2019 07 30 方法精讲-数量1 高照 笔记2020省考笔试大班-山东2期1

方法精讲-数量 1 主讲教师：高照 授课时间：2019.07.30 粉笔公考官方微信 1 方法精讲方法精讲- -数量数量 1 1（笔记）（笔记） 学习任务： 1.课程内容：代入排除法、数字特性法、方程法。 2.授课时长：3 小时。 3.对应讲义：160 页167 页。 4.重点内容： （1）掌握代入排除法的适用范围。 （2）掌握奇偶特性的条件特征与使用方法。 （3）掌握倍数特性的基础知识、判定法则，以及余数型和比例型的解题 思路。 （4）掌握设未知数的技巧，熟悉不定方程的三种特性分析方法，了解赋 零法的运用前提和运用方法。 【注意】1.数量资料： （1）模块特点： 数学运算：多且分散，重点突破。 资料分析：少且集中，全盘通吃。 （2）学习方法： 课前：预习，了解重点和难点，熟悉题目；不预习的话很有可能跟不上。 课中：学会听方法而不是仅仅听答案，不要只是做笔记，不要催进度（老 师会根据大多数学员的基础把握授课速度） 。 课后： 补全笔记、 老师布置的作业 （必须完成） ， 查漏补缺、 粉笔公考 APP。 （3）如何听课： 全屏听课、坚持直播。 有效互动、关于答疑。 2.课堂小贴士： （1）课前预习：课上认真听别走神。 （2）听懂打 1，不懂打 0。 2 （3）跟上节奏。 3.课程安排： （1）方法精讲 1：数学思想。第一节代入排除法，第二节数字特性，第三节 方程法，课程时长 3 小时。 （2）方法精讲 2：第四节工程问题，第五节行程问题，课程时长 3 小时。 （3）方法精讲 3：第六节经济利润问题，第七节几何问题，第八节容斥原 理，课程时长 3 小时。 （4）方法精讲 4：第九节最值问题，第十节排列组合与概率问题，课程时长 3 小时。 （5）其他小点在强化练习中。 第一节 代入排除法 【注意】建议在课堂上知识点必须记笔记，虽然后面有思维导图，但只有自 己做笔记才能把知识点变成自己的；另外，不建议大家选择截图记笔记的方法， 因为截图太多很可能就成为了历史，而自己依然没有掌握。 【知识点】代入排除法： 1.什么时候用？ （1）题型：年龄、余数、不定方程、多位数。 年龄：涉及到年龄的问题。 余数： 例：一个数，除以 7 余 3，除以 8 余 2，除以 9 余 1，问：这个数可能是 几？ A.10 B.11 C.12 D.13 答：余数问题，代入选项即可。 不定方程：一个方程两个未知数。 例：3x+2y=10，求：x、y 的值。 3 A.2、2 B.2、3 C.1、4 D.0、4 答：不定方程问题，代入选项即可。 多位数问题： 例：一个三位数，十位和个位对调，比原来大 9，问：这个三位数可能是 几？ A.120 B.121 C.122 D.123 答：多位数问题，代入选项即可。 （2）选项：选项信息充分（分别为/各为） 、剩二代一。 选项信息充分（分别为/各为） ：例如高照老师和张小龙体重一共是 350 斤，高照老师、张小龙老师体重产生了若干变化后，问两人体重分别（各）是 多少。 剩二代一：比如四个选项，排除了 B、C 项，还剩下 A、D 项，代入 A 项， 如果 A 项满足题干所有条件，直接选 A 项；如果 A 项不满足题干的条件，则可 直接选 D 项。 （3）题干：主体多（比如有 ABCDEF 很多主体） 、条件复杂，尝试代入。 2.怎么用？ （1）第一步，先排除。根据奇偶、倍数、尾数、大小（比如 A+B=500，A=B 时，可得 A=B=250；若 AB，则 A 一定大于 250。结论：A+B=总数，若 AB， 则 A总数的一半） 。 （2）第二步，再代入。 从简原则（比如：两个选项分别为 89 和 90，则优先代 90） 。 最值原则（问最大从大的选项开始代，问最小从小的选项代） 。 3.代入排除的核心思想：遇到坎坷就排除，一马平川就选择。 【例 1】 （2019 江苏）一只密码箱的密码是一个三位数，满足：3 个数字之和 为 19，十位上的数比个位上的数大 2。若将百位上的数与个位上的数对调，得到 一个新密码，且新密码数比原密码数大 99，则原密码数是： 4 A.397 B.586 C.675 D.964 【解析】例 1.多位数问题，方法：代入排除法。题干给出了三个条件： “3 个 数字之和为 19” “十位上的数比个位上的数大 2” “若将百位上的数与个位上的数 对调，得到一个新密码，且新密码数比原密码数大 99” ，其中前两个条件较为简 单，往往能排除的选项较少，所以建议从第三个条件开始代入。代入 A 项：793- 397，尾数是 6、不是 9，结果不可能为 99，排除；代入 B 项：685-586，尾数是 9，结果为 99，满足第三个条件；再验证 B 项是否满足前两个条件，发现同样满 足“3 个数字之和为 19” “十位上的数比个位上的数大 2” ，对应 B 项。 【选 B】 【注意】1.有三个条件的多位数问题，建议从第三个条件开始代入。 2.对于出现计算的多位数问题，建议采取尾数法进行计算。 