第七章 真空中的静电场.ppt

第七章真空中的静电场,7-1电荷库仑定律,1.电荷,摩擦起电和雷电：对电的最早认识,两种电荷：正电荷和负电荷,电性力：同号相斥、异号相吸,电荷量：物体带电的多少,2.电荷守恒定律,对于一个系统，如果没有净电荷出入其边界，则系统正负电荷的代数和保持不变。,如：,电荷守恒定律,起电机,宏观带电体的带电量qe，准连续,夸克模型,e=1.60210-19库仑，为电子电量,3.电荷量子化,电荷量子化,密立根,点电荷,可以简化为点电荷的条件:,1.库仑定律,库仑定律：在真空中，两个静止点电荷之间相互作用力与这两个点电荷的电荷量q1和q2的乘积成正比，而与这两个点电荷之间的距离r12（或r21）的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点电荷的连线，同号相斥，异号相吸。,7-2库仑定律,库仑定律,1785年，法国库仑（C.A.Coulomb),适用于点电荷,叠加性,库仑定律,库仑,库仑定律说明：,1.单位制有理化,0=8.8510-12C2m-2N-1,3.距离平方反比关系的证明,2.与万有引力的比较与启示,电摆实验装置,扭秤,卡文迪许同心球实验草图,库仑定律,例7-1按量子理论，在氢原子中，核外电子快速地运动着，并以一定的概率出现在原子核（质子的周围各处，在基态下，电子在半径0.52910-10的球面附近出现的概率最大.试计算在基态下,氢原子内电子和质子之间的静电力和万有引力,并比较两者的大小.引力常数为G=6.6710-11Nm2/kg2,解:按库仑定律计算,电子和质子之间的静电力为,库仑定律,应用万有引力定律,电子和质子之间的万有引力为,由此得静电力与万有引力的比值为,库仑定律,可见在原子中,电子和质子之间的静电力远比万有引力大,由此,在处理电子和质子之间的相互作用时,只需考虑静电力,万有引力可以略去不计.而在原子结合成分子,原子或分子组成液体或固体时,它们的结合力在本质上也都属于电性力.,库仑定律,例:在图中,三个点电荷所带的电荷量分别为q1=-86C,q2=50C,q3=65C。各电荷间的距离如图所示。求作用在q3上合力的大小和方向。,解:选用如图所示的直角坐标系。,库仑定律,电荷q2作用于电荷q3上的力的大小为,力沿x轴和y轴的分量分别为,按库仑定律可算得q1作用于电荷q3上的的大小为,库仑定律,力沿x轴和y轴的分量分别为,根据静电力的叠加原理,作用于电荷q3上的合力为,合力的大小为,库仑定律,合力与x轴的夹角为,可见,由库仑定律算出的作用力是不小的,在距离一定时,它与带电体所带电荷量相关。例如两个各带电荷量为1C的带电体,当它们相距1m时,根据库仑定律算出其作用力达9.0109N,然而,通常在实验室里,利用摩擦起电使物体能获得的电荷量的数量级只是10-6C,此时相距1m时的静电力仅为10-2N的数量级,这就是说,实际上我们利用通常的起电方法不可能使一个有限大(例如半径为1m的球体)的物体的带电量达到1C或接近1C,因为早在电荷量聚集到此值前,周围的绝缘体已被击穿,物体上的电荷早已漏掉。所以通常遇到的静电力还是很小的,只能吸引轻微的物品。,库仑定律,7-3电场电场强度,1.电场,两种观点,超距作用,电场,电荷1,电荷2,电场1,电场2,静电场：相对于观察者静止的电荷在周围空间激发的电场。,极光,雷电,2.电场强度,点电荷(尺寸小),q0足够小，对待测电场影响小,定义电场强度,电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力。,电场强度,3.电场强度的计算,电场强度的计算,场点,源点,（1)点电荷的电场,电场强度的计算,qi,q2,q,q1,（2)电场强度叠加原理和点电荷系的场强,电场强度叠加原理,电场强度的计算,点电荷系的电场,电场强度的计算,解：,例1.求电偶极子中垂面上的电场。,r,电偶极矩（电矩）,电场强度的计算,电偶极子在电场中所受的力矩,用矢量形式表示为：,电场强度的计算,电荷面分布,电荷体分布,电荷线分布,(3)连续带电体的电场,电荷元：,计算时将上式在坐标系中进行分解，再对坐标分量积分。,电场强度的计算,连续带电体的电场例题,均匀带电直线的电场,均匀带电圆环轴线上的电场,均匀带电圆盘轴线上的电场,电场强度的计算,例7-4.求一均匀带电直线在P点的电场。,解：建立直角坐标系,带电,电场强度的计算,积分变量代换,代入积分表达式,同理可算出,电场强度的计算,当直线长度,无限长均匀带电直线的场强：,极限情况，由,电场强度的计算,例7-5求一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场。,x,p,R,电场强度的计算,由对称性,解：,电场强度的计算,所以，由对称性,当dq位置发生变化时，它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面。,电场强度的计算,例7-6求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。