计算方法 插值法-Lagrange插值.ppt

在第一次Lagrange插值、计算方法(NumericalAnalysis )、本讲义中，插值法的基本概念拉格朗日(Lagrange )插值的例子Lagrange插值的误差、插值法的基本概念、1引言问题的提案若干函数f(x )的解析式是未知的， 一般插值法的基本概念是(2.1)，在区间a，b上定义函数y=f(x )，在a，b上取的n 1个函数，在某个区间a，b中如何计算实验观测的数据集合的一系列点的函数值yi=f(xi )，第二章插值法，问题：函数f(x )在a，b中的函数值若存在f(x )的近似函数，满足则称为f(x )的插值函数，点xi是插值节点，式(2.1)称为插值条件。 另外，将在其他点x使用的值设为f(x )的近似值。 另外，越简单，不仅能够将y=f(x )、x1，xn，插值函数，目的：近似设为f(x )，误差函数，插值馀数项，区间a，b设为插值区间.x0，b，a，x2，用的值设为f(x )的近似值，而且能够更好地近似f(x )，进行计算注释：代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。 因此本章介绍使用代数多项式的插补，即代数插补。 定义：如果有次数不超过n次的多项式，为了满足以下条件，将P(x )称为f(x )的n次插值多项式。 以上内插法一般称为代数内插法。 其几何学意义如下图所示的：y=f(x )，x1，x2，xn，y=p(x )为n次多项式，x0，y，x，xk，问题：是否存在这样的多项式定理1n次代数插值问题的解是唯一的。 关于、插值多项式P(x )的问题，求其系数，从插值条件得到：n 1个方程式，可以得到n 1个未知数a0、a1、an，这是关于保留参数的n 1次线性方程式，其系数矩阵式为， 注释：使用以上线性方程式求系数ak(k=0，n )得到多项式的方法很复杂，不太使用的唯一性：无论用什么方法构成，以什么形式表现n次插值多项式，结果都是一定的，即，n次插值多项式P(x )是唯一的，只要满足插值条件(2.1)。 此外，还要求Home、Lagrange内插、2拉格朗日(Lagrange )内插、(1)线性内插以及线性函数近似而不是当前f(x )。 这样的线性函数P(x )被称为f(x )的线性内插函数。 线性插值是代数插值最简单的形式。 给定函数f(x )的两个不同点的值，线性内插的几何含义：由通过两个点的直线而不是曲线y=f(x )近似表示，选择参数a和b，并且如图所示，线性内插的几何含义：还可以由y=f(x )，x0，x1， P(x)=ax b，从分析几何可知，该直线由点斜率表示，线性内插基函数或：导出线性内插基函数具有线性内插函数可以表示为与基函数的线性组合的性质，以及在实例2.1中已知的求解器： 利用线性内插简化得到： (2)抛物内插，结构次数不超过二次的多项式，抛物内插也称为二次内插，它也是常用的代数内插之一。 如果已知f(x )在3个奇异点x0、x1、x2的函数值y0、y1、y2中满足二次插值条件，则这是二次插值问题。其几何意义为近似计算经过3点，抛物线、P(x )系数由直接插值条件确定，满足代数方程式：因此方程式中有解的唯一解： 系数矩阵能够求出2次插值多项式而仿照线性插值，虽然要用当前基函数的方法决定2次插值多项式，但是由于应当明显具有以下形式，因此能够在根据决定系数导出来求出2次式的条件下，同样地构筑插值多项式，因此为3个抛物插值的基函数：x0，x2，x1，x1 y，1，y=l0(x )，y=l1(x )，y=l2(x )，可确定3个抛物内插的基函数，将已知的数据作为线性组合系数，线性组合基函数而得到，P(x )满足条件，即，2个内插点求出一次内插多项式，3个内插点求出二次内插多项式，一般形式的拉格朗日插值多项式，即代入上式，对基点称为的n次插值基函数，根据n 1个n次基本插值多项式，满足插值条件，的n次代数插值多项式： 由于每个(2.8)内插基函数是n次多项式，因此它们的线性组合将类似于(2.8)式的内插多项式定义为n次拉格朗日内插多项式。 写上。、其导数在xk点的值为： (2.11 )、(2.10 )、Lagrange内插的示例)、示例2.2根据已知的y=f(x )的函数求出线性内插多项式，并计算x=1.5的值在节点上满足，求解方程式，得到a0=1，a1=-3，a2=2，p(x)=1-3x 2x2，用未定系数法求出二次多项式p(x)=a0 a1x a2x2，p(xi)=yi，I=0，1，2， 将解：依次代入求各节点值的多项式中，求例2.5过点(0，1 )、(1，2 )、(2，3 )的三点插值多项式，求解3360函数表，问题：为什么得到一次方程式，由Lagrange插值式得出，答案是，插值表给出的三点是共线。 例2.6求已知的f(x )的观测数据，Lagrange插值多项式，求解：4点后，可构建3次Lagrange插值多项式，基函数：Lagrange插值多项式为3360、 例2.7构建已知的f(x )观测数据、插值多项式，求解：点后可构建3次插值多项式，将数据代入插值式，在该例子中p(x )的项数不超过n 1项，但也可以有缺点。 另外，拉格朗日插值算法的实现、c语言的实现、Home、Lagrange插值的误差：x0 x1xixi 1xn-1xn，y=f(x )，y=p(x )，a，b，在插值区间a，b中用插值多项式p(x )代替f(x )进行近似，在插值节点xi中存在误差若记为R(x)=f(x)-p(x )，则R(x )称为用p(x )近似f(x )时的截止误差，或插补馀数。 假定内插多项式的误差，定理f(x )在a，b中满足n-1阶导数，x0，x1，xn在a，b上满足n个互斥节点，p(x )在p (Xi )=f (Xi ) (I=0，1，2，n )，其中，n阶内插多项式在xa，b中的任一项中具有内插馀数项，且， 如果不存在n-1阶导数，则不能使用该公式来估计误差，因为P(x )为在xk (k=0，1，n )上的f(x )的内插多项式，所以R(x)=f(x)-P(x )为在节点xk (k=0，1，n )上的值为0，即，r(xk)=0(k=0， 根据假定x是a，b上的固定点的函数g (t )=f (t )-p (t )-k (x ) (t-x0) (t-