【例 2】 （2019 江苏）一群学生分小组在户外活动，如 3 人一组还多 2 人， 5 人一组还多 3 人，7 人一组还多 4 人，则该群学生的最少人数是： A.23 B.53 C.88 D.158 【解析】例 2.余数问题，方法：代入排除法；问“最少” ，属于最值代入问 题，考虑从小的选项开始代入。代入 A 项：23/3=72，满足“如 3 人一组还 多 2 人” ；23/5=43，满足“5 人一组还多 3 人” ；23/7=32，不满足“7 人一组还多 4 人” ，排除 A 项。代入 B 项：53/3=172，满足“如 3 人一组还 多 2 人” ；53/5=103，满足“5 人一组还多 3 人” ；53/7=74，满足“7 人 一组还多 4 人” ，满足所有条件，对应 B 项。 【选 B】 【例 3】 （2016 吉林）已知赵先生的年龄是钱先生年龄的 2 倍，钱先生比孙 先生小 7 岁，三位先生的年龄之和是小于 70 的素数，且素数的各位数字之和为 13，那么，赵、钱、孙三位先生的年龄分别为： A.30 岁，15 岁，22 岁 B.36 岁，18 岁，13 岁 C.28 岁，14 岁，25 岁 D.14 岁，7 岁，46 岁 【解析】例 3.年龄问题，方法：代入排除法；根据问法出现“分别” ，属于 5 选项信息充分，同样印证需要使用代入排除法。根据根据“已知赵先生的年龄是 钱先生年龄的 2 倍”无法排除任何选项；根据“钱先生比孙先生小 7 岁” ，排除 B、C、D 项，对应 A 项。 【选 A】 【注意】1.素数（质数） ：在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再 有其他因数；素数是孤独的数，只有 1 和它本身两个约数。 2.仅限于多位数问题才从复杂条件开始代入；而在年龄问题中，几乎每个条 件都是有用的。 【例 4】 （2019 北京）某工厂有甲、乙、丙 3 条生产线，每小时均生产整数 件产品。其中甲生产线的效率是乙生产线的 3 倍，且每小时比丙生产线多生产 9 件产品。已知 3 条生产线每小时生产的产品之和不到 100 件且为质数，则乙生产 线每小时最多可能生产多少件产品？ A.14 B.12 C.11 D.8 【解析】例 4.根据“其中甲生产线的效率是乙生产线的 3 倍”可得：甲=3* 乙；根据“且每小时比丙生产线多生产 9 件产品”可得：甲=丙+9；根据“已知 3 条生产线每小时生产的产品之和不到 100 件且为质数” 可得： 甲+乙+丙100， 且是结果是一个质数。 发现一旦知道乙生产线每小时生产多少件产品就可以推出 甲、丙，所以本题同样属于选项信息充分的题目。代入 A 项：若乙为 14，根据 “甲生产线的效率是乙生产线的 3 倍” ，则甲为 42； “且每小时比丙生产线多生 产 9 件产品” ，则丙=42-9=33； “3 条生产线每小时生产的产品之和不到 100 件且 为质数” ，发现 42+14+33=56+33=89，且 89 是质数，满足所有条件，对应 A 项。 【选 A】 【注意】D 项虽然也满足所有条件但不是选项中最多的，问“最多” ，从最大 选项开始代入。 【答案汇总】1-4：BBAA 6 【小结】代入排除： 1.范围： （1）典型题：年龄、余数、不定方程、多位数。 （2）看选项：选项为一组数、可转化为一组数（例 4）。 （3）剩两项：只剩两项时，代一项即得答案。 （4）复杂题型：主体多、关系乱。 2.方法： （1）优先排除：尾数（例：376-115，可以根据尾数为 1 排除一些选项）、 奇偶、倍数、大小（A+B=总数，若 AB，则 A一半）。 （2）直接代入：最值（问最大从最大开始代、问最小从最小开始代）、好 算。 第二节 奇偶、倍数特性法 一、奇偶特性 【知识点】奇偶特性： 1.加减关系： （1）奇偶特性（加减） ： 奇数+奇数=偶数，奇数-奇数=偶数。例：7+5=12，7-5=2。 偶数+偶数=偶数，偶数-偶数=偶数。例：6+2=8，6-2=4。 奇数+偶数=奇数，奇数-偶数=奇数。例：7+2=9，7-2=5。 7 偶数+奇数=奇数，偶数-奇数=奇数。 （2）结论： 在加减法中，同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。 a+b 与 a-b 的奇偶性相同（和差同性） 。 （3）引例.共 50 题，答对得 3 分，答错倒扣 1 分，共得 82 分，问答对的 题和答错的题相差多少道？ A.16 B.17 C.31 D.33 答：设答对 x 题，答错 y 题，根据题意列方程：x+y=50，3x-y=82，若解 方程就把简单问题做复杂了。根据“和差同性” ，既然题目总数为偶数，那么 答对和答错题目的差一定为偶数，只有 A 项符合题意。 2.乘法关系： （1）奇偶特性（乘） ： 奇数*奇数=奇数。例：5*7=35。 偶数*偶数=偶数。例：6*8=48。 奇数*偶数=偶数。例：5*6=30。 偶数*奇数=偶数。 （2）结论：在乘法中，一个为偶则为偶，全部为奇才为奇。 （3）引例 1：请问 4x、5y、6z 奇偶性（x、y、z 为整数）？ 