,解：由例4均匀带电圆环轴线上一点的电场,电场强度的计算,讨论：,无限大均匀带电平面的场强，匀强电场,可视为点电荷的电场,电场强度的计算,电场线（E）线：在电场中画一组曲线，曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致，这一组曲线称为电场线。为了定量地描写电场，对电场线的画法作如下的规定：在电场中任一点处，通过垂直于电场强度E单位面积的电场线数等于该点的电场强度的数值。,1.电场线,7-4高斯定理,点电荷的电场线,正电荷,负电荷,电场线,一对等量异号电荷的电场线,电场线,一对等量正点电荷的电场线,电场线,一对异号不等量点电荷的电场线,电场线,带电平行板电容器的电场,电场线,2.电场强度通量,均匀电场中穿过与电场垂直的平面S的电场线总数，称为通过该平面的电场强度通量。,将曲面分割为无限多个面元，称为面积元矢量,则电场穿过该面元的电通量为,电场穿过某曲面的电通量为,电场强度通量,不闭合曲面：,闭合曲面：,面元的法向单位矢量可有两种相反取向，电通量可正也可负；,规定面元的法向单位矢量取向外为正。,电场线穿出，电通量为正，反之则为负。,电场强度通量,3.高斯定理,1当点电荷在球心时,高斯定理,高斯,2任一闭合曲面S包围该电荷,注意:穿过任意闭合曲面S的电场线条数与穿过球面的相同，因而电通量相同,r,S,高斯定理,3闭合曲面S不包围该电荷,闭合曲面可分成两部分S1、S2，它们对点电荷张的立体角绝对值相等而符号相反。,高斯定理,高斯定理:,高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。,虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是面上电场却与面内、面外电荷都有关。,注意：,在真空中，静电场通过任意闭合曲面的电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真空介电常数。,点电荷系,连续分布带电体,高斯定理,4.高斯定理的应用,1.均匀带电球面的电场,4.均匀带电球体的电场,3.均匀带电无限大平面的电场,2.均匀带电圆柱面的电场,条件：电荷分布具有较高的空间对称性,5.均匀带电球体空腔部分的电场,高斯定理的应用,例均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为q。,电场分布也应有球对称性，方向沿径向。,作同心且半径为r的高斯面.,rR时，高斯面无电荷，,解：,高斯定理的应用,rR时，高斯面包围电荷q，,Er关系曲线,均匀带电球面的电场分布,高斯定理的应用,例7-7均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密度为。,电场分布也应有球对称性，方向沿径向。,作同心且半径为r的高斯面,a.rR时，高斯面内电荷,b.rR时，高斯面内电荷,解：,高斯定理的应用,均匀带电球体的电场分布,Er关系曲线,高斯定理的应用,例7-8无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿轴线方向单位长度带电量为。,作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。,高为l,半径为r,（1）当rR时，,均匀带电圆柱面的电场分布,Er关系曲线,高斯定理的应用,例7-9均匀带电无限大平面的电场.,电场分布也应有面对称性，方向沿法向。,解：,高斯定理的应用,作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，两底面到带电平面距离相同。,圆柱形高斯面内电荷,由高斯定理得,高斯定理的应用,1.静电场力的功,静电场对移动带电体要做功，说明静电场具有能量。,7-5静电场的环路定理,1点电荷电场中,试验电荷q0从a点经任意路径到达b点。,在路径上任一点附近取元位移,dr,2任意带电体系的电场中,将带电体系分割为许多电荷元，根据电场的叠加性,电场力对试验电荷q0做功为,总功也与路径无关。,静电场力的功,结论：,试验电荷在任意给定的静电场中移动时，电场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点位置有关，而与具体路径无关。,静电场是保守场，静电场力是保守力。,静电场力的功,2.静电场的环路定理,试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径L运动一周时，电场力对q0做的功A=？,静电场力的功,安培,静电场的环路定理,在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为场强的环流）恒为零。,静电场力的功,静电力的功，等于静电势能的减少。,1.电势能,由环路定理知，静电场是保守场。