2.1函数及其表示

第一节函数及其表示,任何一个函数都可以用三种方法表示吗？提示:不一定，有些函数不能用解析法表示，只能用列表法或图象法表示.,1.下列四个命题中正确的有()函数是由其定义域到值域的映射；f(x)=是一个函数；函数y=2x(xN)的图象是一条直线；函数的图象是抛物线.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个,2.映射f:1,2,31,2,3,4满足f(x)=x，则这样的映射f共有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【解析】选A.由映射的定义知，集合1,2,3的每一个元素在f的作用下都有惟一的元素与之对应，且f(x)=x，因此只有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3一个映射符合条件.,3.下列各组函数中，表示同一函数的是()(A)f(x)=x与g(x)=()2(B)f(x)=|x|与g(x)=(C)f(x)=x|x|与(D)f(x)=与g(t)=t+1(t1)【解析】选D.选项A中的定义域不同，选项B中的解析式不同，选项C中的定义域不同，只有选项D中两函数的定义域及对应关系都相同，故选D.,4.已知函数若f(x)=2，则x=_.【解析】当x1时，3x=2，x=log32；当x1时，-x=2，x=-2(舍去).答案：log32,5.已知函数分别由下表给出则f(g(1)的值为_；满足g(f(x)=1的x值是_.【解析】f(g(1)=f(3)=1；g(3)=1而已知g(f(x)=1，f(x)=3；又f(2)=3.x=2.答案：12,1.函数与映射的异同点,2.如图所示，可表示函数yf(x)的图象的只可能是(),答案：D,补充题,答案：,解析：由函数的定义可知，表示y是x的函数,补充题,求函数的定义域【例1】(1)函数的定义域为()(A)-4,1(B)-4,0)(C)(0,1(D)-4,0)(0,1(2)已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域.【审题指导】(1)本题是判断函数的定义域，实际上是求使函数解析式有意义的x的集合，先列出不等式(组)，然后再解不等式(组)，求出解集；(2)注意在对应关系f下，函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同.,【自主解答】(1)选D.要使有意义，则有：解得：-4x0或0x1.所以所求函数的定义域为-4，0)(0，1.(2)函数f(2x+1)的定义域为(0,1)，12x+13,f(x)的定义域为(1,3).,【规律方法】求函数定义域的方法(1)求具体函数y=f(x)的定义域：,(2)求抽象函数的定义域：若已知函数f(x)的定义域为a,b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出.若已知函数f(g(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.提醒：定义域必须写成集合或区间的形式.,【互动探究】若本例(2)f(x)的定义域为(0,1)，试求函数f(2x+1)的定义域.【解析】f(x)的定义域为(0,1)，02x+11,解得：x0，函数f(2x+1)的定义域为(,0).,【变式训练】（2011潮州模拟）已知函数y=f(x)的定义域是0,2，那么函数的定义域是_.【解析】依题意知：解得函数的定义域为(-1,)(,.答案:(-1,)(,2.若函数yf(x+1)的定义域是-1,1，则函数g(x)的定义域是()A.0,1B.0,1)C.0,1)(1,4D.(0,1),解析：要使g(x)有意义，则解得0x1，故定义域为0,1).,答案：B,补充题,函数的基本概念【例】判断下列各组中两个函数是否为相同函数？(1)f(x)=x2+2x-1,g(t)=t2+2t-1；(2)f(x)=|x|,g(t)=；(3)f(x)=，g(x)=；(4)f(x)=|3-x|+1,g(x)=,【审题指导】本题是判断两函数是否为相同函数，由于在条件中已知两函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的定义域、解析式是否相同，如果两者分别相同，则是相同函数，否则不是相同函数.【规范解答】(1)f(x)=x2+2x-1的定义域为R，g(t)=t2+2t-1的定义域为R，f(x)与g(t)的定义域相同.又它们的对应关系也相同,f(x)与g(t)为相同函数；,(2)f(x)=|x|，g(t)=|t|，f(x)与g(t)的定义域都为R，且对应关系也相同，因此f(x)与g(t)是相同函数；(3)f(x)=的定义域为x|x0，g(x)=的定义域为x|x0或x-1,f(x)与g(x)的定义域不相同,因此f(x)与g(x)不是相同函数；,(4)f(x)=|3-x|+1=f(x)与g(x)的定义域相同，且对应关系也相同,因此f(x)与g(x)是相同函数.,【规律方法】判断两函数y=f(x)与y=g(x)是否为相同函数的依据为定义域、对应关系是否完全相同，若一方面不同，则它们不是相同函数.,【变式备选】以下给出的同组函数中，是否为相同函数？为什么？(1)f1：；f2：y=1；(2)f1：y=|x|；f2：(3)f1：f2：,(4)f1：y=2x；f2：如图所示：,【解析】(1)是不同函数.第一个函数的定义域为x|xR,x0，第二个函数的定义域为R；(2)是不同函数.第一个函数的定义域为R，第二个函数的定义域为x|xR,x0；(3)是同一函数.x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们只不过是同一函数的不同方式的表示；(4)是同一函数.理由同(3).,求函数的解析式【例2】(1)已知f(x+)=，求f(x)的解析式；(2)已知f()=lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)+f()=3x，求f(x)的解析式.【审题指导】求f(x)的解析式是寻找函数的自变量x与f(x)之间的关系，一般采用凑配法、换元法、待定系数法、方程思想等.,【自主解答】(1)f(x+)=x2+=(x+)2-2，且x+2或x+-2，f(x)=x2-2(x2或x-2)；(2)f(+1)=lgx，x0.设+1=t(t1)，则x=，f(t)=lg(t1)，即f(x)=lg(x1)；,分段函数及其应用【例3】我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超