答：4x、6z 一定是是偶数；但 5y 不确定：若 y 是偶数，则 5y 是偶数；若 y 是奇数，则 5y 是奇数。 （4）引例 2：5x+6y=76（x、y 是质数） ，求 x、y。 答：常见的质数有 2、3、5、7、11，其中只有 2 是唯一的偶数。观察 方程，发现 76 是偶数、6y 也是偶数，所以 5x 一定是偶数；5 不是偶数，则 x 一定是偶数， 又因为 x 是质数， 所以 x 只能为 2。 将 x=2 代入方程得： 10+6y=76， 整理得：6y=66，解得：y=11。 3.什么时候用，怎么用？ （1）不定方程（ax+by=c，不定方程一般先分析奇偶性） 。 （2）知和求差、知差求和。 8 （3）平均分两份，2、4、6 倍。 4.奇偶特性核心思想：火眼金睛，找到切入点。 【例 1】 （2019 河南）某儿童剧以团购方式销售门票，其票价如下： 现有甲、乙两个小学组织学生观看，若两个学校以各自学生总数分别购票， 则两个学校门票共计需花费 6120 元；若两个学校将各自的学生合在一起购票， 则门票费为 5040 元。据此可知，两个小学相差多少人？ A.18 B.19 C.20 D.21 【解析】例 1.根据题中表格可知，若甲、乙两个学校人数和只有 30 人，此 时两个学校花费=30*90=27005040；若甲、乙两个学校人数和只有 50 人，此时 两个学校花费=50*825040，所以甲、乙两个学校的人数和一定是 50 人以上； 50 人以上每人票价为 70 元，则甲、乙两个学校的人数=5040/70=72 人，发现 72 为偶数，根据和差同性可知：甲、乙个学校的人数差一定为偶数，排除 B、D 项； A、C 项相比，代入 C 项较为好算，优先代入 C 项：甲+乙=72，甲-乙=20， +得，2*甲=92，解得甲=46，乙=26；验证是否满足“若两个学校以各自学生总 数分别购票，则两个学校门票共计需花费 6120 元” ，甲、乙两个学校分开购买花 费=46*82+26*90，结果的尾数不为 0，即结果不为 6120 元，不满足条件，排除 C 项，对应 A 项。 【选 A】 9 【小结】奇偶特性： 1.范围： （1）知和求差、知差求和。 （2）不定方程。 （3）A 是 B 的 2、4、6倍、将 A 平均分成两份A 为偶数。 2.方法： （1）和差：a+b 与 a-b 的奇偶性相同。 （2）积：4x、6y 必为偶数；3x、5y 不确定。 （3）注：上述的 x、y 均为整数。 二、倍数特性 【知识点】倍数特性： 1.整除型：如果 A=B*C（B、C 均为整数） ，那么 A 能被 B 整除，且 A 能被 C 整除。例：15=3*5，说明 15 一定能被 3 整除，15 也一定能被 5 整除。 2.余数型（平均分组） 。 3.比例型。 【例 1】 （2017 联考）如下图，一个正方体的表面上分别写着连续的 6 个整 数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，则这 6 个整数的和为： 10 A.53 B.52 C.51 D.50 【解析】例 1.若从第一个条件“一个正方体的表面上分别写着连续的 6 个 整数”入手，会出现两种情况，就将题目做复杂了。根据“且每两个相对面上的 两个数的和都相等” ，说明：总和=上下+左右+前后=相对面的和*3，即总和一定 是 3 的倍数，只有 C 项符合。 【选 C】 【注意】对于公务员考试的数量关系问题，一定要抓住问题的所在。 【知识点】整除判定法则： 1.口诀法（3、9 看各位数字和；2、5 看末 1 位；4、25 看末 2 位；8、125 看末 3 位） 。 （1）3、9 看各位数字和： 验证 53 能否被 3 整除， 5+3=8， 8 不能被 3 整除， 所以 53 不能被 3 整除； 验证 1236 能否被 3 整除， 1+2+3+6=12， 12 能被 3 整除， 所以 1236 能被 3 整除； 验证 12366 能否被 9 整除，1+2+3+6+6=18，18 能被 9 整除，则 12366 能被 9 整 除。 “弃九法” ， 验证 138645 能否被 9 整除， 1+8=9、 3+6=9、 4+5=9， 所以 138645 可以被 9 整除。 “弃三法” ：验证 12261 能否被 3 整除，1+2=3，2+1=3，剩余 6，3、3、6 都能被 3 整除，所以 12261 能被 3 整除。 （2）2、5 看末 1 位。末 1 位是 0、2、4、6、8能被 2 整除，末 1 位是 0 或 5 能被 5 整除。 例：379 的末 1 位 9 不能被 5 整除，所以 379 不能被 5 整除。 （3）4、25 看末 2 位：abc=a*100+bc，a*100 一定能被 4 和 25 整除，所以 验证 abc 能否被 4 和 25 整除，只需看末两位能否被 4 和 25 整除即可。 11 例：3216，末 2 位 16 能被 4 整除，所以 3216 能被 4 整除。 （4）8、125 看末 3 位：abcd=a*1000+bcd，a*1000 一定可以被 8 和 125 整 除，所以验证 abcd 能否被 8 和 125 整除，只需看末三位能否被 8 和 125 整除即 可。 （5）计算技巧： 一个数除以 5，等于这个数乘以 2，小数点向前移 1 位。 例：24/5=（24*2）/（5*2）=48/10=4.8。36/5=（36*2）/10=7.2。 一个数除以 25，等于这个数乘以 4，小数点向前移 2 位。 例：24/25=（24*4）/（25*4）=96/100=0.96。36/25=（36*4）/100=1.44。 一个数除以 125，等于这个数乘以 8，小数点向前移 3 位。 例： 24/125= （24*8） / （125*8） =192/1000=0.192。 36/125= （36*8） /1000=0.288。 2.拆分法（+-） ：要验证是否是 a 的倍数，只需将它拆分成 a 的整数倍一 个小数字，若小数字也能被 a 整除，原数即能被 a 整除。 （1）例：验证 623 能否被 7 整除，623=630-7，发现 630、7 都可以被 7 整 除，则 623 可以被 7 整除；验证 637 能否被 7 整除，637=630+7，630、7 都可以 被 7 整除，则 637 可以被 7 整除。 （2） 验证 484 能否被 11 整除， 484=440+44， 发现 440、 44 都能被 11 整除， 所以 484 能被 11 整除。 3.复杂倍数用因式分解（*） ： （1）判断一个数能否被 45 整除，只需判断它能否被 9 和 5 的整除即可。 45=5*9，若一个数既能被 5 整除、又能被 9 整除，就可以被 45 整除；15=3*5， 若一个数既能被 3 整除、又能被 5 整除，就可以被 15 整除。 （2）tips：注意分解后的 2 个数必须互质，互质指两数没有公约数。45 不 能拆成 3*15，因为 3 和 15 有公约数，15 能被 3 整除，也能被 15 整除，但是 15 不能被 45 整除。同样，若验证一个数能否被 12 整除，需将 12 拆分为 12=3*4， 若一个数既能被 3 整除、又能被 4 整除，这个数就能被 12 整除；而不能将 12 拆 为 12=2*6，因为 2 和 6 存在公约数。 12 4.整除数特征： （1）2：末尾是 0、2、4、6、8。 （2）3：各数位上数字的和是 3 的倍数。 （3）5：末尾是 0 或 5。 （4）9：各数位上数字的和是 9 的倍数。 （5）11：奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是 11 的倍数。 （6）4 和 25：末两位数是 4（或 25）的倍数。 （7）8 和 125：末三位数是 8（或 125）的倍数。 （8）7、11、13：末三位数与前几位数的差是 7（或 11 或 13）的倍数。 （公 考一般只考查三、四位数，一般不会考到更多位数，所以 7、11、13 的整除判定 法则无需记忆、了解即可，若考场上遇到了这几个数字的整除判定，建议采用拆 分法） 。 【例 2】（2019 上海）小李第一次买了 A、B、C 三种饮料各若干瓶，共花去 了 75 元；之后他再次买了这三种饮料若干瓶，共花去了 134 元。两次购买的每 种饮料数量之和相同，那么若三种饮料各买 1 瓶最多需花费多少元？（假设饮料 价格都是整数元） A.11 B.15 C.19 D.23 【解析】例 2.根据“两次购买的每种饮料数量之和相同” ，说明：A 的总量 =B 的总量=C 的总量；假设 A、B、C 三种饮料各一瓶构成一套，设共买了 n 套饮 料、每套的单价为 x，所求的即为 x；根据“小李第一次买了 A、B、C 三种饮料 各若干瓶，共花去了 75 元；之后他再次买了这三种饮料若干瓶，共花去了 134 13 元”列方程：n*x=134+75=209，其中 n 一定为整数；问最多，从最大选项开始代 入。代入 D 项：每套单价为 23 元，209=230-21，230 能被 23 整除，21 不能被 23 整除，所以 209 不能被 23 整除，n 不为整数，排除；代入 C 项：每套单价为 19 元，209=190+19，190、19 都能被 19 整除，所以 209 能被 19 整除，n 为整数， 满足题干条件，对应 C 项。 【选 C】 【注意】本题的关键是正确理解“两次购买的每种饮料数量之和相同” ：比 分两次购买眼霜、面膜、大宝，第一次买眼霜 3 瓶、面膜 5 盒、大宝 4 瓶；若两 次购买的每种饮料数量之和相同为 10，则第二次应买眼霜 7 瓶、面膜 5 盒、大 宝 6 瓶。 【知识点】余数型基础知识：总数=a*x+b总数-b=ax。 1.例：一堆苹果，每人分 10 个，正好分完。 答：根据题意得：总数=10*人数，说明苹果总数是 10 的倍数。 2.例：一堆苹果，每人分 10 个，还剩 3 个，则苹果个数？ 答：根据题意得：总数=10*人数+3，总数-3=10*人数，说明（总数-3）是 10 的倍数。 3.例：一堆苹果，每人分 10 个，还缺 3 个，则苹果个数？ 答：根据题意得：总数+3=人数*10，说明（总数+3）是 10 的倍数。 