2.3数学归纳法.pptx

2.3数学归纳法,第二章推理与证明,明目标知重点,填要点记疑点,探要点究所然,内容索引,01,02,03,当堂测查疑缺,04,1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,明目标、知重点,填要点记疑点,1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取命题成立；(归纳递推)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.,第一个值n0(n0N*)时,2.应用数学归纳法时特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤的证明必须以“假设当nk(kn0，kN*)时命题成立”为条件.,正整数n,情境导学多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下.只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下.请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？,探究点一数学归纳法的原理思考1多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.结论：多米诺骨牌会全部倒下.所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础.,思考2用数学归纳法证明问题的一般步骤分几步？答一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(递推是关键)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.其中，利用假设是证题的核心.,思考3用数学归纳法证明135(2n1)n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正.证明：(1)n1时，左边1，右边121，等式成立.(2)假设nk时等式成立，即135(2k1)k2，,由(1)和(2)可知对任何nN*等式都成立.,答证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设.从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明nk1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式.,证明当n1时，左边121，,即当nk1时等式也成立.根据(1)和(2)，可知等式对任何nN*都成立.,反思与感悟(1)用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.,所以等式成立.假设nk(kN*)时，,所以nk1时，等式也成立.综上所述，对于任何nN*，等式都成立.,可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1.,猜想成立.,所以，当nk1时猜想也成立.根据(1)和(2)，可知猜想对任何nN*都成立.,反思与感悟归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳猜想证明”的基本思想.,跟踪训练2数列an满足Sn2nan(Sn为数列an的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明.解由a12a1，得a11；,下面证明猜想正确：(1)当n1时，由上面的计算可知猜想成立.(2)假设当nk(kN*)时猜想成立，,当nk1时，Skak12(k1)ak1，,所以，当nk1时，等式也成立.,当堂测查疑缺,1,2,3,4,1.若命题A(n)(nN*)在nk(kN*)时命题成立，则有nk1时命题成立.现知命题对nn0(n0N*)时命题成立，则有()A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确,1,2,3,4,解析由已知得nn0(n0N*)时命题成立，则有nn01时命题成立；在nn01时命题成立的前提下，又可推得n(n01)1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案C,1,2,3,4,解析将n1代入a2n1得a3，故选C.,C,1,2,3,4,3.用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下：(1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立.(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k12k2k11.所以当nk1时等式也成立.由此可知对于任何nN*，等式都成立.上述证明的错误是_.,1,2,3,4,解析本题在由nk成立，证nk1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.答案未用归纳假设,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,即当nk1时，命题成立.由(1)和(2)可知，命题对所有的nN*都成立.,呈重点、现规律,在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关