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2.3.1向量数量积的物理背景与定义,辽宁省建昌县高级中学苏艳丽,必修4人教B版,如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:,表示力F的方向与位移S的方向的夹角。,W=FSCOS,一、情境引入,b,a,OA,OB,已知两个非零向量a、b,作=a，=b.则AOB称作向量a和向量b的夹角,记作.并规定0,B,1.两个向量的夹角,注意的几点：,（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点，不共起点需要平移。,（2）a，b=b，a；,二、概念形成,（3）a，b=0时,a、b同向；,a，b=时，a、b反向；,a，b=90时，ab.,（4）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.,规定：在讨论平行问题时，零向量与任意向量平行.,b,a,B,说出下列两个向量和的夹角的大小是多少？,b,a,课堂练习,2.向量在轴上的正射影,（2）正射影的数量：向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.记作：al向量a的方向与轴l的正方向所成的角为，则有,1.a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.2.当为锐角时，3.当为钝角时，4.当为直角时，5.当=0时，6.当=180时，,注意的几点：,x,l,O,a,a,数量为正值；数量为负值；数量为0；数量为|a|；数量为|a|.,例1、已知轴l,如图,解：（1）,（2）,典例讲解,定义：叫做向量a和b的数量积（或内积）记作：ab.即ab=,3、向量的数量积（内积）,1两个向量的数量积是一个实数，符号由cosa，b的符号所决定；,为锐角时，ab0,为钝角时，ab0,为直角时，ab=0,2.ab不能写成ab，ab表示向量的另一种运算,这是一种新的运算法则，“.”不能省略不写,注意的几点：,=0或者=180时如何？,例2.已知|a|=5，|b|=4，=120，求ab.解：ab=|a|b|cos=54cos120=10.,练习1:,ab时，ab=18；ab时，ab=0；a与b的夹角是60时，ab=9.,已知|a|，|b|，当ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求ab,三、概念深化,答案：-28,设a、b为两个非零向量，e是单位向量.,1.ea=ae=|a|cos;,2.abab=0,3.aa=|a|2或,4.cos=；,5.|ab|a|b|,内积为零是判定两向量垂直的条件,用于计算向量的模,用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状,4.两个向量的数量积的性质,四、课堂小结,1.两个向量的夹角,2.向量在轴上的正射影,3.向量的数量积（内积）,4
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