【例 3】（2016 深圳）两箱同样多的蛋黄派分别分发给两队志愿者做早餐， 分给甲队每人 6 块缺 8 块，分给乙队每人 7 块剩 6 块，已知甲队比乙队多 6 人， 则一箱蛋黄派有多少块？ A.120 B.160 C.180 D.240 【解析】例 3.根据“甲队每人 6 块缺 8 块，分给乙队每人 7 块剩 6 块”可 得：总数+8=6*甲人数，总数-6=7*乙人数；由于 6 的倍数更好验证，考虑从 6 的 倍数入手，即（总数+8）应为 6 的倍数。代入 A 项：120 能被 6 整除，8 不能被 6 整除，所以 120+8 不能被 6 整除，排除；C 项：180 能被 6 整除，8 不能被 6 整 除，所以 180+8 就不能被 6 整除，排除；D 项：240 能被 6 整除，8 不能被 6 整 14 除，所以 240+8 就不能被 6 整除，排除。排除 A、C、D 项，对应 B 项。 【选 B】 【例 4】（2019 江苏 B）某机关事务处集中采购了一批打印纸，分发给各职 能部门。如果按每个部门 9 包分发，则多 6 包；如果按每个部门 11 包分发，则 有 1 个部门只能分到 1 包。这批打印纸的数量是： A.87 包 B.78 包 C.69 包 D.67 包 【解析】例 4.平均分组问题。根据“如果按每个部门 9 包分发，则多 6 包； 如果按每个部门 11 包分发，则有 1 个部门只能分到 1 包”可得：总数-6=9*部门 数，总数+10=11*部门数；由于 9 的倍数比较好验证，考虑从 9 的整除入手。A 项：87-6=81，能被 9 整除，满足；B 项：78-6=72，能被 9 整除，满足；C 项： 69-6=63，能被 9 整除，满足；D 项：67-6=61，不能被 9 整除，排除 D 项。再从 11 的整除入手，A 项：87+10=97，97 不能被 11 整除，排除；B 项：78+10=88， 88 能被 11 整除，满足；C 项：69+10=79，79 不能被 11 整除，排除，对应 B 项。 【选 B】 【例 5】 （2019 河南）现有 5 盒动画卡片，各盒卡片张数分别为：7、9、 11、 14、17。卡片按图案分为米老鼠、葫芦娃、喜羊羊和灰太狼 4 种，每个盒内装的 是同图案的卡片。已知米老鼠的卡片只有一盒，而喜羊羊、灰太狼图案的卡片数 之和比葫芦娃图案的多 1 倍，据此可知，图案为米老鼠的卡片张数为： A.7 B.9 C.14 D.17 【解析】例 5.“多 1 倍”即为“2 倍”，设米老鼠、葫芦娃、喜羊羊和灰太 狼为 x、y、z、m，根据“喜羊羊、灰太狼图案的卡片数之和比葫芦娃图案的多 1 倍”可得：z+m=2*y；根据总数列方程：x=总数-（y+z+m），将代入得：x=总数- 3y，整理得 3y=总数-x，即 3y=（7+9+11+14+17）-x，3y=58-x，说明（58-x）为 3 的倍数。代入 A 项，58-7=51，51 是 3 的倍数；代入 B 项：58-9=49，49 不是 3 的倍数，排除；代入 C 项：58-14=44，44 不是 3 的倍数，排除；代入 D 项：58- 17=41，41 不是 3 的倍数，排除。最终，只有 A 项符合题意。【选 A】 15 【答案汇总】1-5：CCBBA 【知识点】比例型基础知识： 1.A/B=m/n， 特别注意： m/n 必须化到最简， 不能再约分。 例如： 男/女=3/5， 需要化到最简分数，此时男是 3 的倍数；女是 5 的倍数；和：（男+女）是 8 的 倍数；差：（女-男）是 2 的倍数。 2.（1）A 是 m 的倍数。 （2）B 是 n 的倍数。 （3）A+B 是 m+n 的倍数。 （4）A-B 是 m-n 的倍数。 3.（1）男员工是女员工的 3/5（分数）。 （2）男员工与女员工之比 3：5（比例）。 （3）男员工是女员工的 60%（百分数）。 （4）男员工是女员工的 0.6 倍（倍数）。 例如： 男=女*3/5男/女=3/5； 女*60%男=女*3/5； 男=0.6*女男/女=3/5。 4.比例型适用于： （1）题干特征：分数、比例、百分数、倍数。 （2）对象特征：描述对象为不可分割的整体，整数才有意义。例如人、车。 年龄等。 【例 6】（2017 吉林）古希腊数学家丢番图（Diophantus）的墓志铭：过路 人， 这儿埋葬着丢番图， 他生命的六分之一是童年； 再过了一生的十二分之一后， 他开始长胡须，又过了一生的七分之一后他结了婚；婚后五年他有了儿子，但可 惜儿子的寿命只有父亲的一半，儿子死后，老人再活了四年就结束了余生。根据 这个墓志铭，丢番图的寿命为： A.60 B.84 C.77 D.63 【解析】例 6.题目出现分数即总年龄的 1/6、1/12、1/7，说明总年龄是 6、 16 12、7 的倍数，A 项不是 7 的倍数，C 项不是 6、12 的倍数，D 项不是 6、12 的倍 数，只有 B 项满足。【选 B】 【例 7】（2019 江苏）某地区有甲、乙、丙、丁 4 个派出所。