概率模拟测试4-答案

概率论与数理统计概率论与数理统计 一、选择题 一、选择题 （1）【答案】D. 【解析】因为XB n p (21)2121, (21)2121, (21)(21)44(1). EXEXnp EXEXnp DXDXDXnpp （2）【答案】D. 【解析】因为XE ()72,E XEXDX 解得 1 . 6 （3）【答案】D. 【解析】因为XNYU 又,X Y相互独立，则 （4）【答案】B. 【解析】由切比雪夫不等式知， 取1，得1110.9,P X 2020班模 概率论与数理统计概率论与数理统计模拟测试题（4）模拟测试题（4） 参考答案与解析 参考答案与解析 ( , )XB n p，故,(1),EXnp DXnpp则 (21)2121, (21)2121, (21)(21)44(1). EXEXnp EXEXnp DXDXDXnpp XE，故 2 11 ,EXDX 则 2 2 222 112 ()72,E XEXDX (1,4),(0,4)XNYU，故 2 44 4,. 123 DXDY 相互独立，则(23 )4916 1228.DXYDXDY 由切比雪夫不等式知， 2 10 , DX PXEX 2 0.1 11P X . 0.1 1110.9, 1 即020.9PX. 班模考试卷解析 44 4,. 123 (23 )4916 1228. 10 , 即 020.9 （5）【答案】C. 【解析】由已知，得 11 limlim( ). 11 22 nn kk nn XXn PxPxx n 二、填空题 二、填空题 （6）【答案】11 6 . 【解析】由已知，得 Y p 则 111111 0236. 26666 EY （7）【答案】2. 【解析】由已知，得 P Xkk 又12P XP X 则2.DX （8）【答案】 22 22 ab ab . 【解析】因为X与Y 22222 22 22222 cov,cov, cov,cov,cov,cov, DUDVa DXb DYab U VaXbY aXbY aX XabX YabY XbY Y a DXb DYab 故 22 22 cov, UV U Vab abDUDV 2020班模 由已知，得 1 1 , 2 n nk k YXB n 由中心极限定理，得 11 2 2 limlim( ). 11 1 22 nn kk kk nn n XXn PxPxx n 由已知，得Y的分布律为 0 2 3 6 1 2 1 6 1 6 1 6 111111 0236. 26666 由已知，得( )XP，即有 e ,0,1,2, ! k P Xkk k （0） 12，即 2e e=2. 2 Y独立同分布于 2 ( ,)N ，则 22222 22 22222 , cov,cov, cov,cov,cov,cov, , DUDVa DXb DYab U VaXbY aXbY aX XabX YabY XbY Y a DXb DYab 22 22 . ab ab 班模考试卷解析 limlim( ).PxPxx 22 cov,cov,cov,cov,aX XabX YabY XbY Y （9）【答案】 1 2 . 【解析】由已知，得 EXxf xxxxx 由辛钦大数定律知， 1 1 n i n 三、解答题 三、解答题 （10）【解析】由已知，得 则(e)e( )ded. Xxx Ef xxxx （11）【解析】（I）由已知，得 10.P XYXa 又由概率的规范性知， （II）由联合分布律易知， X 0 1 p 1 2 1 2 则 111 , 236 EXEYE XY cov(, )0.X YE XYEX EY （III）由（II）知，cov(, )0,X Y 又 111 1,1,1,1, 2412 P XP YP XY P XYP XP Y 故X与Y不独立. 2020班模 由已知，得 1 2 0 1 ( )d6(1)d, 2 i EXxf xxxxx 1 1 i X 依概率收敛于 1 11 . 2 n ii i EXEX n 由已知，得X的概率密度函数为 e ,0, ( )( ) 0,. x xx f xF x 其他 2 0 1 (e)e( )ded. 4 Xxx Ef xxxx 由已知，得 0,111 10. 1 036 3 P XYa P XYXa P X a 1111 1. 34126 abb 易知， Y 1 0 1 XY 1 p 7 12 1 6 1 4 p 1 4 111 , 236 EXEYE XY 故 11 cov(, )0. 66 X YE XYEX EY cov(, )0,X Y则0 XY ，故X与Y不相关. 111 1,1,1,1, 2412 P XP YP XY则 1,111 ,P XYP XP Y 班模考试卷解析 . 11 10. 