,保守场必有相应的势能，对静电场则为电势能。,选b为静电势能的零点，用“0”表示，则,7-6电势,高压发生器,某点电势能Wa与q0之比只取决于电场，定义为该点的电势,2.电势,电势差,电势零点的选取是任意的。,电场中两点电势之差,沿着电场线方向，电势降低。,电势,3.电势的计算,1.点电荷的电势,点电荷的电场,2点电荷系的电势,3连续分布带电体的电势,电势的计算,例7-11.半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。,解：以O为圆心，取半径为LL+dL的薄圆环，带电dq=ds=2LdL,到P点距离,P点电势：,O,dL,R,电势的计算例题,由高斯定理知，电场分布为,R,解：,例7-13.求一均匀带电球面的电势分布。,P,.,1.当rR时,r,电势的计算例题,电势分布曲线,场强分布曲线,E,V,R,R,r,r,O,O,结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。,电势的计算例题,解：令无限长直线如图放置，其上电荷线密度为。计算在x轴上距直线为的任一点P处的电势。,因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的，所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公式来计算电势V，否则必得出无限大的结果，显然是没有意义的。同样也不能直接用公式来计算电势，不然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果。,例7-12计算无限长均匀带电直线电场的电势分布。,电势的计算例题,为了能求得P点的电势，可先应用电势差和场强的关系式，求出在轴上P点P1和点的电势差。无限长均匀带电直线在X轴上的场强为,于是，过P点沿X轴积分可算得P点与参考点P1的电势差,由于ln1=0，所以本题中若选离直线为r1=1m处作为电势零点，则很方便地可得P点的电势为,电势的计算例题,由上式可知，在r1m处,VP为负值；在r0,等势面1上P1点的单位法向矢量为,与等势面2正交于P2点。,在等势面2任取一点P3，设,则,场强与电势的关系电势梯度,定义电势梯度,方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。,其量值为该点电势增加率的最大值。,场强与电势的关系电势梯度,场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。,电荷q从等势面1移动到等势面2，电场力做功,电场力做功等于电势能的减少量,写成矢量形式,在直角坐标系中,1,U,2,P1,P2,P3,U+dU,2.2电势梯度与电场强度的关系,场强与电势的关系电势梯度,例7-14计算电偶极子较远处的电场。,解：,在直角坐标系中先写出电势的表达式，,y,P(x,y),-L/2,+q,-q,L/2,r-,r+,r,O,X,等势面电场强度与电势梯度的关系,讨论：,1.在X轴上，y=0，则,与用叠加原理得到的结果一致。,P(x,0),P(0,y),2.在Y轴上，x=0，则,等势面电场强度与电势梯度的关系,例.计算均匀带电圆环轴线上的电场。,X,o,x,R,r,解：,P点电势,P点电场,与用叠加原理得到的结果一致。,等势面电场强度与电势梯度的关系,例计算均匀带电圆盘轴线上的电场。,p,O,与用叠加原理得到的结果一致。,x,讨论：,当R时，,即无穷大均匀带电平面的电场。,解：,R,等势面电场强度与电势梯度的关系,7-8带电粒子在静电场中的运动,把电荷分为激发电场的固定部分和受电场作用的运动部分完全是相对的，是一级近似。,电荷q受到的电场作用力,正电荷受到的电场作用力与电场方向一致，负电荷受到的电场作用力与电场方向相反。,1.电偶极子在均匀外场中所受的作用。,解：如图所示，设在均匀外电场中，电偶极子的电矩的方向与场强方向间的夹角为，作用在电偶极子正负电荷上的力的大小均为,带电粒子在静电场中的运动,写成矢量式为,和的大小相等，方向相反，所以电偶极子所受的合力为零，电偶极子不会产生平动，但由于和不在同一直线上，所以电偶极子要受到力偶矩的大小为,带电粒子在静电场中的运动,在低速情况下，略去重力，电荷在电场中运动方程为,讨论在均匀电场中的两种运动情况：,（1）初速度与电场同向,（2）初速度与电场垂直,带电粒子在静电场中的运动,2.带电粒子在静电场中的运动,（1）初速度与电场同向,粒子做匀加速直线运动,速度,动能,初速度为零时,加速电压很高时,带电粒子在静电场中的运动,（2）初速度与电场垂直,粒子做抛物线运动。,以初速度方向为X轴，电场方向为Y轴。,粒子的轨道方程为,带电粒子在静电场中的运动,解：如图所示，一束电子射线以速度v0进入与v0垂直的横向匀强电场中，由于电子受到一个与场强E方向相反的作用力，所以电子通过电场后将偏离原来v0方向。利用上面讨论的结果，可得电子通过长为l的偏转板所需的时