已知上月甲、 乙 2 个派出所的合计出警次数是 95 次，乙、丙、丁 3 个派出所的合计出警次数 是 140 次，乙派出所的出警次数占 4 个派出所合计出警次数的 7/40，则上月甲 派出所的出警次数是： A.55 次 B.60 次 C.68 次 D.75 次 【解析】例 7.根据题意：甲+乙=95，乙+丙+丁=140，乙/总数=7/40。三个方 程，四个未知数，不定方程组考虑代入或者看到出现分数，结合倍数特性解题。 方法一：根据乙/总数=7/40，说明总数是 40 的倍数，乙是 7 的倍数。根据 甲+乙=95， 说明乙=95-甲， 结合选项代入看乙是否为 7 的倍数。 A 项： 95-55=40， 不是 7 的倍数，排除。B 项：95-60=35，是 7 的倍数，保留。C 项：95-68=27， 不是 7 的倍数，排除。D 项：95-75=20，不是 7 的倍数，排除。只有 B 项满足。 方法二：根据乙/总数=7/40，说明总数是 40 的倍数。代入乙+丙+丁=140， 说明总数=甲+乙+丙+丁=（甲+140）是 40 的倍数。A 项：55+140=195，不是 40 的 倍数，排除。B 项：60+140=200，是 40 的倍数，保留。C 项：68+140=208，不是 40 的倍数，排除。D 项：75+140=215，不是 40 的倍数，排除。只有 B 项满足。 【选 B】 【注意】数量题目，抓住问题的所在，公务员考试在于行政能力的测试（做 事情的能力），抓住主要的矛盾，不管用什么方法能解出即可。 【例 8】（2016 北京）某单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数的 62.5%。现又有 2 名职工评上中级职称，之后该单位拥有中级及以上职称的人数 占总人数的 7/11。则该单位原来有多少名职称在中级以下的职工？ A.68 B.66 C.64 D.60 【解析】例 8.先看“是什么”。出现百分数、分数，又是人数，考虑倍数特 17 性。根据题意：原来中级以上/总=62.5%=50%+12.5%=1/2+1/8=5/8，说明原来中 级以下是 3 的倍数，排除 A、C 项。根据“又有 2 名职工评上中级职称，之后该 单位拥有中级及以上职称的人数占总人数的 7/11” ， 说明 （原来中级以上+2） /总 =7/11，即原来中级以下-2=现在中级以下是 4 的倍数，代入 B 项：66-2=64，是 4 的倍数，保留。代入 D 项：60-2=58，不是 4 的倍数，排除。 【选 B】 【注意】1.高照和你一起吃包子，一共买了 5 个包子，高照吃 3 个，你吃 2 个，说明你/总数=2/5，高照/总数=3/5。后高照少吃一个，你多吃一个，则（原 你+1）/总数=3/5， （原高照-1）/总数=2/5，此消彼长。 2.判定方法：出现%、分数、人数，考虑用倍数特性。 3.山东有一题给材料、原料出现 1/6 和 1/7，注意原料不一定是整数，不可 以用倍数特性。 【答案汇总】6-8：BBB 【小结】倍数特性： 1.整除型： （1）若 A=B*C，则 A 能被 B 或 C 整除。 18 （2）前提：B、C 均为整数。 2.余数型： （1）若答案=ax+b，则答案-b 能被 a 整除；若答案=ax-b，则答案+b 能被 a 整除。 （2）前提：a、x 均为整数。 3.比例型：百分数、分数、比例、倍数。 （1）若 A/B=m/n，则 A 是 m 的倍数，B 是 n 的倍数，AB 是 mn 的倍数。 （2）前提：A、B 均为整数，m/n 是最简整数比。 4.判定： （1）口诀：3、9 看各位数字之和，4 看末两位，5 看末位。 （2）因式分解：12=3*42*6，分解时必须互质。 （3）拆分：拆成两个数的和或差。 第三节 方程法 【知识点】方程法： 1.普通方程：问题在于设未知数的技巧。 （1）设小不设大（减少分数计算）。例如高照体重是你的体重的 3 倍，此 时最好设你的体重为 x，高照老师体重为 3x 方便解题。 （2）设中间量（方便列式）。你和高照有关系，TA 和高照有关系，另外个 TA 也和高照有关系，此时设中间量高照为 x。 （3）问谁设谁（避免陷阱）。没有以上技巧问谁设谁。 2.不定方程。 【例 1】 （2019 江苏）两件快递的重量之比是 3：2，去除包装之后的重量之 比是 9：5。若包装重量都是 120 克，则两件快递的重量分别是： A.390 克、260 克 B.480 克、320 克 C.540 克、360 克 D.630 克、420 克 【解析】例 1.根据“两件快递的重量之比是 3：2”，出现比例设份数，设 19 两件快递重量分别为 3x、2x。根据题意列式：（3x-120）/（2x-120）=9/5。 方法一：计算：（3x-120）*5=（2x-120）*9，15x-120*5=18x-120*9，不要 算先合并，120*4=3x，解得 x=160，只有 B 项是 160 的倍数，B 项满足。 方法二：根据（3x-120）/（2x-120）=9/5。出现“分别”选项信息充分考虑 代入法。A 项：（390-120）/（260-120）=270/1409/5，排除。