036 0 1 2 3 1 12 （12）【解析】（I）设曲线 故(, )X Y的联合概率密度为 则 ,d , X fxf x yy 当1x 或1x 时， 当10 x 时， X fxyxx 当01x时， X fxyxx 综上， 3 3 2,10, 2,01, 0,. X xxx fxxxx ,d , Y fyfx yx 当1y 或1y 时， 当10y 时， Y fyxyy 当01y时， Y fyxyy 综上， 3 3 2,10, 2,01, 0,. Y yyy fyyyy 因为 , XY f x yfx fy （II） (),d dd2dd2d.E XYxyf x yx yxxy yxxy y 又 2020班模 曲线 3, yxyx所围区域为D，画草图易知 1 3 0 1 2d. 2 D Sxxx 的联合概率密度为 2, , 0, x yD f x y 其他. ,d , 0 X fx ； 3 3 2d2 x x fxyxx ； 3 3 2d2 x x fxyxx ， 3 2,10, 2,01, 0,. xxx fxxxx 其他 ,d ,fyfx yx 0 Y fy ； 3 3 2d2 y y fyxyy ； 3 3 2d2 y y fyxyy ， 3 2,10, 2,01, 0,. yyy fyyyy 其他 XY f x yfx fy，故X与Y不独立. 3 3 01 10 (),d dd2dd2d. xx xx E XYxyf x yx yxxy yxxy y 班模考试卷解析 1 (),d dd2dd2d. 4 E XYxyf x yx yxxy yxxy y X Y EXxfxxx xxxx xxx EYyfyyy yyyyyyy 则cov,0,X YEXYEX EY （13）【解析】（I）因为 P YP Xxx P YP Xxx 故Y的概率分布为 （II）由（I）知， EXxfxxxx EY 下面求EXY：令UXY， G uP UuP XYu 当0u 时， 0G u 当01u时， 00 12 39 u u G uPXuPuXPuXu 当12u时， G uPuXuxxu 当2u 时， 1G u 2020班模 01 33 10 01 33 10 d2d2d0, d2d2d0, EXxfxxx xxxx xxx EYyfyyy yyyyyyy 1 cov,0, 4 X YEXYEX EY故X与Y相关 2 2 0 0 2 1 18 10d, 39 11 10d, 39 P YP Xxx P YP Xxx Y 1 1 p 8 9 1 9 2 3 1 15 dd, 34 817 , 999 X EXxfxxxx EY ，则U的分布函数为 ,1,1 ,1,1 ,0,0 , G uP UuP XYu P XYu YP XYu Y P Xu YP Xu Y P Xu XP Xu X 0； 23 00 12 d; 39 G uPXuPuXPuXu xxu 23 1 11 d1 ; 39 u G uPuXuxxu 1， 班模考试卷解析 d2d2d0, d2d2d0, d1 ; 综上， 3 3 0,0, 2 ,01, 9 1 112, 9 1,2. uu G u uu 则U的概率密度函数为g uG uuu 故 E XYEUug uuuuuu 从而cov(, ).X YE XYEX EY （14）【解析】（I）因为 XNYN 从而 cov(, )2 3, 4912cov(, ) 4 49 9 1265. XY X YDXDY EZEXYEXEY DZDXYDXY DXDYX Y （II）因为 cov(,)cov(,231)2cov(,)3cov(, ) 23cov(, ) 2 430, X ZXXYX XX Y 2020班模 0,0, ,01, 112, 1,2. u uu uu u 2 2 2 ,01, 3 1 ,12, 3 0,. uu g uG uuu 其他 12 33 01 2117 ddd, 3312 E XYEUug uuuuuu 175 74 cov(, ). 124 99 X YE XYEX EY 4 (, )1,5;4,9; 9 X YN ，故 4 1,4 ,5,9 ,. 9 XY XNYN 48 cov(, )2 3, 93 2312312 15 114, 23123 4912cov(, ) 8 4 49 9 1265. 3 XY X YDXDY EZEXYEXEY DZDXYDXY DXDYX Y cov(,)cov(,231)2cov(,)3cov(, ) 23cov(, ) 8 2 430, 3 X ZXXYX XX Y DXX Y 班模考试卷解析 2117 ddd, 3312 2312312 15 114, cov(,)cov(,231)2cov(,)3cov(, )X ZXXYX XX Y 故 cov(,) 0. XZ X Z DXDZ （15）【解析】设该小区住户拥有汽车的总数 i ii EXEX DXEXEX EXDX 设需要有n个车位，问题转化为 XEXnEXXn P XnPP Xnn P 则 480 1.65, 12 n 得499.8,n 都拥有一个车位的概率至少为 2020班模 0. 该小区住户拥有汽车的总数为 400 i 1i XX ，由已知，得 2 i 2 2 ii 1.2,1.8, 0.36, 400 1.2