3.1.1 方程的根与函数的零点

第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点,结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系.,韦达（Viete，Francois，seigneurdeLaBigotiere）是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。,他的解析方法入门一书（1591年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方程论的贡献是在论方程的整理和修正一书中提出了二次、三次和四次方程的解。,第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。,探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？,与,与,与,引申:二次函数的图象和相应一元二次方程的根有何关系?,方程的根,两不相等实数根,一个交点,没有交点,二次函数的图象与x轴的交点,两个交点,两相等实数根,没有实数根,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点,函数的零点,思考：函数的图象与轴的交点和相应的方程的根有何关系？,x,结论:,方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点,方程的根是函数的图象与轴的交点的横坐标,由此可知，求方程的实数根，就是求函数的零点。对于不能用公式法求根的方程来说，可以将它与函数联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根,注意：函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标！,零点对于函数而言，根对于方程而言,探究：如何求函数的零点？,1,2,3,4,5,-1,-2,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,x,y,观察二次函数f(x)x22x3的图象：在区间-2，1上有零点_；f(-2)=_，f(1)=_，f(-2)f(1)_0(“”或“”)在区间(2，4)上有零点_；f(2)f(4)_0（“”或“”）,1,4,5,3,1,2,3,4,5,-1,1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,y,思考：观察图象填空，在怎样的条件下，函数在区间上存在零点？,有,有,有,在区间(a,b)上f(a)f(b)_0(“”或“”)在区间(a,b)上_(有/无)零点；在区间(b,c)上f(b)f(c)_0(“”或“”)在区间(b,c)上_(有/无)零点；在区间(c,d)上f(c)f(d)_0(“”或”)在区间(c,d)上_(有/无)零点；,结论,a,b,c,例1判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间a,b满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）,解：（1）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）,如图,函数y=f(x)在区间a,b上有3个零点,“在区间(a,b)内有且仅有一个零点”的说法是错误的.,（2）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（）,可知，函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。,如图,（3）已知函数y=f(x)在区间a,b满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）,虽然函数y=f(x)在区间a,b满足f(a)f(b)0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点.,如图,练习2、若函数y=5x2-7x-1在区间a,b上的图象是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)f(b)的值()A、大于0B、小于0C、无法判断D、等于零,练习1、函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（),A.(-2，-1)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3),C,B,由表可知f(2)0，,由于函数f(x)在定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点,用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：,例2.求函数f(x)=lnx+2x6的零点的个数，并确定零点所在的区间n，n+1(nZ),解：,-4,-1.3,1.1,3.4,5.6,7.8,9.9,12.1,14.2,方法1,f(x)=lnx+2x6,从而f(2)f(3)0,函数f(x)在区间(2,3)内有零点,y=2x+6,y=lnx,即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数,如图可知，只有一个交点，即方程只有一根。,方法2：,练习:求方程2-x=x的根的个数，并确定根所在的区间n，n+1(nZ),解：求方程的根的个数，即求方程的根的个数