牛顿插值法PPT课件

.,1,2.3Newton插值,.,2,函数插值问题描述,设已知某个函数关系在某些离散点上的函数值：插值问题:根据这些已知数据来构造函数的一种简单的近似表达式,以便于计算点的函数值，或计算函数的一阶、二阶导数值。,.,3,Newton插值,求作n次多项式使得：,.,4,插值问题讨论,Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，,全部基函数li(x)都需重新算过。,.,5,Newton插值的承袭性,.,6,Newton插值,.,7,具有承袭性的插值公式,线性插值公式可以写成如下形式：其中，其修正项的系数再修正可以进一步得到拋物插值公式其中以上讨论说明，为建立具有承袭性的插值公式，需要引进差商概念并研究其性质。,.,8,差商的概念,1差商的定义,定义1：设有函数f(x)以及自变量的一系列互不相等,的x0,x1,xn（即在ij时，xixj）的值f(xi),称,为f(x)在点xi,xj处的一阶差商，并记作fxi,xj，,.,9,差商的概念(续),又称,为在点处的二阶差商,称,为f(x)在点处的n阶差商。,.,10,差商表,由差商定义可知：高阶差商是两个低一阶差商的差商。,.,11,差商形式的插值公式,再考虑拉格朗日插值问题：问题求作次数多项式，使满足条件：利用差商，其解亦可表达为如下形式：这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式。,.,12,Newton插值,容易证明牛顿插值多项式满足插值条件。由插值多项式的唯一性，得,牛顿插值多项式的误差估计,.,13,Newton插值(续),牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点时，,只要再增加一项就行了，即有递推式:,.,14,例题分析,.,15,例题分析（续1）,.,16,例题分析（续2）,.,17,练习：若上例中增加两点f(-2)=2,f(3)=2，加上原来三点f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1，求f(x)的Newdon插值多项式。,.,18,Hermite插值多项式,要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。,在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅,把此类插值多项式称为埃尔米特（Hermite）,插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H(x)。,.,19,Hermite插值多项式（续1）,N1,N个条件可以确定阶多项式。,.,20,已知函数在区间a,b上n个互异点处的函数值，,以及导数值，求,使得满足插值条件,Hermite插值多项式（续2）,.,21,简化问题描述,使得满足插值条件,.,22,Hermite插值多项式,构造各个节点的插值基函数,Hermit插值函数可表成,构造方法：（类似Lagrange插值基函数）,.,23,两点三次Hermit插值,使得满足插值条件,已知：,.,24,两点三次Hermit插值（续1）,直接设,待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数,使之满足,.,25,两点三次Hermit插值（续2）,为方便起见，先考虑,的情形,，,，,在一般情形下，只需作变换,.,26,两点三次Hermit插值（续3）,相应的基函数为：,，,，,，,.,27,两点三次Hermit插值（续4）,从而Hermite插值多项式为,.,28,算例：已知对数函数在两点处的值及导数值,用三次Hermit多项式求的近似值,ln,1.5,=,0.409074,两点三次Hermit插值（续5）,.,29,一般的Hermit插值,设在n+1个节点,给出函数值和导数值,要求插值多项式满足,满足这些条件的插值多项式就是Hermit插值多项式。其构造方法和两点情况类似，不再重复。,.,30,高次插值的龙格现象,对于代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考察函数，设将区间分为等份，表取个等分点作节点的插值多项式，如下图所示，当增大时，在两端会发出激烈的振荡，这就是所谓龙格现象。,.,31,龙格现象,.,32,分段插值的概念,所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先将所考察的区间作一分划并在每个子段上构造插值多项式，然后把它们装配在一起，作为整个区间上的插值函数，即称为分段多项式。如果函数在分划的每个子段上都是次式，则称为具有分划的分段次式。,.,33,分段插值,1.分段线性插值；2.分段抛物插值；3.分段低次多项式插值；原因：高次插值会发生Runge现象。逼近效果并不算太好！,.,34,分段线性插值,满足条件具有分划的分段一次式在每个子段上都具有如下表达式：,.,35,分段三次埃尔米特插值,问题：求作具有分划的分段三次式，使成立解：由于每个子段上的都是三次式，且满足埃尔米特插值条件：所以其中，且有,.,36,样条函数的概念,所谓样条函数，从数学上讲，就是按一定光滑性要求“装配”起来的分段多项式，具体的说，称具有分划的分段次式为次样条函数，如果它在每个内节点上具有直到阶连续导数。点称为样条函数的节点。特别地，零次样条就是人们熟知的阶梯函数，一次样条则为折线函数。,.,37,样条函数插值,插值曲线既要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。,这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数，它所对应的曲线称为样条曲线，其节点称为样点，这种插值方法称为样条插值。,.,38,样条函数插值（续1）,插值函数。,.,39,样条函数插值（续2）,f(x),H(x),S(x),注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道f的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插