 达朗伯原理; c. 拉格朗日方程 .,例1. 均质杆OA = 3R , 质量为 m , 弹簧的刚度系数为 k , OB = a . 求: 系统振动的固有频率 . ( 97 年交通科技大试题),解: 选静平衡位置为 角的起始位置,由对O 点的动量矩定理,由静平衡时的力矩方程可得,19,例2 . 小球的质量为 m , 在铅垂平面内运动. 弹簧刚度为 k , 无重杆长为 l . 求: 系统微幅振动方程 ( 99年交通科技大试题),解: 由对 O 点的动量矩定理,注意: 这里, 在静平衡的位置时, 弹簧没有静伸长,20,例3. 质量为m 的重物悬于细绳上, 细绳跨过滑轮与一弹簧相连. 设滑轮的质量为 M, 视为均质圆盘, 滑轮的半径为R , 弹簧的刚度为k . 绳子与滑轮之间无滑动. 绳 子和弹簧的质量不计. 试求系统振动的固有频率 .,解 : 一个自由度, 选 x 为广义坐标.,选静平衡的位置为重力和弹力的势能零点.,此题也可用动量矩定理或动能定理、机械能守恒等来解.,也可选圆盘转动的角度为广义坐标.,21,2. 静变形法,如果 为已知量,例4. 一简支梁自重不计, 其抗弯刚度EI = 常数. 梁的中部固结一质量为m的物块, 梁的长度为l , 求物块振动的固有频率.,解: 由材料力学的挠度公式,22,3. 刚度折算法,( a ) 弹簧的串并联,当量弹簧,当量弹簧,23,( b ) 等效刚度法,(不考虑杆的质量),例5. 求图示结构的固有频率, 弹簧及刚杆的质量不计.,24,例6. 图示结构中, 不计滑轮、弹簧和绳子的质量, 试求系统振动的固有频率.,25,例7. (书上例3 ) 求图示扭转系统的固有频率.,解:,本题中,26,例8.(书上例2) 一辆起重机被简化为图示结构,试确定系统在垂直方向上振动时的固有频率.,解:,此结构可进一步简化为如下模型,由力矩平衡方程:,并联弹簧在该结构中的当量刚度,27,当a = b,最简模型为:,当量弹簧常数,28,当,29,4. 能量法：,由Tmax=Umax , 求出n .,能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。,解: 单自由度, 选广义坐标 ,振动方程应为,例5. 测振仪的结构简图中, 惯性体质量为 m . 其下端以弹簧支持, 弹簧常数为 k1, 上端铰接在杠杆 AOB 的 B 点, 杠杆与外壳间以一弹簧相连, 弹簧常数为 k2. 已知杠杆对 O 点的转动惯量为 J0. 试求系统的固有频率.,30,例6. (书上p34) 已知质量 弹簧系统. 当静平衡时弹簧长为l , 其线密度为常量 , 而弹簧的刚度为k . 设物块的质量为m. 求振系的固有频率.,解: 物块的振动方程仍应是,弹簧的势能与势能无关,求动能, 则必须知道弹簧上各点的速度分布.,设振动时, 弹簧上的各点的速度大小与其到弹簧固结点的距离成正比 这正与弹簧在振动时各点的位移分布律相同.,由此得弹簧的最大动能,总动能,31,例7 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量为m . 试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。,解： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡且与轮心重合的位置为原点）,以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x,因平衡时,由 T+U = const.,32,对时间 t 求导，再消去公因子 ，得,由 T+U = const.,33,例8 鼓轮的质量M，对轮心回转半径 ，在水平面上只滚不滑，大圆半径 R 小圆半径 r ，弹簧刚度 k1 、k2 ，重物质量为m, 不计轮D 和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。,解：取静平衡位置O 为坐标原点，取C 点偏离平衡位置x 为广义坐标。 系统的最大动能为：,系统的最大势能为：,静平衡时由对轮与地面接触点的力矩平衡方程可得:,设方程为,则,34,由 Tmax= Umax , 解得,35,课外作业: 2 9 2 10 2 16 2 18,2 18 题中, 轻杆是固结在圆盘上的.,36,37,务必按时、按量完成课外作业. 若课外作业有三分之一及三分之一以上未交者, 不能参加期末考试. 在此,特提醒各同学高度注意! 机械振动课程 全学期的学习成绩构成是: 作业占40%, 期末考试占60%.初步安排交6次作业: 第二章3次, 第三章2次, 第四章1次. 具体交作业的时间视教学进度而定.,同学们, 请注意:,38,1- 3 单自由度系统的有阻尼自由振动,一、阻尼的概念： 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。,c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。,二、有阻尼自由振动微分方程及其解：,由牛顿定律建立方程:,39,特征方程:,微分方程的解为:,显然有,40,令,(C0 为临界阻尼),由前面,在上面的等式关系中,常用的关系式为,令,41,由初始条件,由(1)、(2),当 = 0,42,三.粘性阻尼自由振动的基本特征,有阻尼自由振动的圆频率,43,衰减振动的特点：,(1) 振动周期变大，频率减小.,(2) 振幅按几何级数衰减,相邻两次振幅之比,44,d 的自然对数称为对数减缩率. 记为,两邻近的振幅之比称为减幅系数. 记为d,45,例1.(书上例2) 有一阻尼质量弹簧振系, m = 8kg , k = 5N/mm , c = 0.2N.s/mm . 