B 项：（480- 120）/（320-120）=360/200=9/5，正确当选。【选 B】 【注意】解方程时注意先合并和约分，减少计算量。 【例 2】 （2017 河南）公司销售部门共有甲、乙、丙、丁四个销售小组，本 年度甲组销售金额是该部门销售金额总数的 1/3，乙组销售金额是另外三个小组 总额的 1/4，丙组销售金额比丁组销售金额多 200 万元，比甲组少 200 万元。问 销售部门销售总金额是多少万元？ A.1800 B.2400 C.3000 D.3600 【解析】例 2.根据“甲组销售金额是该部门销售金额总数的 1/3”，说明甲 /总额=1/3；根据“乙组销售金额是另外三个小组总额的 1/4”，说明乙/（甲+丙 +丁）=1/4，乙组占 1 份，甲、丙、丁占 4 份，总数占 5 份，即乙/总额=1/5。根 据甲/总额=1/3、乙/总额=1/5，设销售总额为 3、5 的公倍数 15x，甲为 5x，乙 为 3x；根据丙组比甲组少 200 万元，则丙为 5x-200，丙组销售金额比丁组销售 金额多 200 万元，说明丁为 5x-400。根据总销售额列方程：总额=甲+乙+丙+丁 =15x=5x+3x+（5x-200）+（5x-400），解得 x=200，因此 15x=3000 万元，对应 C 项。【选 C】 【注意】结论：若某人占其他人总和的 1/n，某人占总量的 1/（n+1）。例 如甲/其他=1/7，说明甲/总数=1/8；丙/其他=1/10，则丙/总数=1/11。 【知识点】不定方程：axby=c。 1.方法： （1）奇偶特性。 （2）倍数特性（等式左右两边有共同的因子） 。 20 （3）尾数法（x、y 的系数的尾数为 0） 。 （4）代入排除。 （5）大小特性。A+B=500，ABA一半；最值分析。 2.奇偶特性：ax+by=M，当 a、b 恰好为一奇一偶时，考虑奇偶特性。 例：3x+4y=25，x=？（x、y 均为正整数） A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】例.25 是奇数，4y 是偶数，说明 3x 一定是奇数，说明 x 一定为奇 数，排除 A、C 项。剩二代一，代一次。 【选 B】 3.不定方程最值（此消彼长） ： （1）问某个量的最值，倍数特性：ax+by=M，当 a 或 b 与 M 有公因子时，考 虑倍数特性。 引例 1：7x+3y=60，y 最大为多少？（x、y 均为正整数且不为 0） 。 A.12 B.13 C.16 D.18 【解析】例 1.60 能被 3 整除，3y 能被 3 整除，说明 7x 一定能被 3 整除。 要想 y 最大，此消彼长，则 x 越小越好。7x 是 3 的倍数，7 不是 3 的倍数，说明 x 是 3 的倍数，代入 x=3，7*3+3y=60，解得：y=13，对应 B 项。 【选 B】 （2）问整体量的最值： 引例 2：7x+3y=60，x+y 最大为多少？（x、y 均为正整数且不为 0） 。 A.12 B.13 C.16 D.18 【解析】引例 2.问 x+y 最大是多少，尽量凑（x+y） ，4x+3（x+y）=60，要想 （x+y）大，x 越小越好。7x+3y=60，60、3y 能被 3 整除，说明 7x 是 3 倍数，7 不是 3 的倍数， x 一定是 3 的倍数。 x=3、 6， 代入 x=3， 解得 y=13， 则 x+y=16， 对应 C 项。 【选 C】 （3）问差的最值： 引例 3：7x+3y=60， （y-x）最大为多少？（x、y 均为正整数且不为 0） 。 A.10 B.11 21 C.12 D.13 【解析】引例 3.要（y-x）最大，则 y 越大越好，x 越小越好。7x+3y=60， 6、3y 能被 3 整除，说明 7x 一定能被 3 整除。7 不是 3 的倍数，x 是 3 的倍数， 代入 x=3，7*3+3y=60，解得 y=13，y-x=13-3=10，对应 A 项。 【选 A】 4.尾数：ax+by=M，当 a 或 b 尾数是 0 时，考虑尾数。 【例】37x+20y=271，x=？（x、y 均为正整数） A.1 B.3 C.2 D.4 【解析】例.奇偶特性。20y 是偶数，271 是奇数，说明 37x 是奇数，37 是奇 数，要想 37x 是奇数，x 一定是奇数，排除 C、D 项，剩二代一。 【选 B】 【例 3】 （2018 联考）10 个相同的盒子中分别装有 110 个球，任意两个盒 子中的球数都不相同。小李分三次每次取出若干个盒子，每次取出的盒子中的球 数之和都是上一次的 3 倍，且最后剩下 1 个盒子。问剩下的盒子中有多少个球？ A.9 B.6 C.5 D.3 【解析】 例 3.根据题意， 取的总球数为 1+2+3+10=55 个。 共取了 3 次， 设第一次取的是x， 则第二次为3x， 第三次为9x， 剩下的为y。 则有： x+3x+9x+y=55， 13x+y=55，13x=55-y，说明（55-y）一定是 13 的倍数。