12无穷级数的概念与性质PPT幻灯片

1,第一节无穷级数的概念与性质,一、无穷级数的概念二、无穷级数的性质,2,定义1若有一个无穷数列u1，u2，u3，un，此无穷数列构成下列表达式u1+u2+u3+un+(1)称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为,其中第n项un叫作级数的一般项或通项.,3,级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即：,4,5,我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和的基础.,由级数(1)的前n项和，容易写出：,6,定义2如果级数部分和数列有极限s，即,则称无穷级数收敛.s称为此级数的和.且有,若无极限，则称无穷级数发散.,注意:,称为级数的余项，为代替s所产生的误差.,7,8,性质1若级数收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛，且其和为ks.,9,性质2如果级数、分别收敛于,即,10,性质3在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性.性质4如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.,11,注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛.,推论：如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散.,12,级数,13,结论：由此我们可得,14,注意:级数收敛的必要条件常用于级数发散的判定.,15,第二节正项级数及其敛散性,一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较判别法三、正项级数收敛的比值判别法,16,定义设级数,的每一项都是非负数,则称此级数是,显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的，即,正项级数.,17,定理1正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn有界.,18,证明:这是一个正项级数，其部分和为:,故sn有界，所以原级数收敛.,19,定理2(比较审敛法)设和都是正项级数，且,若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数也发散.,20,则有：若发散，则也发散;且当时，有成立，则有：若收敛，则也收敛.,推论设级数和是两个正项级数，且存在自然数N，使当时，有（k0)成立，,21,例2判定p-级数,的敛散性.常数p0.,22,23,由此可得结论，p级数当时发散，p1时收敛.,24,25,由比较判别法可知，所给级数也发散.,而级数,是发散的；,26,定理(达朗贝尔比值判别法)设为正项级数，如果(1)当时，级数收敛；,(3)当时，级数可能收敛，可能发散.,(2)当()时，级数发散.,27,28,29,例7判别级数,解:,由比值判别法可知所给级数发散.,30,此时，比值判别法失效，用其他方法判定;,31,第三节绝对收敛与条件收敛,一、交错级数及其敛散性二、绝对收敛与条件收敛,32,定义正负项相间的级数，称为交错级数.,33,定理1(莱布尼兹定理),则级数收敛，且其和，并且其余项的绝对值:,(1)级数前项大于后项，即(2)级数的通项趋于零，即,如果交错级数,34,证明:先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此将s2n写成两种形式:,由(1)式可知s2n是单调增加的；由(2)式可知s2n0和R20，则,收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.,56,性质1如果幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续.,性质2如果幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式,57,即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.,58,性质3幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导，且有逐项求导公式,即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.,59,60,61,62,第五节函数展开成幂级数,一、泰勒级数二、函数展开成幂级数,63,定义如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数,为f(x)在x0的泰勒级数.,当x0=0时，泰勒级数为:,称之为f(x)的麦克劳林级数.,64,定理1(泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(xx0)的方幂展开为：,其中：,65,公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.,66,定理2设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式余项Rn(x)当时的极限为零，即：,67,将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：,68,69,70,71,间接展开法利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四