试确定其振动方程的表达式.,解:,( 注意物理学量纲的标准化),若有初始条件,46,例2 质量弹簧系统，物块重W =150N，其重力使弹簧的静伸长st=1cm , 在振动过程中测得: A1=0.8cm, A21=0.16cm. 求阻尼系数c .,解：,由于 很小，,由振幅比可知,即,两边同取对数,47,n称为阻尼系数, 其量纲与n相同.,阻尼比,若 = 1,48,例3. (书上例3) 一台水准仪简化为长为L 的轻质杆和直径为d 的浮筒. 浮筒的质量为m , 横截面为A, 液体的密度为 . 为使浮筒工作时不发生振动, 在距杆的支点O 为l 处安装一线性阻尼器. 求: 阻尼器的临界阻尼系数 co .,解: 由对O点的动量矩定理,B,49,另解,特征方程为,令,便有,又另解,当n = n 时, = 1, c = co .,50,1 4 简谐激励作用下的强迫振动,强迫振动：在外加激励作用下的振动。 简谐激励是指激励的变化为正弦或余弦函数.,一个振系在简谐激励下的作用主要有3 种情况: 1. 简谐外激扰力作用; 2. 振系本身产生惯性激扰力的作用; 3. 支座的运动为简谐函数规律.,一. 简谐力作用下的强迫振动,力幅的静伸长,51,此方程的全解为,下面研究稳态解,其中 为外激扰变化的频率,将(1)、(2)、(3) 式代入原方程(A) 比较两边系数可得:,令,(频比),令, 动力放大因子,52,3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统 的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅及阻尼有关。,1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。,2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的 质量及刚度系数无关。,令,53, 动力放大因子,无论阻尼如何, 当 r 0 则M = 1. 即当外激扰频率 0, 则X/X0 = 1. 亦即振幅与力幅的静伸长相近. 当r , 则 M 0 . 即当外激扰频率较振系的固有频率高出许多时, X/X0 0. 这表明外激扰对振系的动力效应非常之小.,在 0.85 r 1.15 , 且 0 0.707 , 振系的振 幅 不超过外激扰力幅的静力效应.,54,(4),即有,(驻点),当 时, 才有隔振效果.,(2) 在给定r 后, 减小阻尼可使隔振效果更好一些.,75,二. 振动测振仪原理,工程中使用的振动测振仪有三种基本形式, 分别测试振动的位移、速度和加速度, 它们都是根据基础运动引起的系统的强迫振动的模型而设计的. 在测量时, 把测振仪固定在被测的对象上, 并使仪器的测量方向与被测对象的振动方向一致.,为测地面的振动, 可考察图示的振系,令,测振仪记录的振动是相对振动,方程的稳态解为,76,a. 位移传感器,令,如果图示振动结构的固有频率远比基础的振动频率低, 则记录仪上显示的大体是基础振动的位移变化,77,b. 加速度传感器,如果图示振动结构的固有频率远比基础的振动频率高, 则从记录仪上的显示可度量基础振动的加速度振幅.,c. 速度传感器,由,令,如果图示振动结构的固有频率与基础的振动频率大至相等, 则从记录仪上的显示可度量基础振动的速度振幅.,78,例7. (书上习 2 52 ) 有一加速度计, 本身的固有频率是20rad/s, 阻尼比为0.7 , 如果允许的测量误差为1% , 问能测的最高频率为多少?,解,Z是测得的振幅, 由题意它应是实际振幅的99% .,由加速度计的振幅比公式,(舍去),本题说明: 在给定了加速度计的固有频率及阻尼比, 如果振体的最高频率不超过某一值(当然要远小于仪器的固有频率) , 则测量的结果足够精确.,79, 转子的临界转速问题,引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速。这种现象是由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。,单圆盘转子： 圆盘： 质量m, 质心 C点, 转轴过盘的几何中心A点， AC= e (偏心距)，盘和轴共同以匀角速度 转动. 当 n ( 超临界转速 ) , x 与e 反号, OC = x- e 表明质心 C 位于O、A之间 .,此外, 需要说明的是: 即使偏心距 e = 0 ( 实际不大可能) , 仍有,临界角速度：,81,1 6 非简谐激励作用下的振系的响应,一. 一般周期激励下的强迫振动,基本思路: 把周期激励展成傅立叶级数, 利用叠加原理分析和计算.,设一单自由度振系, 受到周期力F(t) 的作用.,其中, F(t) = F(t +T ),对于上述的F(t) 有,其中,82,则原方程化为:,振系的稳态响应为一系列频率为2/T整数倍的简谐振动的叠加.,对于常力,系统的稳态响应是,( n = 1、2、3、4 ),83,( n = 1、2、3、4 ), 系统的稳态响应为:,若 n n , 则会发生共振. 因此, 一般的周期激励比简谐激励更容易使 系统发生共振.,84,例1. ( 书上p70) 设一无阻尼振系, 固有频率n , 受图示方波激扰. 求系统的稳 态响应.,( n = 0、1、2、3、4 ),解: 补充定义使方波函数为t的奇函数,亦为奇函数,85,( n = 1、3、5 ),( n = 2、4、6 ),取前几项展开则有,86,例2. 一凸轮机构, 凸轮以每分钟60转旋转, 产生升程为1个长度单位的锯齿运动以 激励一质量阻尼弹簧系统. 求系统的稳态振动 .,解: 由所给的已知条件可有,( n = 1、2、3、4 )