代入 A 项：55-9=46，46 不是 13 的倍数，排除；代入 B 项：55-6=49，49 不是 13 的倍数，排除；代入 C 项：55-5=50，50 不是 13 的倍数，排除；排除 A、B、C 项，D 项必然正确，无需 验证。【选 D】 【注意】等差数列求和，小球总数=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（a1+an）*n/2= （1+10）*10/2=55，或者首尾相加 11*5=55 个。 【例 4】 （2017 广州）某批发市场有大、小两种规格的盒装鸡蛋，每个大盒 里装有 23 个鸡蛋，每个小盒里装有 16 个鸡蛋。餐厅采购员小王去该市场买了 500 个鸡蛋，则大盒装一共比小盒装： A.多 2 盒 B.少 1 盒 22 C.少 46 个鸡蛋 D.多 52 个鸡蛋 【解析】 例 4.根据题意设大、 小盒装分别有 x、 y个鸡蛋， 列式： 23x+16y=500， 偶数可能性太多， 考虑倍数特性。 16y 和 500 都能被 4 整除， 则 23x 是 4 的倍数， 23 不是 4 的倍数，则 x 一定是 4 的倍数。代入 x=4，23+4y=125，4y=102，y 不 是整数，排除；代入 x=8，23*2+4y=125，4y=125-46=79，y 不是整数，排除；代 入 x=12，23*3+4y=125，4y=125-69=56，y=14，此时大盒比小盒少两盒，排除 A、 B 项。代入数据：23*12-16*14=大-小，一定是多，对应 D 项。或者采用尾数法： 23*12-16*14 尾数对应 6-4=2，对应 D 项。【选 D】 【注意】A+B=500。 1.ABA250。 2.A250AB。 【知识点】不定方程组： 1.a1x+b1y+c1z=M，a2x+b2y+c2z=N。 2.方法： （1）未知数一定是整数：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。例 如人数等。 （2） 未知数不一定是整数： 赋零法 （适用于： 不限定 x、 y、 z 必须为整数） 。 例如时间、金钱等。 【例 5】 （2017 江苏） 某地遭受重大自然灾害后， A 公司立即组织捐款救灾。 已知该公司有 100 名员工捐款，捐款额有 300 元、500 元和 2000 元三种，捐款 总额为 36000 元，则捐款 500 元的员工数是： A.11 人 B.12 人 C.13 人 D.14 人 【解析】 例 5.根据题意设捐款 300 元、 500 元、 2000 元的人数分别为 x、 y、 z。列式：x+y+z=100，300 x+500y+2000z=36000，化简：3x+5y+20z=360。不 定方程组。求员工数 y，未知数是整数，用消元法（注意不要消去要求的 y） ，保 留 y，哪个好消，消哪个。消 x，*3：3x+3y+3z=300，-得：2y+17z=60， 23 2y、 60 是偶数， 17z 是偶数， 17 不是偶数， 说明 z 是偶数， 代入 z=2， 解得 y=13， 对应 C 项。 【选 C】 【注意】消元：哪个好消，消哪个。 【答案汇总】1-5：BCDDC 【例 6】 （2017 江苏）小王打靶共用了 10 发子弹，全部命中，都在 10 环、 8 环和 5 环上，总成绩为 75 环，则命中 10 环的子弹数是： A.1 发 B.2 发 C.3 发 D.4 发 【解析】例 6.根据题意设命中 10 环、8 环、5 环的子弹数分别为 x、y、z。 列式：x+y+z=10，10 x+8y+5z=75，个数一定是整数，考虑消元法，保留所求 的 x。消 z，-*5 得：5x+3y=25，5x 和 25 都 5 的倍数，要想 3y 是 5 的倍数， 需要 y 是 5 的倍数，代入 y=5，5x+3*y=25，解得 x=2，对应 B 项。 【选 B】 【例 7】 （2018 上海）现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲 1 件、乙 3 件、 丙 7 件共需 200 元；若购买甲 2 件、乙 5 件、丙 11 件共需 350 元。则购买甲、 乙、丙各 1 件共需多少元？ A.50 B.100 C.150 D.200 【解析】 例 7.根据题意设甲、 乙、 丙的价格分别为 x、 y、 z， 列式： x+3y+7z=200， 2x+5y+11z=350。未知数是金额不一定是整数，考虑赋零法，哪个不顺眼，赋哪 个为 0。赋值 z 为 0，则有 x+3y=200，2x+5y=350。*2-，解得 x=50， y=50。即 x+y+z=50+50+0=100。 【选 B】 【注意】1.赋零：哪个不顺眼，赋哪个。 2.不管赋值 x、y、z 中哪个为 0，所求 x+y+z 的结果均相同。 【答案汇总】6-7：BB 24 【拓展一下】（2016 联考） 木匠加工 2 张桌子和 4 张凳子共需要 10 个小时， 加工 4 张桌子和 8 张椅子需要 22 个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各 10 张，共