特征函数PPT课件

第四章特征函数,4.1一维特征函数的定义及其性质,4.2多维随机变量的特征函数,4.3母函数,4.1一维特征函数的定义及其性质,一、定义及例,二、性质,三、特征函数与矩的关系,四、反演公式及惟一性定理,随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征，一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具，既能与分布函数一一对应，但比分布函数具有更好的分析性质。,欧拉公式,2.复随机变量的数学期望,若复随机变量为,其中X,Y均为实随机变量,则Z的数学期望定义为,一、定义及例,的分布函数为,称的数学期望为X的特征函数.,有时也称为分布函数的特征函数,其中,记X的特征函数为,在不会引起混乱的情况下简写为,1.特征函数的定义,一、定义及例,的分布函数为,称的数学期望为X的特征函数.,有时也称为分布函数的特征函数,其中,记X的特征函数为,在不会引起混乱的情况下简写为,1.特征函数的定义,3.特征函数的计算,(1)离散型,(2)连续型,X的特征函数就是x的函数的期望，此时的函数是由X构造出来的复值随机变量的期望。,例4.1.1设随机变量X服从退化分布,即,求X的特征函数.,例4.1.2设随机变量X服从参数为p的0-1分布(两点分布),求其特征函数.,例4.1.3设随机变量X服从参数为n,p的二项分布,求其特征函数.,例4.1.4设随机变量X服从参数为的泊松分布,求其特征函数.,例4.1.5设随机变量X服从的均匀分布,求其特征函数.,当t=0时，,例4.1.6设随机变量X服从参数为的指数分布,求其特征函数.,二、特征函数的性质,性质4.1.1随机变量X的特征函数满足:,性质4.1.2设X的特征函数为,则的特征函数为,性质4.1.3随机变量X的特征函数在R上一致连续.,性质4.1.4随机变量X的特征函数是非负定的,即对任意正,整数n,任意复数,以及有,波赫纳-辛钦定理若函数连续,非负定且,则必为特征函数.,三、特征函数与矩的关系,定理4.1.1设随机变量X的n阶矩存在,则X的特征函数的k,阶导数存在,且,四、反演公式及唯一性定理,定理4.1.2(反演公式)设随机变量X的分岂有此理函数和特征函,数分别为和,则对于的任意连续点和,有,若记,(4.1.8),则(4.1.8)等价于,四、反演公式及唯一性定理,(4.1.8),连续点:,不连续点:,反演公式,推论1(惟一性定理)分布函数及恒等的充分必要条,件为它们的特征函数及恒等.,推论2设随机变量X的特征函数于R上绝对可积,则X为具有密度函数的连续型随机变量,且,例设随机变量X的特征函数,求随机变量X的密度函数.,定理4.1.3设X为取整数值及0的随机变量,其概率函数为,其特征函数为,则,例设X为只取0到n的整数的离散型随机变量,且其特征函数为,求随机变量X的分布律.,4.2多维随机变量的特征函数,一、定义及例,二、二维随机变量特征函数的性质,三、相互独立随机变量和的特征函数,一、定义及例,定义4.2.1设(X,Y)是一个二维随机变量,其分布函数为,为任意实数,记,称为的特征函数.,连续型:,一、定义及例,定义4.2.1设(X,Y)是一个二维随机变量,其分布函数为,为任意实数,记,称为的特征函数.,离散型:,其中,例4.2.1设二维随机变量的分布列为,求二维随机变量的特征函数,例4.2.2设二维随机变量,求二维随机变量的特征函数,n维随机变量的特征函数:,定义设有n维随机变量,则称,为n维随机变量的特征函数.,二、二维随机变量特征函数的性质,性质4.2.1设随机变量的特征函数为，则有,(1)且对任意,(2),(3)于实平面上一致连续；,(4),其中分别为及的特征函数,性质4.2.2设皆为常数,为二维随机变量,则,随机变量的特征函数为,例4.2.4设二维随机变量,求二维随机变量的特征函数,性质4.2.3两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的特征函数恒等.,性质4.2.4设随机变量的特征函数为为任,意常数,则的特征函数为,例4.2.5设二维随机变量,求分布.,定理4.2.1随机变量服从二维正态分布的充分必要条件是X与Y的任一线性组合,服从一维正态分布.其中a,b,c为任意常数,且a,b不全为0.,定理4.2.2设为二维随机变量,存在,则其特征函,数的偏导数存在,且,例4.2.6设二维随机变量,求分布.,三、相互独立随机变量的特征函数,定理4.2.3n个随机变量相互独立的充分必要条件为,的特征函数,则Y的特征函数为,推论设为n个相互独立的随机变量,